حل اسئلة تدرب وحل المسائل

تدرب وحل المسائل

حلل كلاً من كثيرتي الحدود الآتيتين تحليلاً تاماً وإذا لم يكن ذلك ممكناً فاكتب كثيرة حدود أولية.

12)

$\begin{array}{r} 8 c^{3} - 27 d^{3} \\ 2^{3} c^{3} - 3^{3} d^{3} = \\ (2 c - 3 d) (4 c^{2} + 6 c d + 9 d^{2}) = \end{array}$

13)

$\begin{array}{r} 64 x^{4} + x y^{3} \\ x (4^{3} x^{3} + y^{3}) = \\ x (4 x + y) (16 x^{2} - 4 x y + y^{2}) = \end{array}$

14)

$\begin{array}{r} a^{8} - a^{2} b^{6} \\ a^{2} (a^{6} - b^{6}) = \\ a^{2} [{(a^{2})}^{3} - {(b^{2})}^{3}] = \\ a^{2} (a^{2} - b^{2}) (a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4}) = \\ a^{2} (a + b) (a - b) (a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4}) = \end{array}$

15)

$\begin{array}{r} x^{6} y^{3} + y^{9} \\ y^{3} (x^{6} + y^{6}) = \\ y^{3} ({(x^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{3}) = \\ y^{3} (x^{2} + y^{2}) (x^{4} - x^{2} y^{2} + y^{4}) = \end{array}$

16)

$\begin{array}{r} g x^{2} - 3 h x^{2} - 6 f y^{2} - g y^{2} + 6 f x^{2} + 3 h y^{2} \\ (x^{2} - y^{2}) (6 f + g - 3 h) = \\ (x + y) (x - y) (6 f + g - 3 h) = \end{array}$

17)

$18 x^{6} + 5 y^{6}$

كثيرة حدود أولية.

18)

$\begin{array}{r} 8 x^{5} - 25 y^{3} + 80 x^{4} - x^{2} y^{3} + 200 x^{3} - 10 x y^{3} \\ (8 x^{3} - y^{3}) (x^{2} + 10 x + 25) \\ (2 x - y) (2 x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x^{2} + 10 x + 25) = \\ (2 x - y) (2 x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x + 5)^{2} = \end{array}$

19)

$\begin{array}{r} 12 a x^{2} - 20 c y^{2} - 18 b x^{2} - 10 a y^{2} + 15 b y^{2} + 24 c x^{2} \\ 6 x^{2} (2 a - 3 b + 4 c) - 5 y^{2} (2 a - 3 b + 4 c) = \\ (6 x^{2} - 5 y^{2}) (2 a - 3 b + 4 c) = \end{array}$

20) هندسة: إذا كان حجم المجسم المجاور يساوي $55 x {cm}^{3}$ حيث x > 0 فأوجد كلاًّ من قيمة x وطول قاعدته وعرضها وارتفاعه.

$\begin{array}{r} (x - 3) x (x + 3) = 440 = 8 \times 5 \times 11 \\ x = 8, x - 3 = 5, x + 3 = 11 \\ 8 = x \end{array}$

الطول = 3 + x = 11

العرض = x - 3 = 5

أكتب كل مما يأتي عل الصورة التربيعية إن أمكن ذلك.

21)

$\begin{matrix} x^{4} + 12 x^{2} - 8 \\ {(x^{2})}^{2} + 12 (x^{2}) - 8 \end{matrix}$

22)

$\begin{array}{r} - 15 x^{4} + 18 x^{2} - 4 \\ - 15 {(x^{2})}^{2} + 18 (x^{2}) - 4 \end{array}$

23)

$\begin{array}{r} 8 x^{6} + 6 x^{3} + 7 \\ 2 {(2 x^{3})}^{2} + 3 (2 x^{3}) + 12 \end{array}$

24)

$5 x^{6} - 2 x^{2} + 8$

غير ممكن.

25)

$\begin{array}{r} 9 x^{8} - 21 x^{4} + 12 \\ {(3 x^{4})}^{2} - 7 (3 x^{4}) + 12 \end{array}$

26)

$16 x^{10} + 2 x^{5}$

غير ممكن.

حل كل معادلة مما يأتي:

27)

$\begin{array}{r} x^{4} + 6 x^{2} + 5 = 0 \\ {(x^{2})}^{2} + 6 (x^{2}) + 5 = 0 \end{array}$

نفرض أن $x^{2} = u$

$\begin{matrix} u^{2} + 6 u + 5 = 0 \\ (u - 1) (u + 5) = 0 \end{matrix}$

$\begin{aligned} u & = - 5 & u & = - 1 \\ x^{2} & = - 5 & x^{2} & = - 1 \\ x = \pm i \sqrt{5} & x = \pm i \end{aligned}$

28)

$x^{4} - 3 x^{2} - 10 = 0$

نفرض أن: $x^{2} = u$

$\begin{array}{r} u^{2} - 3 u - 10 = 0 \\ (u - 5) (u + 2) = 0 \end{array}$

$\begin{aligned} (u - 5) & = 0 & (u + 2) = 0 \\ (x^{2} - 5) & = 0 & (x^{2} + 2) = 0 \end{aligned}$

$\begin{array}{cc} x^{2} = 5 & x^{2} = - 2 \\ x = \pm \sqrt{5} & x = \pm i \sqrt{2} \end{array}$

29)

$\begin{array}{r} 4 x^{4} - 14 x^{2} + 12 = 0 \\ {(2 x^{2})}^{2} - 7 (2 x^{2}) + 12 = 0 \end{array}$

نفرض أن $2 x^{2} = u$

$\begin{array}{r} u^{2} - 7 u + 12 = 0 \\ (u - 4) (u - 3) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rr} (u - 4) = 0 & (u - 3) = 0 \\ u = 4 & u = 3 \\ x^{2} = 4 & x^{2} = 3 \\ x = \pm 2 & x = \pm \sqrt{3} \end{array}$

30)

$9 x^{4} - 27 x^{2} + 20 = 0$

نفرض أن $x^{2} = u$

$\begin{array}{r} u^{2} = x^{4} \\ 9 u^{2} - 27 u + 20 = 0 \\ 9 u^{2} - 15 u - 12 u + 20 = 0 \\ 3 u (3 u - 5) - 4 (3 u - 5) = 0 \\ (3 u - 5) (3 u - 4) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rr} (3 u - 4) = 0 & (3 u - 5) = 0 \\ 3 u = 4 & 3 u = 5 \\ u = \frac{4}{3} & u = \frac{5}{3} \end{array}$

$\begin{aligned} x^{2} = \frac{4}{3} x^{2} = \frac{5}{3} \\ x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} \end{aligned}$

