حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

31) اكتشف الخطأ: حلت كل من هلا وليلى المعادلة $0^{\circ }\le \theta \le {360}^{\circ }\cdot 2\sin \theta \cos \theta =\sin \theta$، أي منهما كانت إجابتها صحيحة؟ برر إجابتك.

قسمت حلا كل من الطرفين على $\sin \theta$ وهذا خطأ، بينما طرحت شهد $\sin \theta$ من الطرفين بشكل خطأ أيضاً.

32) تحدٍ: حل المتباينة $0\le x\le 2\pi ,\sin 2x<\sin x$ بدون استعمال الحاسبة.

$\begin{array}{rl}& \sin 2x<\sin x\\ & \therefore \sin 2x-\sin x<0\\ & \therefore 2\sin x\cos x-\sin x<0\\ & \therefore \sin x(2\cos x-1)<0\\ & \therefore \sin x<0,\cos x>\frac{1}{2}\\ & \text{or}\sin x>0,\cos x<\frac{1}{2}\\ & \therefore \frac{5\pi }{3}<x<2\pi \text{or}\frac{\pi }{3}<x<\pi \end{array}$

33) اكتب: حدد أوجه الشبه وأوجه الاختلاف بين حل المعادلات المثلثية، والمعادلات الخطية والتربيعية، ما الطرق المتشابهة؟ وما الطرق المختلفة؟ وما عدد الحلول المتوقعة؟

كل نوع من المعادلات يحتاج إما لطرح أو جمع أو قسمة كل طرف على العدد نفسه.

تحل المعادلات التربيعية والمثلثية على الأغلب باستعمال التحليل ولا تحتاج المعادلات الخطية والتربيعية إلى متطابقات لحلها، ويمكن حلها جبرياً في حين يمكن تمثيل بعض المعادلات المثلثية بيانياً بسهولة باستعمال الحاسبة البيانية، أما المعادلات الخطية فلها على الأكثر حل وحيد.

والمعادلة التربيعية لها على الأكثر حلان، أما المعادلات المثلثية فلها عادة عدد لا نهائي من الحلول إلا إذا كانت قيم المتغير مقيدة او مشروطه.

34) تبرير: اشرح سبب وجود عدد لانهائي من الحلول للمعادلات المثلثية.

لأن الدوال المثلثية دورية، فإضافة دورة كاملة لأي حل لمعادلة ينتج حلاً لها.

35) مسألة مفتوحة: اكتب مثالاً على معادلة مثلثية لها حلان فقط، بحيث تكون $0^{\circ }\le \theta \le {360}^{\circ }$.

المعادلة هي $2\cos \theta =0$ والحلان هما $270°$ و $\theta =90°$.

36) تحدٍ: هل للمعادلتين $\csc x=\sqrt{2},{\cot }^{2}x+1=2$ الحلول نفسها في الربع الأول؟ برر إجابتك.

نعم لأن

$\begin{array}{rl}& \cot x+1=2\\ & \therefore {\sec }^{2}x=2\therefore \sec x=\sqrt{2}\\ & \therefore \cos x=\frac{1}{\sec x}=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ & \therefore x=\frac{\pi }{4}\\ & \csc x=\sqrt{2}\\ & \therefore \sin x=\frac{1}{\csc x}=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ & \therefore x=\frac{\pi }{4}\end{array}$