حل أسئلة تدرب وحل المسائل

مثل كلاً من الدوال الآتية بيانياً باستعمال الحاسبة البيانية، ثم طبق اختبار الخط الأفقي لتحديد إن كانت الدالة العكسية موجودة، أم لا.

1) y=x²+6x+9

لا.

2) y=x²-16x+64

لا.

3) y=3x-8

نعم.

4) y=4

لا.

5) $y=\sqrt{x+4}$

نعم.

6) y=-4x²+8

لا.

7) $y=\frac{8}{x+2}$

نعم.

8) $y=\frac{1}{4}{x}^3$

نعم.

أوجد الدالة العكسية f^-1 في كل مما يأتي إن أمكن، وحدد مجالها والقيود عليه، وإذا لم يكن ذلك ممكناً فاكتب غير موجودة.

9) f(x)=-3x⁴+6x²-x

غير موجودة.

10) f(x)=4x⁵-8x⁴

^{غير موجودة.}

11) $f\left(x\right)=\sqrt{x+8}$

$f^{-1}\left(x\right)=x^2-8,x\ge 0$

12) $f\left(x\right)=\sqrt{6-x^2}$

^{غير موجودة.}

13) $f\left(x\right)=|x-6|$

^{غير موجودة.}

14) $f\left(x\right)=\frac{x-6}{x}$

$g^{-1}\left(x\right)=\frac{6}{1-x},x\ne 1$

15) $f\left(x\right)=\frac{6}{\sqrt{8-x}}$

$f^{-1}\left(x\right)=8-\frac{36}{x^2},x>0$

16) $f\left(x\right)=\frac{7}{\sqrt{x+3}}$

$g^{-1}\left(x\right)=-3+\frac{49}{x^2},x>0$

17) $f\left(x\right)=\frac{x+4}{3x-5}$

$h^{-1}\left(x\right)=\frac{5x+4}{3x-1},x\ne \frac{1}{3}$

18) $f\left(x\right)=|x+1|+|x-4|$

غير موجودة.

19) سرعة: تعطى سرعة جسم y بالكيلومتر لكل ساعة بالدالة y=1.6x حيث x سرعة الجسم بالميل لكل ساعة.

a) أوجد الدالة العكسية ل y، وماذا يمثل كل متغير فيها؟

$f^{-1}\left(x\right) \mathrm{حيث} f^{-1}\left(x\right)=\frac{x}{1.6}$ السرعة بالميل لكل ساعة، (x) سرعة الجسم بالكيلومتر لكل ساعة.

b) مثل كلاً من الدالتين في المستوى الإحداثي نفسه.

أثبت جبرياً أن كلاً من الدالتين f, g تمثل دالة عكسية للأخرى في كل مما يأتي:

20)

$\begin{array}{r}f\left(x\right)=4x+9\\ g\left(x\right)=\frac{x-9}{4}\end{array}$

$\begin{array}{rl}f\left(g\right(x\left)\right)& =4\left(\frac{x-9}{4}\right)+9\\ & =x-9+9\\ & =x\\ g\left(f\right(x\left)\right)& =\frac{4x+9-9}{4}\\ & =\frac{4x}{4}\\ & =x\end{array}$

21)

$\begin{array}{r}f\left(x\right)=-3x^2+5,x\ge 0\\ g\left(x\right)=\sqrt{\frac{5-x}{3}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}f\left(g\right(x\left)\right)& =-3{\left(\sqrt{\frac{5-x}{3}}\right)}^2+5\\ & =-3\left(\frac{5-x}{3}\right)+5\\ & =-5+x+5=x\\ g\left(f\right(x\left)\right)& =\sqrt{\frac{5+3x^2-5}{3}}\\ & =\sqrt{\frac{3x^2}{3}}\\ & =\sqrt{x^2}=x\end{array}$

22)

$\begin{array}{r}f\left(x\right)=\frac{x^2}{4}+8,x\ge 0\\ g\left(x\right)=\sqrt{4x-32}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& f\left(g\right(x\left)\right)=\frac{(\sqrt{4x-32}{)}^2}{4}+8=\frac{4x-32}{4}+8=x-8+8=x\\ & g\left(f\right(x\left)\right)=\sqrt{4(\frac{x^2}{4}+8)-32}=\sqrt{x^2+32-32}=\sqrt{x^2}=x\end{array}$

23)

$\begin{array}{r}f\left(x\right)=(x+8{)}^{\frac{3}{2}}\\ g\left(x\right)=x^{\frac{2}{3}}-8,x\ge 0\end{array}$

$\begin{array}{rl}f\left(g\right(x\left)\right)& ={(x^{\frac{2}{3}}-8+8)}^{\frac{3}{2}}\\ & ={\left(x^{\frac{2}{3}}\right)}^{\frac{3}{2}}=x\\ g\left(f\right(x\left)\right)& ={\left[(x+8{)}^{\frac{3}{2}}\right]}^{\frac{2}{3}}-8\\ & =x+8-8=x\end{array}$