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3} x = \pm \sqrt{\frac{5}{3}}$

31)

$4 x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

نفرض أن $x^{2} = u$

$\begin{array}{r} u^{2} = x^{4} \\ 4 u^{2} - 5 u - 6 = 0 \\ 4 u^{2} - 2 u - 3 u - 6 = 0 \\ (u - 2) (4 u + 3) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rr} (u - 2) = 0 & (4 u + 3) = 0 \\ u = 2 & u = - \frac{3}{4} \\ x^{2} = 2 & x^{2} = - \frac{3}{4} \\ x = \pm \sqrt{2} & x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}$

32)

$24 x^{4} + 14 x^{2} - 3 = 0$

نفرض أن $2 x^{2} = u$

$\begin{array}{r} u^{2} = x^{4} \\ 24 u^{2} + 14 u - 3 = 0 \\ 24 u^{2} + 18 u - 4 u - 3 = 0 \\ 6 u (4 u + 3) - (4 u + 3) = 0 \\ (4 u + 3) (6 u - 1) = 0 \end{array}$

$\begin{aligned} (6 u - 1) & = 0 & (4 u + 3) & = 0 \\ u & = \frac{1}{6} & u & = - \frac{3}{4} \\ x^{2} & = \frac{1}{6} & x^{2} & = - \frac{3}{4} \end{aligned}$

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{6} x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{2}$

حلل كلاً من كثيرتي الحدود الآتيتين تحليلاً تاماً وإذا لم يكن ذلك ممكناً فاكتب كثيرة حدود أولية.

33)

$\begin{array}{r} x^{4} - 625 \\ (x^{2} + 25) (x^{2} - 25) = \\ (x^{2} + 25) (x - 5) (x + 5) = \end{array}$

34)

$\begin{array}{r} x^{6} - 64 \\ x^{6} - 64 = {(x^{2})}^{3} - (4)^{3} \\ (x^{2} - 4) [{(x^{2})}^{2} + 4 (x^{2}) + (4)^{2}] = \\ (x + 2) (x - 2) (x^{4} + 4 x^{2} + 16) = \\ (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) (x^{2} - 2 x + 4) = \end{array}$

35)

$\begin{array}{r} x^{5} - 16 x \\ x (x^{4} - 16) = \\ x (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) \end{array}$

36)

$\begin{array}{r} 8 x^{5} y^{2} - 27 x^{2} y^{5} \\ x^{2} y^{2} (8 x^{3} - 27 y^{3}) = \\ x^{2} y^{2} (2^{3} x^{3} - 3^{3} y^{3}) = \\ x^{2} y^{2} (2 x - 3 y) (4 x^{2} + 6 x y + 9 y^{2}) = \end{array}$

37)

$\begin{array}{r} 15 a x - 10 b x + 5 c x + 12 a y - 8 b y + 4 c y + 15 a z - 10 b z + 5 c z \\ (15 a x - 10 b x + 5 c x) + (12 a y - 8 b y + 4 c y) + (15 a z - 10 b z + 5 c z) = \\ 5 x (3 a - 2 b + c) + 4 y (3 a - 2 b + c) + 5 z (3 a - 2 b + c) = \\ (5 x + 4 y + 5 z) (3 a - 2 b + c) = \end{array}$

38)

$\begin{array}{r} 4 b^{2} x^{2} + 18 c^{2} x^{2} - 5 a^{2} y^{3} + 20 b^{2} y^{3} - 15 c^{2} y^{3} + 2 a^{2} z^{2} - 8 b^{2} z^{2} + 6 c^{2} z^{2} \\ (6 x^{2} - 5 y^{3} + 2 z^{2}) (a^{2} - 4 b^{2} + 3 c^{2}) = \end{array}$

39)

$\begin{array}{r} 6 x^{5} - 11 x^{4} - 10 x^{3} - 54 x^{3} + 99 x^{2} + 90 x \\ (6 x^{5} - 11 x^{4} - 10 x^{3}) - (54 x^{3} - 99 x^{2} - 90 x) = \\ x^{3} (6 x^{2} - 11 x - 10) - 9 x (6 x^{2} - 11 x - 10) = \\ x (x^{2} - 9) (6 x^{2} - 11 x - 10) = \end{array}$

$\begin{array}{r} x (x + 3) (x - 3) (6 x^{2} - 11 x - 10) = \\ x (x + 3) (x - 3) (6 x^{2} - 15 x + 4 x - 10) = \\ x (x + 3) (x - 3) [(6 x^{2} + 4 x) - (15 x + 10)] = \\ x (x + 3) (x - 3) [2 x (3 x + 2) - 5 (3 x + 2)] = \\ x (x + 3) (x - 3) [(2 x - 5) (3 x + 2)] = \\ x (x + 3) (x - 3) (2 x - 5) (3 x + 2) = \end{array}$

40)

$\begin{array}{r} 20 x^{6} - 7 x^{5} - 6 x^{4} - 500 x^{4} + 175 x^{3} + 150 x^{2} \\ 20 x^{6} - 7 x^{5} - 506 x^{4} + 175 x^{3} + 150 x^{2} = \end{array}$

$\begin{array}{r} x^{2} (20 x^{4} - 7 x^{3} - 506 x^{2} + 175 x + 150) = \\ x^{2} (20 x^{4} - 100 x^{3} + 93 x^{3} - 465 x^{2} - 41 x^{2} + 205 x - 30 x + 150) = \\ 2 [(20 x^{4} - 100 x^{3}) + (93 x^{3} - 465 x^{2}) - (41 x^{2} - 205 x) - (30 x - 150)] = \\ x^{2} [20 x^{3} (x - 5) + 93 x^{2} (x - 5) - 41 x (x - 5) - 30 (x - 5)] = \\ x^{2} [(x - 5) (20 x^{3} + 93 x^{2} - 41 x - 30)] = \\ x^{2} (x - 5) (20 x^{3} + 100 x^{2} - 7 x^{2} - 35 x - 6 x - 30) = \\ x^{2} (x - 5) [(20 x^{3} + 100 x^{2}) - (7 x^{2} + 35 x) - (6 x + 30)] = \\ x^{2} (x - 5) [20 x^{2} (x + 5) - 7 x (x + 5) - 6 (x + 5)] = \end{array}$

$\begin{array}{r} x^{2} (x - 5) (x + 5) (20 x^{2} - 7 x - 6) = \\ x^{2} (x - 5) (x + 5) (4 x - 3) (5 x + 2) = \end{array}$

حل كل معادلة مما يأتي:

41)

$\begin{array}{r} x^{4} + x^{2} - 90 = 0 \\ (x^{2} + 10) (x^{2} - 9) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rr} (x^{2} - 9) = 0 & (x^{2} + 10) = 0 \\ x^{2} = 9 & x^{2} = - 10 \end{array}$

