حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

27) اكتشف الخطأ: يحاول سعيد وسلمان حساب القيمة الدقيقة ل: °15 sin. هل إجابة أي منهما صحيحة؟ برر إجابتك.

كلاهما أخطأ حيث طرح سعيد الجذور التربيعية بطريقة غير صحيحة، كما استعمل سلمان متطابقة نصف الزاوية ولكنه أخطأ في إيجاد قيمة cos 30 في المتطابقة كلها فكتبها $\frac{1}{2}$ بدلاً من $\frac{\sqrt{3}}{2}$

28) تحدٍ: استعمل دائرة الوحدة أدناه، والشكل المرسوم داخلها، لتبرهن أن: $\tan \frac{1}{2}\theta =\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }$.

الزاوية $\mathrm{\angle }PBD$ هي زاوية محيطية تقابل القوس نفسه الذي تقابله الزاوية المركزية $\mathrm{\angle }POD$ لذا فإن $m\mathrm{\angle }\left(PBD\right)=\frac{1}{2}m\mathrm{\angle }\left(PoD\right)$

وباستعمال المثلث القائم نجد أن:

$\begin{array}{rl}& \tan \frac{\theta }{2}=\tan \left(\mathrm{PBA}\right)=\frac{PA}{BA}=\frac{PA}{1+OA}\\ & \frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }=\frac{\frac{AP}{OP}}{1+\frac{OA}{OP}}=\frac{AP}{1+OA}\end{array}$

29) اكتب: اكتب فقرة مختصرة تبين الشروط اللازم توافرها؛ كي تستعمل كلاً من المتطابقات الثلاث لـ cos2θ.

• إذا أعطيت فقط قيمة cosθ فإن $\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1$ هي أفضل متطابقة يمكن استعمالها.
• وإذا أعطيت قيمة sinθ فإن $\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta$ هي أفضل متطابقة يمكن استعمالها.
• وإذا أعطيت كلاً من sinθ و cosθ فإن $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$ هي أفضل متطابقة يمكن استعمالها.

30) برهان: استعمل الصيغة sin(A+B) لاشتقاق صيغة sin2θ واستعمل الصيغة cos(A+B) لاشتقاق صيغة cos2θ.

$\begin{array}{rl}& \sin 2\theta =\sin (\theta +\theta )\\ & =\sin \theta \cos \theta +\sin \theta \cos \theta =2\sin \theta \cos \theta \\ & \cos 2\theta =\cos (\theta +\theta )\\ & =\cos \theta \cos \theta -\sin \theta \sin \theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta \end{array}$

31) تبرير: اشتق المتطابقات المثلثية لنصف الزاوية من المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية.

$\begin{array}{ll}2{\cos }^2\theta -1=\cos 2\theta & 1-2{\sin }^2\theta =\cos 2\theta \\ \theta =\frac{A}{2}\therefore 2\theta =A& \theta =\frac{A}{2}\therefore 2\theta =A\\ \therefore 2{\cos }^2\frac{A}{2}-1=\cos A& \therefore {\sin }^2\frac{A}{2}=\frac{1-\cos A}{2}\\ \therefore {\cos }^2\frac{A}{2}=\frac{1+\cos A}{2}& \therefore \sin \frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}\\ \therefore \cos \frac{A}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}& \end{array}$

32) مسألة مفتوحة: ضرب لاعب جولف كرة عدة مرات بسرعة ابتدائية مقدارها ft/s 115، ولنفترض أن المسافة d التي قطعتها الكرة في كل مرة تعطى بالصيغة $d=\frac{2v^2\sin \theta \cos \theta }{\mathrm{g}}$. فسر لماذا تكون المسافة العظمى عندما $(\mathrm{g}=32\mathrm{ft}/{\mathrm{s}}^2)\cdot \theta ={45}^{\circ }$.

$d=\frac{2v^2\sin \theta \cos \theta }{g}=\frac{v^2\sin 2\theta }{g}$

تكون أكثر قيمة ل d عند sin2θ=1 ويكون هذا عند $°$2θ=90 أو عند $°$θ=45