24)

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=2x^3-6\\ & g\left(x\right)=\sqrt[3]{\frac{x+6}{2}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}f\left(g\right(x\left)\right)& =2{\left(\sqrt[3]{\frac{x+6}{2}}\right)}^3-6\\ & =2\left(\frac{x+6}{2}\right)-6\\ & =x+6-6=x\\ g\left(f\right(x\left)\right)& =\sqrt[3]{\frac{2x^3-6+6}{2}}\\ & =\sqrt[3]{x^3}=x\end{array}$

25)

$\begin{array}{c}f\left(x\right)=\frac{x-6}{x+2}\\ g\left(x\right)=\frac{2x+6}{1-x}\end{array}$

$\begin{array}{rl}f\left(g\right(x\left)\right)& =\frac{\frac{2x+6}{1-x}-6}{\frac{2x+6}{1-x}+2}=\frac{\frac{2x+6-6+6x}{1-x}}{\frac{2x+6+2-2x}{1-x}}\\ & =\frac{8x}{8}=x\\ g\left(f\right(x\left)\right)& =\frac{2\left(\frac{x-6}{x+2}\right)+6}{1-\left(\frac{x-6}{x+2}\right)}=\frac{2x-12+6x+12}{\frac{x+2-x+6}{x+2}}\\ & =\frac{8x}{8}=x\end{array}$

26) فيزياء: تعطى طاقة الحركة لجسم متحرك بالجول بالدالة f(x)=0.5mx² حيث m كتلة الجسم بالكيلوجرام وx سرعة الجسم بالمتر لكل ثانية.

a) أوجد f^-1(x) للدالة f(x)، وماذا يعني كل متغير فيها؟

$f^{-1}\left(x\right)=\sqrt{\frac{2x}{m}}$ تمثل السرعة بالمتر/الثانية، x هي طاقة الحركة بالجول وm كتلة الجسم بالكيلوجرام.

b) أثبت أن كلاً من الدالتين f(x) و f^-1(x) التي حصلت عليها تمثل دالة عكسية للأخرى.

$\begin{array}{rl}f\left(f^{-1}\right(x\left)\right)& =\frac{1}{2}m{\left(\sqrt{\frac{2x}{m}}\right)}^2\\ & =\frac{1}{2}m\left(\frac{2x}{m}\right)=x\\ f^{-1}\left(f\right(x\left)\right)& =9\left(\frac{1}{2}m{x}^2\right)=\sqrt{\frac{2\left(0.5m{x}^2\right)}{m}}\\ & =\sqrt{x^2}=x\end{array}$

بما أن $f\left(f^{-1}\right(x\left)\right)=f^{-1}\left(f\right(x\left)\right)=x$ فإن كل الدالتين عكسية للأخرى.

c) مثل كلاً من f(x) و f^-1(x) على الشاشة نفسها من الحاسبة البيانية عندما تكون كتلة الجسم كيلو جرام واحد.

استعمل التمثيل البياني أدناه المعطى لكل دالة لتمثل الدالة العكسية لها:

27)

28)

29)

30)

31) وظائف: يعمل فالح في أحد محلات بيع الأحذية خارج أوقات دوامه الرسمي مقابل راتب مقداره 420 ريالاً في الأسبوع، ويتقاضى أيضا عمولة مقدارها %5 من قيمة المبيعات، أي أن ما يتقاضاه أسبوعياً يعطى بالدالة f(x)=420+0.05x حيث تمثل x قيمة المبيعات.

a) أثبت أن الدالة f^-1(x) موجودة، ثم أجدها.

تحقق الدالة f(x) اختبار الخط الأفقي $f^{-1}\left(x\right)=20(x-420)$

b) ماذا تمثل كل من x,f^-1(x) في الدالة العكسية؟

تمثل x عمولة فالح خلال أسبوع أما f(X) فتمثل مقدار مبيعات فالح.

c) حدد أية قيود على كل من مجال f(x) و f^-1(x) إن وجدت وبرر إجابتك.

$x\ge 0$، لأنه لا يمكن أن تكون المبيعات بالسالب.

d) أوجد قيمة مبيعات فالح في الأسبوع الذي يتقاضى فيه 720 ريالاً.

6000 ريال.

حدد ما إذا كانت الدالة العكسية موجودة في كل مما يأتي أم لا.

32)

غير موجودة.

33)

موجودة.

34)

غير موجودة.

35)

موجودة.

كون جدولاً للدالة f^-1 في كل مما يأتي إذا كانت موجودة، وإذا لم تكن موجودة، فاذكر السبب.

36)

موجودة.