$x = \pm 3 x = \pm \sqrt{10}$

42)

$\begin{array}{r} x^{4} - 16 x^{2} - 720 = 0 \\ (x^{2} - 36) (x^{2} + 20) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rr} (x^{2} - 36) = 0 & (x^{2} + 20) = 0 \\ x^{2} = 36 & x^{2} = - 20 \end{array}$

43)

$\begin{array}{r} x^{4} - 7 x^{2} - 44 = 0 \\ (x^{2} - 11) (x^{2} + 4) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rr} (x^{2} - 11) = 0 & (x^{2} + 4) = 0 \\ x^{2} = 11 & x^{2} = - 4 \\ x = \pm \sqrt{11} & x = \pm \sqrt{- 4} \end{array}$

$x = \pm 2 i$

44)

$\begin{array}{rr} x^{4} + 6 x^{2} - 91 = 0 \\ (x^{2} + 13) (x^{2} - 7) = 0 \\ (x^{2} + 13) (x^{2} - 7) = 0 \\ (x^{2} - 7) = 0 & (x^{2} + 13) = 0 \\ x^{2} = 7 & x^{2} = - 13 \end{array}$

$\begin{array}{ll} x = \pm \sqrt{7} & x = \pm \sqrt{- 13} \\ x = \pm i \sqrt{13} \end{array}$

45)

$\begin{array}{r} x^{3} + 216 = 0 \\ (x + 6) (x^{2} + 6 x + 36) = 0 \\ (x^{2} + 6 x + 36) = 0 \end{array}$

$x = - 6 x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - (4 \times 1 \times 36)}}{2}$

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 108}}{2}$

$\begin{aligned} x = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2} \\ x = - 3 \pm 3 i \sqrt{3} \end{aligned}$

46)

$\begin{array}{r} 64 x^{3} + 1 = 0 \\ 4^{3} x^{3} + 1 = 0 \\ (4 x + 1) (16 x^{2} - 4 x + 1) = 0 \\ (16 x^{2} - 4 x + 1) = 0 \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{array}$

$\begin{array}{lr} x = - \frac{1}{4} & x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 (16) (1)}}{2 (16)} \\ x = - \frac{1}{4} & x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{32} \end{array}$

$\begin{matrix} x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{- 3}}{32} \\ x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{8} \end{matrix}$

حل كل معادلة مما يأتي:

47)

$\begin{array}{r} 8 x^{4} + 10 x^{2} - 3 = 0 \\ 2 {(2 x^{2})}^{2} + 5 (2 x^{2}) - 3 = 0 \end{array}$

نفرض أن $2 x^{2} = u$

$\begin{array}{r} 2 u^{2} + 5 u - 3 = 0 \\ (u + 3) (2 u - 1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rr} (u + 3) = 0 & (2 u - 1) = 0 \\ u = - 3 & u = \frac{1}{2} \\ x^{2} = - \frac{3}{2} & x^{2} = \frac{1}{4} \end{array}$

$x = \pm i \frac{\sqrt{6}}{2} x = \pm \frac{1}{2}$

48)

$6 x^{4} - 5 x^{2} - 4 = 0$

بفرض أن $x^{2} = u$

$\begin{array}{r} 6 u^{2} - 8 u + 3 u - 4 = 0 \\ (6 u^{2} - 8 u) + (3 u - 4) = 0 \\ 2 u (3 u - 4) + (3 u - 4) = 0 \\ (2 u + 1) (3 u - 4) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rr} (2 u + 1) = 0 & (3 u - 4) = 0 \\ u = - \frac{1}{2} & u = \frac{4}{3} \\ x^{2} = - \frac{1}{2} & x^{2} = \frac{4}{3} \end{array}$

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2} x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

49)

$\begin{array}{r} 20 x^{4} - 53 x^{2} + 18 = 0 \\ 20 {(x^{2})}^{2} - 53 (x^{2}) + 18 = 0 \end{array}$

بفرض أن $x^{2} = u$

$\begin{matrix} 20 u^{2} - 53 u + 18 = 0 \\ (4 u - 9) (5 u - 2) = 0 \end{matrix}$

$\begin{aligned} (4 u - 9) & = 0 & (5 u - 2) & = 0 \\ u & = \frac{9}{4} & u & = \frac{2}{5} \\ x^{2} & = \frac{9}{4} & x^{2} & = \frac{2}{5} \end{aligned}$

$x = \pm \frac{3}{2} x = \pm \frac{\sqrt{10}}{5}$

50)

$18 x^{4} + 43 x^{2} - 5 = 0$

بفرض أن $x^{2} = u$

$\begin{array}{r} 18 u^{2} + 43 u - 5 = 0 \\ 18 u^{2} + 45 u - 2 u - 5 = 0 \\ 9 u (2 u + 5) - (2 u + 5) = 0 \\ (9 u - 1) (2 u + 5) = 0 \end{array}$

$\begin{aligned} (9 u - 1) & = 0 & (2 u + 5) & = 0 \\ u & = \frac{1}{9} & u & = - \frac{5}{2} \\ x^{2} & = \frac{1}{9} & x^{2} & = - \frac{5}{2} \end{aligned}$

$x = \pm \frac{1}{3} x = \pm i \frac{\sqrt{10}}{2}$

51)

$8 x^{4} - 18 x^{2} + 4 = 0$

بفرض أن $x^{2} = u$

$\begin{array}{r} 8 u^{2} - 18 u + 4 = 0 \\ 8 u^{2} - 16 u - 2 u + 4 = 0 \\ (8 u^{2} - 16 u) - (2 u - 4) = 0 \\ 8 u (u - 2) - 2 (u - 2) = 0 \\ (8 u - 2) (u - 2) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rrr} (u - 2) & = 0 & (8 u - 2) & = 0 \\ u & = 2 & u & = \frac{2}{8} \\ x^{2} & = 2 & x^{2} & = \frac{2}{8} \end{array}$

$x = \pm \sqrt{2} x = \pm \frac{1}{2}$

52)

$3 x^{4} - 22 x^{2} - 45 = 0$

بفرض أن $x^{2} = u$

$\begin{array}{r} 3 u^{2} - 22 u - 45 = 0 \\ 3 u^{2} - 27 u + 5 u - 45 = 0 \\ (3 u^{2} - 27 u) + (5 u - 45) = 0 \\ 3 u (u - 9) + 5 (u - 9) = 0 \\ (3 u + 5) (u - 9) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rrr} (u - 9) & = 0 & (3 u + 5) & = 0 \\ u & = 9 & u & = \frac{5}{3} \\ x^{2} & = 9 & x^{2} & = \frac{5}{3} \end{array}$

