حل أسئلة مراجعة الدرس الثالث: الاتصال والنهايات

حدد ما إذا كانت كل دالة مما يأتي متصلة عند قيم x المعطاة، وبرر إجابتك باستعمال اختبار الاتصال، وإذا كانت الدالة غير متصلة فبين نوع عدم الاتصال لانهائي، قفزي، قابل للإزالة.

27) $f\left(x\right)=x^2-3x,x=4$

متصلة عند x=4، الدالة معرفة عند x=4، تؤول الدالة إلى 4 عندما تؤول x إلى 4 من الجهتين f(4)=4.

28) $f\left(x\right)=\sqrt{2x-4},x=10$

غير متصلة عند x=10، والدالة غير معرفة عند x=10، وعدم الاتصال لانهائي.

$\begin{array}{rl}& f\left(10\right)=\sqrt{2\times 10-4}=\sqrt{16}\\ & f\left(10\right)=4\end{array}$

يبين الجدول أنه عندما تقترب x من 10، من اليسار ومن اليمين فإنها تقترب من 4 ولما أن f(10)=4 إذن الدالة متصلة عند x=10.

29) $f\left(x\right)=\frac{x}{x+7},x=0,x=7$

• متصلة عند x=0، الدالة معرفة عند x=0، تؤو الدالة إلى 0 عندما تؤول x إلى 0 من الجهتين f(0)=0.
• متصلة عند x=7، الدالة معرفة عند x=7، تؤول الدالة إلى 0.5، عندما تؤول x إلى 7 من الجهتين f(7)=0.5.

30) $f\left(x\right)=\frac{x}{x^2-4},x=2,x=4$

غير متصلة عند x=2 والدالة غير معرفة عند x=2، وعدم الاتصال لانهائي الدالة متصلة عند x=4 والدالة معرفة عند x=4 والدالة تؤول إلى $\frac{1}{3}$ عندما تؤول x إلى 4 من الجهتين $f\left(4\right)=\frac{1}{3}$.

31) $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{rc}3x-1,& x<1\\ 2x,& x\ge 1\end{array}\right\}, x=1$

متصلة عند x=1 والدالة معرفة عند x=1 وتؤول الدالة إلى 2 عندما تؤول x إلى 1 من الجهتين f(1)=2.

استعمل التمثيل البياني لكل من الدالتين الآتيتين لوصف سلوك طرفي التمثيل البياني لكل منهما:

32)

يوضح التمثيل البياني أنه عندما $f\left(x\right)\to -\mathrm{\infty } \mathrm{فإن} x\to \mathrm{\infty }$ وعندما $x\to -\mathrm{\infty }$ فإن $f\left(x\right)\to \mathrm{\infty }$

33)

يوضح التمثيل البياني أنه عندما $f\left(x\right)\to 0 \mathrm{فإن} x\to \mathrm{\infty }$ وعندما $x\to -\mathrm{\infty }$ فإن $f\left(x\right)\to 0$