37)

غير موجودة لأنه عند عمل خط الاختبار الأفقي فإنه يقطع المنحنى في أكثر من قطعة.

38) درجات الحرارة: تستعمل الدالة $f\left(x\right)=\frac{9}{5}x+32$ للتحويل من درجات الحرارة السيليزية إلى درجات الحرارة الفهرنهايتية، وتستعمل الدالة $k\left(x\right)=\frac{5}{9}(x+459.67)$ للتحويل من درجات الحرارة الفهرنهايتية إلى درجات الحرارة المطلقة (كلفن).

a) أوجد f^-1 وماذا تمثل هذه الدالة؟

$f^{-1}\left(x\right)=\frac{5}{9}(x-32)$وتمثل المعادلة المستعملة للتحويل من درجات فهرنهايت إلى سيليزيوس.

b) أثبت أن كلاً من f,f^-1 دالة عكسية للأخرى، ومثل منحناهما على الشاشة نفسها في الحاسبة البيانية.

$\begin{array}{rl}f\left(f^{-1}\right(x\left)\right)& =\frac{9}{5}\left(\frac{5}{9}(x-32)\right)+32\\ & =x-32+32=x\\ f^{-1}\left(f\right(x\left)\right)& =\frac{5}{9}\left(\frac{9}{5}x+32-32\right)\\ & =\frac{5}{9}\left(\frac{9}{5}x\right)=x\end{array}$

c) أوجد $(k\circ f)\left(x\right)$، وماذا تمثل هذه الدالة؟

$(k\circ f)\left(x\right)=x+273.15$ وتستعمل للتحويل من درجة الحرارة السيليزية إلى درجة الحرارة المطلقة.

d) إذا كانت درجة الحرارة C°60، فأوجد درجة الحرارة المطلقة المقابلة لها.

333.15 درجة مطلقة تقريباً.

ضع قيوداً على مجال كل دالة من الدوال الآتية حتى تصبح دالة متباينة، ثم أوجد الدالة العكسية لها:

39)

$f^{-1}\left(x\right)=\sqrt{x}+5,x\ge 5$

40)

$f^{-1}\left(x\right)=x-11,x\le -9$

41)

$f^{-1}\left(x\right)=\sqrt{x+6},x\ge 0$

42)

$f^{-1}\left(x\right)=x-1,x\ge -5$

43) أزهار: تحتاج فاطمة إلى 75 زهرة لتزيين قاعة في إحدى المناسبات، فإذا كان بإمكانها شراء قرنفل بسعر 3 ريالات للزهرة الواحدة وشراء جوري بسعر 5 ريالات للزهرة الواحدة، فأجب عما يأتي:

a) اكتب دالة تمثل التكلفة الكلية لشراء الأزهار.

$f\left(x\right)=5x+3(75-x)$ حيث تمثل x عدد أزهار الجوري.

b) أوجد الدالة العكسية لدالة التكلفة، وماذا يمثل كل متغير فيها؟

$f^{-1}\left(x\right)=0.5x-112.5$

c) حدد مجال دالة التكلفة، ومجال الدالة العكسية لها.

• مجال $\{x\mid 1225\le x\le 375,x\in R\},f^{-1}\left(x\right)=0.5x-112.5$
• مجال $\{x\mid 10\le x\le 75,x\in R\}\cdot f\left(x\right)=5x+3(75-x)$

d) إذا كانت التكلفة الكلية لشراء الأزهار 305 ريالات، فكم زهرة من القرنفل اشترت؟

عدد زهرات القرنفل =35 زهرة.

إذا كانت الدالة f-1 موجودة فاكتب المجال والمدى لكل من f,f^-1؟

44) $f\left(x\right)=\sqrt{x-6}$

$\begin{array}{r}\{x\mid x\ge 6,x\in R\}=f\left(x\right) \mathrm{مجال}\\ \{y\mid y\ge 0,y\in R\}=f\left(x\right) \mathrm{مدى}\\ \{x\mid x\ge 0,x\in R\}=f^{-1}\left(x\right) \mathrm{مجال}\\ \{y\mid y\ge 6,y\in R\}=f^{-1}\left(x\right) \mathrm{مدى}\end{array}$

45) $f\left(x\right)=x^2+9$

f^-1 غير موجودة.