$x = \pm 3 x = \pm \frac{\sqrt{15}}{3}$

53)

$x^{6} - 26 x^{3} - 27 = 0$

نفرض أن $x^{3} = u$

$\begin{array}{r} u^{2} - 26 u - 27 = 0 \\ (u - 27) (u + 1) = 0 \\ (u - 27) = 0 & (u + 1) = 0 \end{array}$

$\begin{aligned} u = 27 & u & = - 1 \\ x^{3} = 27 & x^{3} & = - 1 \\ x = 3 & x & = - 1 \end{aligned}$

54)

$\begin{array}{r} 4 x^{4} - 4 x^{2} - x^{2} + 1 = 0 \\ (4 x^{4} - 4 x^{2}) - (x^{2} - 1) = 0 \\ 4 x^{2} (x^{2} - 1) - (x^{2} - 1) = 0 \\ (4 x^{2} - 1) (x^{2} - 1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rr} (4 x^{2} - 1) = 0 & (x^{2} - 1) = 0 \\ x^{2} = \frac{1}{4} & x^{2} = 1 \\ x = \pm \frac{1}{2} & x = \pm 1 \end{array}$

55)

$\begin{array}{r} x^{6} - 9 x^{4} - x^{2} + 9 = 0 \\ (x^{6} - 9 x^{4}) - (x^{2} - 9) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{r} x^{4} (x^{2} - 9) - (x^{2} - 9) = 0 \\ (x^{4} - 1) (x^{2} - 9) = 0 \\ (x^{2} + 1) (x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) = 0 \\ (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (x + 3) (x - 3) = 0 \end{array}$

معادلات

56)

$x^{4} + 8 x^{2} + 15 = 0$

بفرض أن $x^{2} = u$

$\begin{array}{r} u^{2} = x^{4} \\ u^{2} + 8 u + 15 = 0 \\ (u + 5) (u + 3) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rr} (u + 5) = 0 & (u + 3) = 0 \\ u = - 5 & u = - 3 \\ x^{2} = - 5 & x^{2} = - 3 \\ x = \pm i \sqrt{5} & x = \pm i \sqrt{3} \end{array}$

57) هندسة: منشور متوازي مستطيلات أبعاده x-6 , x-4 , x-2 وحجمه 40x وحدة مكعبة.

a) اكتب معادلة كثيرة حدود تمثل حجم المنشور.

حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع.

$\begin{array}{r} (x - 2) (x - 4) (x - 6) = \\ [(x - 2) (x - 4)] (x - 6) = \\ (x^{2} - 6 x + 8) (x - 6) = \\ x (x^{2} - 6 x + 8) + (- 6) (x^{2} - 6 x + 8) = \end{array}$

$\begin{array}{r} x^{3} - 6 x^{2} + 8 x - 6 x^{2} + 36 x - 48 = \\ x^{3} - 12 x^{2} + 44 x - 48 = \end{array}$

b) حل المعادلة باستعمال التحليل إلى العوامل.

$\begin{array}{r} (x - 2) (x - 4) (x - 6) = 40 x \\ (x^{2} - 6 x + 8) (x - 6) = 40 x \\ x^{3} - 6 x^{2} + 8 x - 6 x^{2} + 36 x - 48 = 40 x \\ x^{3} - 12 x^{2} + 44 x - 48 - 40 x = 0 \\ x^{3} - 12 x^{2} + 4 x - 48 = 0 \\ x^{2} (x - 12) + 4 (x - 12) = 0 \\ (x^{2} + 4) (x - 12) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{cc} (x^{2} + 4) = 0 & (x - 12) = 0 \\ x = \pm 2 i & x = 12 \end{array}$

c) هل هناك قيم غير مقبولة للمتغير x عند حل المعادلة؟ وضح إجابتك.

$\pm 2 i$ لأنهما عددان تخيليان.

d) ما أبعاد المنشور؟

(6 - 12)، (4 - 12)، (2 - 12).

(6) (8) (10)

58) تصميم: يريد سليمان أن يبني بركة سباحة وفق التصميم المجاور حيث يحيط بها ممر خشبي بعرض ثابت.

بركة السباحة

a) إذا كانت مساحة سطح البركة فقط 336ft2 فما قيمة x؟

مساحة البركة =

$\begin{aligned} + [(24 - 2 x) \times (16 - 2 x)] + [x (12 - 2 x)] & = \\ 144 - 12 x - 24 x + 2 x^{2}) + (384 - 48 x - 32 x + 4 x^{2}) + (12 x - 2 x^{2}) & = 336 \\ 4 x^{2} - 104 x + 192 & = 0 \\ x^{2} - 26 x + 48 & = 0 \\ (x - 24) (x - 2) & = 0 \end{aligned}$

من الرسم لا يمكن أن يكون x = 24

x = 2 ft

b) إذا أصبحت قيمة x مثليها وذلك بتقليل مساحة سطح البركةفما المساحة الجديدة لسطح البركة؟

$\begin{array}{r} [(12 - 2 x) \times (12 - x)] + [(24 - 2 x) \times (16 - 2 x)] + [x (12 - 2 x)] = \\ 4 \leftarrow 2 x \leftarrow x \\ [(12 - 8) \times (12 - 4)] + [(24 - 8) \times (16 - 8)] + [4 (12 - 8)] = \\ [(4) \times (8)] + [(16) \times (8)] + [16] = \\ 32 + 128 + 16 = 176 {ft}^{2} \end{array}$

c) إذا نصفت قيمة x بزيادة مساحة سطح البركة فما مساحة سطح البركة فقط عندئذ؟

$\begin{array}{r} [(12 - 2 x) \times (12 - x)] + [(24 - 2 x) \times (16 - 2 x)] + [x (12 - 2 x)] = \\ 1 \leftarrow \frac{x}{2} \leftarrow x \\ [(12 - 2) \times (12 - 1)] + [(24 - 2) \times (16 - 2)] + [(12 - 2)] = \\ [(10) \times (11)] + [(22) \times (14)] + [(10)] = \\ 110 + 308 + 10 = 428 {ft}^{2} \end{array}$

59) أحياء: قدر حسام عدد الفيروسات في إحدى التجارب بالدالة: $P (t) = - 0.012 t^{3} - 0.24 t^{2} + 6.3 t + 8000$ ، حيث t الزمن بالساعات (t)P عدد الفيروسات فإذا أراد حسام أن يحدد الزمن الذي يصبح فيه عدد الفيروسات 8000 فيروس.

a) فأوجد قيمة t باستعمال التحليل إلى العوامل.

$\begin{array}{r} 8000 = - 0.012 t^{3} - 0.24 t^{2} + 6.3 t + 8000 \\ - 0.012 t^{3} - 0.24 t^{2} + 6.3 t = 0 \\ 12 t^{3} + 240 t^{2} - 6300 t = 0 \\ t^{3} + 20 t^{2} - 525 t = 0 \\ t (t^{2} + 20 t - 525) = 0 \\ t (t - 15) (t + 35) = 0 \end{array}$

$t = 0 t = 15 t = - 35$

b) كيف أجريت عملية التحليل إلى العوامل؟

بطرح 8000 من كل طرف وضربه بالعدد 1000 للتخلص من الكسور العشرية وبإخراج عامل مشترك ثم تحليل المقدار الثلاثي.

c) ما قيم t المقبولة؟ وما القيم غير المقبولة؟ وضح إجابتك.

0، 15 قيم مقبولة للمتغير لكن -35 غير مقبولة لأنها قيمة سالبة والوقت لا يكون سالباً.

60) تصميم المباني: يمثل الشكل المجاور مخطط شقة سكنية.

شكل

a) اكتب دالة بدلالة المتغير x تمثل مساحة الشقة.

الشقة

المساحة: (1)

الطول: (6 + x)

العرض: x+2+x+2+x+x= 4x+4

المساحة = (4 + 4x) (6 + x)

$4 x^{2} + 28 x + 24 =$

المساحة: (2)

الطول: (x)

العرض: x+2+x+2+x= 3x+4

المساحة = (4 + 3x) (x)

$3 x^{2} + 4 x =$

المساحة: (3)

الطول: (x)

العرض: x+2

المساحة = (x+2) (x)

$x^{2} + 2 x =$

المساحة الكلية =

$\begin{array}{r} 4 x^{2} + 28 x + 24 + 3 x^{2} + 4 x + x^{2} + 2 x \\ f (x) = 8 x^{2} + 34 x + 24 \end{array}$

b) إذا كانت مساحة الشقة 1366ft2 فما قيمة x؟

$\begin{aligned} 8 x^{2} + 34 x + 24 & = 1366 \\ 8 x^{2} + 34 x - 1342 & = 0 \\ 4 x^{2} + 17 x - 671 & = 0 \\ (x - 11) (x + - 15.25) & = 0 \end{aligned}$

حيث لا توجد قيمة سالبة للمساحة.

x = 11ft

حلل كلاً من كثيرتي الحدود الآتيتين تحليلاً تاماً وإذا لم يكن ذلك ممكناً فاكتب كثيرة حدود أولية.

61)

$\begin{array}{r} x^{6} - 4 x^{4} - 8 x^{4} + 32 x^{2} + 16 x^{2} - 64 \\ (x^{6} - 4 x^{4}) - (8 x^{4} - 32 x^{2}) + (16 x^{2} - 64) \\ x^{4} (x^{2} - 4) - 8 x^{2} (x^{2} - 4) + 16 (x^{2} - 4) \\ (x^{2} - 4) (x^{4} - 8 x^{2} + 16) \end{array}$

$\begin{array}{r} (x + 4) (x - 4) (x^{4} - 8 x^{2} + 16) \\ (x^{4} - 8 x^{2} + 16) \end{array}$

نفرض أن $\begin{matrix} x^{2} = u \\ x^{4} = u^{2} \end{matrix}$

$\begin{array}{r} (u^{2} - 8 u + 16) \\ (u - 4) (u - 4) \\ (x^{2} - 4) (x^{2} - 4) \\ (x + 4) (x - 4) (x + 4) (x - 4) \\ (x + 4)^{2} (x - 4)^{2} \end{array}$

$\begin{array}{r} (x + 4) (x - 4) (x + 4)^{2} (x - 4)^{2} \\ (x + 4)^{3} (x - 4)^{3} \end{array}$

62)

$\begin{array}{r} y^{9} - y^{6} - 2 y^{6} + 2 y^{3} + y^{3} - 1 \\ y^{9} - 2 y^{6} + y^{3} - y^{6} + 2 y^{3} - 1 \\ (y^{9} - 2 y^{6} + y^{3}) - (y^{6} - 2 y^{3} + 1) \\ y^{3} (y^{6} - 2 y^{3} + 1) - (y^{6} - 2 y^{3} + 1) \\ (y^{3} - 1) (y^{6} - 2 y^{3} + 1) \\ (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{6} - 2 y^{3} + 1) \end{array}$

$(y^{6} - 2 y^{3} + 1)$

نفرض أن $\begin{matrix} y^{3} = u \\ y^{6} = u^{2} \end{matrix}$

$\begin{array}{r} (u^{2} - 2 u + 1) \\ (u - 1) (u - 1) \\ (y^{3} - 1) (y^{3} - 1) \end{array}$

$\begin{array}{r} (y - 1)^{2} {(y^{2} + y + 1)}^{2} \\ (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y - 1)^{2} {(y^{2} + y + 1)}^{2} \\ (y - 1)^{3} {(y^{2} + y + 1)}^{3} \end{array}$

63)

$x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - y^{6}$

نفرض أن: $\begin{aligned} x^{2} = u \\ y^{2} = v \end{aligned}$

$\begin{array}{r} u^{3} - 3 u^{2} v + 3 u v^{2} - v^{3} \\ (u - v)^{3} \\ {(x^{2} - y^{2})}^{3} \\ [(x + y) (x - y)]^{3} \\ (x + y)^{3} (x - y)^{3} \end{array}$

64) حدائق: حديقة مستطيلة الشكل بعداها 32ft و40ft تم توسعتها لتصبح مساحتها 5.4 أمثال مساحتها الأصلية بزيادة كل من طولها وعرضها بالمقدار نفسه.

a) ارسم شكلاً يمثل الموقف.

شكل

b) اكتب معادلة كثيرة حدود تمثل المساحة الجديدة وحلها بالتحليل إلى العوامل.

$\begin{array}{r} 4 x^{2} + 144 x + 1280 = 5760 \\ 4 x^{2} + 144 x + 1280 - 5760 = 0 \\ 4 x^{2} + 144 x - 4480 = 0 \\ x^{2} + 36 x - 1120 = 0 \\ (x - 20) (x + 56) = 0 \\ (x - 20) = 0 & (x + 56) = 0 \\ x = 20 & x = - 56 \end{array}$

c) مثل الدالة بيانياً.

التمثيل البياني

d) ما الحل غير المقبول؟ ولماذا؟ وضح إجابتك.

-56 لأن الطول لا يمكن أن يكون سالباً.

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

فيديو حل اسئلة تدرب وحل المسائل

النقاشات

لايوجد نقاشات

حل اسئلة تدرب وحل المسائل

تدرب وحل المسائل

حلل كلاً من كثيرتي الحدود الآتيتين تحليلاً تاماً وإذا لم يكن ذلك ممكناً فاكتب كثيرة حدود أولية.