46) $f\left(x\right)=\frac{3x+1}{x-4}$

$\begin{array}{r}\{x\mid x\ne 4,x\in R\}=f\left(x\right) \mathrm{مجال}\\ \{y\mid y\ne 3,y\in R\}=f\left(x\right) \mathrm{مدى}\\ \{x\mid x\ne 3,x\in R\}=f^{-1}\left(x\right) \mathrm{مجال}\\ \{y\mid y\ne 4,y\in R\}=f^{-1}\left(x\right) \mathrm{مدى}\end{array}$

47) $f\left(x\right)=\frac{8x+3}{2x-6}$

$\begin{array}{rl}& \{x\mid x\ne 3,x\in R\}=f\left(x\right) \mathrm{مجال}\\ & \{y\mid y\ne 4,y\in R\}=f\left(x\right) \mathrm{مدى}\\ & \{x\mid x\ne 4,x\in R\}=f^{-1}\left(x\right) \mathrm{مجال}\\ & \{y\mid y\ne 3,y\in R\}=f^{-1}\left(x\right) \mathrm{مدى}\end{array}$

أوجد الدالة العكسية في كل مما يأتي، إن أمكن، ثم مثل f,f-1 في مستوى إحداثي واحد، واذكر أية قيود على المجال:

48)

$f\left(x\right)= \left\{\begin{array}{ccc}{x}^2& ,& -4\ge x\\ -2x+5& ,& -4<x\end{array}\right\}$

$f^{-1}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{x}& ,16\le x\\ 2.5-\frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle 2}}& ,13>x\end{array}\right\}$

49)

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}-4x+6,& -5\ge x\\ 2x-8,& -5<x\end{array}\right\}$

غير موجودة.

50) اتصالات: أعلنت شركة لبيع أجهزة الهاتف المحمول عن عرض مبين في الشكل أدناه، فكانت الشركة تخصم 50 ريالاً وتمنح تخفيضاً مقداره %10 من سعر الجهاز الأصلي.

a) اكتب دالة r لسعر الجهاز بدلالة سعره الأصلي إذا تم خصم 20 ريالاً فقط.

r(x)=x-50

b) اكتب دالة d لسعر الجهاز بدلالة سعره الأصلي إذا تم منح التخفيض (10%) فقط.

d(x)=0.9x

c) اكتب قاعدة تمثل d◦r=T إذا تم التخفيض ثم الخصم.

T(x)=0.9x-50

d) أوجد T^-1 وماذا تمثل؟

$T^{-1}\left(x\right)=\frac{x+50}{0.9}$، تمثل الدالة العكسية السعر الأصلي للجهاز كدالة في سعر الجهاز بعد الخصم وإجراء التخفيض.

e) إذا كانت التكلفة الكلية لشراء جهاز بعد التخفيض ثم الخصم 760 ريالاً فكم سعره الأصلي؟

900 ريال.

إذا كانت: f(x)=8x-4, g(x)=2x+6 فأوجد:

51) $(f^{-1}\circ g^{-1})\left(x\right)$

$(f^{-1}\circ g^{-1})\left(x\right)=\frac{x+2}{16}$

52) $(g^{-1}\circ f-1)\left(x\right)$

$(g^{-1}\circ f^{-1})\left(x\right)=\frac{x-44}{16}$

53) $(f\circ g{)}^{-1}(x)$

$(f\circ g{)}^{-1}(x)=\frac{x-44}{16}$

54) $(g\circ f{)}^{-1}(x)$

$(g\circ f{)}^{-1}(x)=\frac{x+2}{16}$

55) تمثيلات متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة وجود أو عدم وجود دالة عكسية لكل من الدالة الزوجية والدالة الفردية.

a) بيانياً: مثل بيانياً منحنيات ثالث دوال زوجية مختلفة، هل حقق هذه الدوال اختبار الخط الأفقي؟

لا تحقق هذه الدوال اختبار الخط الأفقي.

b) تحليلياً: كون تخميناً حول وجود أو عدم وجود دالة عكسية للدالة الزوجية، أثبت صحة تخمينك بالطريقة الجبرية أو إنفه.

يمكن التوصيل إلى قاعدة تقول الدوال الزوجية ليس لها دوال عكسية حيث إذا كانت الدالة زوجية فإن f(x)=f(-x) وعليه فإن قيمتين من x ترتبطان بقيمة واحدة من y مما يؤدي إلى أن الدالة لا تحقق اختبار الخط الأفقي أي أنه لا يوجد للدالة الزوجية دالة عكسية.

c) بيانياً: مثل بيانياً منحنيات ثالث دوال فردية مختلفة، هل تحقق هذه الدوال اختبار الخط الأفقي؟

تحقق هذه الدالة اختبار الخط الأفقي.

d) تحليلياً: كون تخميناً حول وجود أو عدم وجود دالة عكسية للدالة الفردية، أثبت صحة تخمينك بالطريقة الجبرية أو انفه.

يوضح الرسم أن للدوال الثلاث دوال عكسية ولكن هذا لا ينطبق على كل الدوال الفردية فمثلاً $f\left(x\right)=\frac{2}{15}{x}^3-\frac{47}{15}x$ فردية لأن f(x)=f(x)- ومنحنى هذه الدالة لا يحقق الخط الأفقي أي أنه لا يوجد دالة عكسية لها.