12)

$\begin{array}{r} 8 c^{3} - 27 d^{3} \\ 2^{3} c^{3} - 3^{3} d^{3} = \\ (2 c - 3 d) (4 c^{2} + 6 c d + 9 d^{2}) = \end{array}$

13)

$\begin{array}{r} 64 x^{4} + x y^{3} \\ x (4^{3} x^{3} + y^{3}) = \\ x (4 x + y) (16 x^{2} - 4 x y + y^{2}) = \end{array}$

14)

15)

$\begin{array}{r} x^{6} y^{3} + y^{9} \\ y^{3} (x^{6} + y^{6}) = \\ y^{3} ({(x^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{3}) = \\ y^{3} (x^{2} + y^{2}) (x^{4} - x^{2} y^{2} + y^{4}) = \end{array}$

16)

$\begin{array}{r} g x^{2} - 3 h x^{2} - 6 f y^{2} - g y^{2} + 6 f x^{2} + 3 h y^{2} \\ (x^{2} - y^{2}) (6 f + g - 3 h) = \\ (x + y) (x - y) (6 f + g - 3 h) = \end{array}$

17)

$18 x^{6} + 5 y^{6}$

كثيرة حدود أولية.

18)

19)

20) هندسة: إذا كان حجم المجسم المجاور يساوي $55 x {cm}^{3}$ حيث x > 0 فأوجد كلاًّ من قيمة x وطول قاعدته وعرضها وارتفاعه.

$\begin{array}{r} (x - 3) x (x + 3) = 440 = 8 \times 5 \times 11 \\ x = 8, x - 3 = 5, x + 3 = 11 \\ 8 = x \end{array}$

الطول = 3 + x = 11

العرض = x - 3 = 5

أكتب كل مما يأتي عل الصورة التربيعية إن أمكن ذلك.

21)

$\begin{matrix} x^{4} + 12 x^{2} - 8 \\ {(x^{2})}^{2} + 12 (x^{2}) - 8 \end{matrix}$

22)

$\begin{array}{r} - 15 x^{4} + 18 x^{2} - 4 \\ - 15 {(x^{2})}^{2} + 18 (x^{2}) - 4 \end{array}$

23)

$\begin{array}{r} 8 x^{6} + 6 x^{3} + 7 \\ 2 {(2 x^{3})}^{2} + 3 (2 x^{3}) + 12 \end{array}$

24)

$5 x^{6} - 2 x^{2} + 8$

غير ممكن.

25)

$\begin{array}{r} 9 x^{8} - 21 x^{4} + 12 \\ {(3 x^{4})}^{2} - 7 (3 x^{4}) + 12 \end{array}$

26)

$16 x^{10} + 2 x^{5}$

غير ممكن.

حل كل معادلة مما يأتي:

27)

$\begin{array}{r} x^{4} + 6 x^{2} + 5 = 0 \\ {(x^{2})}^{2} + 6 (x^{2}) + 5 = 0 \end{array}$

نفرض أن $x^{2} = u$

$\begin{matrix} u^{2} + 6 u + 5 = 0 \\ (u - 1) (u + 5) = 0 \end{matrix}$

$\begin{aligned} u & = - 5 & u & = - 1 \\ x^{2} & = - 5 & x^{2} & = - 1 \\ x = \pm i \sqrt{5} & x = \pm i \end{aligned}$

28)

$x^{4} - 3 x^{2} - 10 = 0$

نفرض أن: $x^{2} = u$

$\begin{array}{r} u^{2} - 3 u - 10 = 0 \\ (u - 5) (u + 2) = 0 \end{array}$

$\begin{aligned} (u - 5) & = 0 & (u + 2) = 0 \\ (x^{2} - 5) & = 0 & (x^{2} + 2) = 0 \end{aligned}$

$\begin{array}{cc} x^{2} = 5 & x^{2} = - 2 \\ x = \pm \sqrt{5} & x = \pm i \sqrt{2} \end{array}$

29)

$\begin{array}{r} 4 x^{4} - 14 x^{2} + 12 = 0 \\ {(2 x^{2})}^{2} - 7 (2 x^{2}) + 12 = 0 \end{array}$

نفرض أن $2 x^{2} = u$

$\begin{array}{r} u^{2} - 7 u + 12 = 0 \\ (u - 4) (u - 3) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rr} (u - 4) = 0 & (u - 3) = 0 \\ u = 4 & u = 3 \\ x^{2} = 4 & x^{2} = 3 \\ x = \pm 2 & x = \pm \sqrt{3} \end{array}$

30)

$9 x^{4} - 27 x^{2} + 20 = 0$

نفرض أن $x^{2} = u$

$\begin{array}{r} u^{2} = x^{4} \\ 9 u^{2} - 27 u + 20 = 0 \\ 9 u^{2} - 15 u - 12 u + 20 = 0 \\ 3 u (3 u - 5) - 4 (3 u - 5) = 0 \\ (3 u - 5) (3 u - 4) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rr} (3 u - 4) = 0 & (3 u - 5) = 0 \\ 3 u = 4 & 3 u = 5 \\ u = \frac{4}{3} & u = \frac{5}{3} \end{array}$

$\begin{aligned} x^{2} = \frac{4}{3} x^{2} = \frac{5}{3} \\ x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} \end{aligned}$

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3} x = \pm \sqrt{\frac{5}{3}}$

31)

$4 x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

نفرض أن $x^{2} = u$

$\begin{array}{r} u^{2} = x^{4} \\ 4 u^{2} - 5 u - 6 = 0 \\ 4 u^{2} - 2 u - 3 u - 6 = 0 \\ (u - 2) (4 u + 3) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rr} (u - 2) = 0 & (4 u + 3) = 0 \\ u = 2 & u = - \frac{3}{4} \\ x^{2} = 2 & x^{2} = - \frac{3}{4} \\ x = \pm \sqrt{2} & x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}$

32)

$24 x^{4} + 14 x^{2} - 3 = 0$

نفرض أن $2 x^{2} = u$

$\begin{array}{r} u^{2} = x^{4} \\ 24 u^{2} + 14 u - 3 = 0 \\ 24 u^{2} + 18 u - 4 u - 3 = 0 \\ 6 u (4 u + 3) - (4 u + 3) = 0 \\ (4 u + 3) (6 u - 1) = 0 \end{array}$

$\begin{aligned} (6 u - 1) & = 0 & (4 u + 3) & = 0 \\ u & = \frac{1}{6} & u & = - \frac{3}{4} \\ x^{2} & = \frac{1}{6} & x^{2} & = - \frac{3}{4} \end{aligned}$

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{6} x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{2}$

حلل كلاً من كثيرتي الحدود الآتيتين تحليلاً تاماً وإذا لم يكن ذلك ممكناً فاكتب كثيرة حدود أولية.

33)

$\begin{array}{r} x^{4} - 625 \\ (x^{2} + 25) (x^{2} - 25) = \\ (x^{2} + 25) (x - 5) (x + 5) = \end{array}$

34)

35)

$\begin{array}{r} x^{5} - 16 x \\ x (x^{4} - 16) = \\ x (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) \end{array}$

36)

37)

38)

39)

40)

$\begin{array}{r} 20 x^{6} - 7 x^{5} - 6 x^{4} - 500 x^{4} + 175 x^{3} + 150 x^{2} \\ 20 x^{6} - 7 x^{5} - 506 x^{4} + 175 x^{3} + 150 x^{2} = \end{array}$

$\begin{array}{r} x^{2} (x - 5) (x + 5) (20 x^{2} - 7 x - 6) = \\ x^{2} (x - 5) (x + 5) (4 x - 3) (5 x + 2) = \end{array}$

حل كل معادلة مما يأتي:

41)

$\begin{array}{r} x^{4} + x^{2} - 90 = 0 \\ (x^{2} + 10) (x^{2} - 9) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rr} (x^{2} - 9) = 0 & (x^{2} + 10) = 0 \\ x^{2} = 9 & x^{2} = - 10 \end{array}$

$x = \pm 3 x = \pm \sqrt{10}$

42)

$\begin{array}{r} x^{4} - 16 x^{2} - 720 = 0 \\ (x^{2} - 36) (x^{2} + 20) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rr} (x^{2} - 36) = 0 & (x^{2} + 20) = 0 \\ x^{2} = 36 & x^{2} = - 20 \end{array}$

43)

$\begin{array}{r} x^{4} - 7 x^{2} - 44 = 0 \\ (x^{2} - 11) (x^{2} + 4) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rr} (x^{2} - 11) = 0 & (x^{2} + 4) = 0 \\ x^{2} = 11 & x^{2} = - 4 \\ x = \pm \sqrt{11} & x = \pm \sqrt{- 4} \end{array}$

$x = \pm 2 i$

44)

$\begin{array}{rr} x^{4} + 6 x^{2} - 91 = 0 \\ (x^{2} + 13) (x^{2} - 7) = 0 \\ (x^{2} + 13) (x^{2} - 7) = 0 \\ (x^{2} - 7) = 0 & (x^{2} + 13) = 0 \\ x^{2} = 7 & x^{2} = - 13 \end{array}$

$\begin{array}{ll} x = \pm \sqrt{7} & x = \pm \sqrt{- 13} \\ x = \pm i \sqrt{13} \end{array}$

45)

$\begin{array}{r} x^{3} + 216 = 0 \\ (x + 6) (x^{2} + 6 x + 36) = 0 \\ (x^{2} + 6 x + 36) = 0 \end{array}$

$x = - 6 x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - (4 \times 1 \times 36)}}{2}$

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 108}}{2}$

$\begin{aligned} x = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2} \\ x = - 3 \pm 3 i \sqrt{3} \end{aligned}$

46)

$\begin{array}{r} 64 x^{3} + 1 = 0 \\ 4^{3} x^{3} + 1 = 0 \\ (4 x + 1) (16 x^{2} - 4 x + 1) = 0 \\ (16 x^{2} - 4 x + 1) = 0 \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{array}$

$\begin{array}{lr} x = - \frac{1}{4} & x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 (16) (1)}}{2 (16)} \\ x = - \frac{1}{4} & x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{32} \end{array}$

$\begin{matrix} x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{- 3}}{32} \\ x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{8} \end{matrix}$

حل كل معادلة مما يأتي:

47)

$\begin{array}{r} 8 x^{4} + 10 x^{2} - 3 = 0 \\ 2 {(2 x^{2})}^{2} + 5 (2 x^{2}) - 3 = 0 \end{array}$

نفرض أن $2 x^{2} = u$

$\begin{array}{r} 2 u^{2} + 5 u - 3 = 0 \\ (u + 3) (2 u - 1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rr} (u + 3) = 0 & (2 u - 1) = 0 \\ u = - 3 & u = \frac{1}{2} \\ x^{2} = - \frac{3}{2} & x^{2} = \frac{1}{4} \end{array}$

$x = \pm i \frac{\sqrt{6}}{2} x = \pm \frac{1}{2}$

48)

$6 x^{4} - 5 x^{2} - 4 = 0$

بفرض أن $x^{2} = u$

$\begin{array}{r} 6 u^{2} - 8 u + 3 u - 4 = 0 \\ (6 u^{2} - 8 u) + (3 u - 4) = 0 \\ 2 u (3 u - 4) + (3 u - 4) = 0 \\ (2 u + 1) (3 u - 4) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rr} (2 u + 1) = 0 & (3 u - 4) = 0 \\ u = - \frac{1}{2} & u = \frac{4}{3} \\ x^{2} = - \frac{1}{2} & x^{2} = \frac{4}{3} \end{array}$

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2} x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

49)

$\begin{array}{r} 20 x^{4} - 53 x^{2} + 18 = 0 \\ 20 {(x^{2})}^{2} - 53 (x^{2}) + 18 = 0 \end{array}$

بفرض أن $x^{2} = u$

$\begin{matrix} 20 u^{2} - 53 u + 18 = 0 \\ (4 u - 9) (5 u - 2) = 0 \end{matrix}$

$\begin{aligned} (4 u - 9) & = 0 & (5 u - 2) & = 0 \\ u & = \frac{9}{4} & u & = \frac{2}{5} \\ x^{2} & = \frac{9}{4} & x^{2} & = \frac{2}{5} \end{aligned}$

$x = \pm \frac{3}{2} x = \pm \frac{\sqrt{10}}{5}$

50)

$18 x^{4} + 43 x^{2} - 5 = 0$

بفرض أن $x^{2} = u$

$\begin{array}{r} 18 u^{2} + 43 u - 5 = 0 \\ 18 u^{2} + 45 u - 2 u - 5 = 0 \\ 9 u (2 u + 5) - (2 u + 5) = 0 \\ (9 u - 1) (2 u + 5) = 0 \end{array}$

$\begin{aligned} (9 u - 1) & = 0 & (2 u + 5) & = 0 \\ u & = \frac{1}{9} & u & = - \frac{5}{2} \\ x^{2} & = \frac{1}{9} & x^{2} & = - \frac{5}{2} \end{aligned}$

$x = \pm \frac{1}{3} x = \pm i \frac{\sqrt{10}}{2}$

51)

$8 x^{4} - 18 x^{2} + 4 = 0$

بفرض أن $x^{2} = u$

$\begin{array}{r} 8 u^{2} - 18 u + 4 = 0 \\ 8 u^{2} - 16 u - 2 u + 4 = 0 \\ (8 u^{2} - 16 u) - (2 u - 4) = 0 \\ 8 u (u - 2) - 2 (u - 2) = 0 \\ (8 u - 2) (u - 2) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rrr} (u - 2) & = 0 & (8 u - 2) & = 0 \\ u & = 2 & u & = \frac{2}{8} \\ x^{2} & = 2 & x^{2} & = \frac{2}{8} \end{array}$

$x = \pm \sqrt{2} x = \pm \frac{1}{2}$

52)

$3 x^{4} - 22 x^{2} - 45 = 0$

بفرض أن $x^{2} = u$

$\begin{array}{r} 3 u^{2} - 22 u - 45 = 0 \\ 3 u^{2} - 27 u + 5 u - 45 = 0 \\ (3 u^{2} - 27 u) + (5 u - 45) = 0 \\ 3 u (u - 9) + 5 (u - 9) = 0 \\ (3 u + 5) (u - 9) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rrr} (u - 9) & = 0 & (3 u + 5) & = 0 \\ u & = 9 & u & = \frac{5}{3} \\ x^{2} & = 9 & x^{2} & = \frac{5}{3} \end{array}$

$x = \pm 3 x = \pm \frac{\sqrt{15}}{3}$

53)

$x^{6} - 26 x^{3} - 27 = 0$

نفرض أن $x^{3} = u$

$\begin{array}{r} u^{2} - 26 u - 27 = 0 \\ (u - 27) (u + 1) = 0 \\ (u - 27) = 0 & (u + 1) = 0 \end{array}$

$\begin{aligned} u = 27 & u & = - 1 \\ x^{3} = 27 & x^{3} & = - 1 \\ x = 3 & x & = - 1 \end{aligned}$

54)

$\begin{array}{r} 4 x^{4} - 4 x^{2} - x^{2} + 1 = 0 \\ (4 x^{4} - 4 x^{2}) - (x^{2} - 1) = 0 \\ 4 x^{2} (x^{2} - 1) - (x^{2} - 1) = 0 \\ (4 x^{2} - 1) (x^{2} - 1) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rr} (4 x^{2} - 1) = 0 & (x^{2} - 1) = 0 \\ x^{2} = \frac{1}{4} & x^{2} = 1 \\ x = \pm \frac{1}{2} & x = \pm 1 \end{array}$

55)

$\begin{array}{r} x^{6} - 9 x^{4} - x^{2} + 9 = 0 \\ (x^{6} - 9 x^{4}) - (x^{2} - 9) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{r} x^{4} (x^{2} - 9) - (x^{2} - 9) = 0 \\ (x^{4} - 1) (x^{2} - 9) = 0 \\ (x^{2} + 1) (x^{2} - 1) (x + 3) (x - 3) = 0 \\ (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (x + 3) (x - 3) = 0 \end{array}$

معادلات

56)

$x^{4} + 8 x^{2} + 15 = 0$

بفرض أن $x^{2} = u$

$\begin{array}{r} u^{2} = x^{4} \\ u^{2} + 8 u + 15 = 0 \\ (u + 5) (u + 3) = 0 \end{array}$

$\begin{array}{rr} (u + 5) = 0 & (u + 3) = 0 \\ u = - 5 & u = - 3 \\ x^{2} = - 5 & x^{2} = - 3 \\ x = \pm i \sqrt{5} & x = \pm i \sqrt{3} \end{array}$

57) هندسة: منشور متوازي مستطيلات أبعاده x-6 , x-4 , x-2 وحجمه 40x وحدة مكعبة.

a) اكتب معادلة كثيرة حدود تمثل حجم المنشور.

حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع.

$\begin{array}{r} (x - 2) (x - 4) (x - 6) = \\ [(x - 2) (x - 4)] (x - 6) = \\ (x^{2} - 6 x + 8) (x - 6) = \\ x (x^{2} - 6 x + 8) + (- 6) (x^{2} - 6 x + 8) = \end{array}$

$\begin{array}{r} x^{3} - 6 x^{2} + 8 x - 6 x^{2} + 36 x - 48 = \\ x^{3} - 12 x^{2} + 44 x - 48 = \end{array}$

b) حل المعادلة باستعمال التحليل إلى العوامل.

$\begin{array}{cc} (x^{2} + 4) = 0 & (x - 12) = 0 \\ x = \pm 2 i & x = 12 \end{array}$

c) هل هناك قيم غير مقبولة للمتغير x عند حل المعادلة؟ وضح إجابتك.

$\pm 2 i$ لأنهما عددان تخيليان.

d) ما أبعاد المنشور؟

(6 - 12)، (4 - 12)، (2 - 12).

(6) (8) (10)

58) تصميم: يريد سليمان أن يبني بركة سباحة وفق التصميم المجاور حيث يحيط بها ممر خشبي بعرض ثابت.

بركة السباحة

a) إذا كانت مساحة سطح البركة فقط 336ft2 فما قيمة x؟

مساحة البركة =

من الرسم لا يمكن أن يكون x = 24

x = 2 ft

b) إذا أصبحت قيمة x مثليها وذلك بتقليل مساحة سطح البركةفما المساحة الجديدة لسطح البركة؟

c) إذا نصفت قيمة x بزيادة مساحة سطح البركة فما مساحة سطح البركة فقط عندئذ؟

59) أحياء: قدر حسام عدد الفيروسات في إحدى التجارب بالدالة: $P (t) = - 0.012 t^{3} - 0.24 t^{2} + 6.3 t + 8000$ ، حيث t الزمن بالساعات (t)P عدد الفيروسات فإذا أراد حسام أن يحدد الزمن الذي يصبح فيه عدد الفيروسات 8000 فيروس.

a) فأوجد قيمة t باستعمال التحليل إلى العوامل.

$t = 0 t = 15 t = - 35$

b) كيف أجريت عملية التحليل إلى العوامل؟

بطرح 8000 من كل طرف وضربه بالعدد 1000 للتخلص من الكسور العشرية وبإخراج عامل مشترك ثم تحليل المقدار الثلاثي.

c) ما قيم t المقبولة؟ وما القيم غير المقبولة؟ وضح إجابتك.

0، 15 قيم مقبولة للمتغير لكن -35 غير مقبولة لأنها قيمة سالبة والوقت لا يكون سالباً.

60) تصميم المباني: يمثل الشكل المجاور مخطط شقة سكنية.

شكل

a) اكتب دالة بدلالة المتغير x تمثل مساحة الشقة.

الشقة

المساحة: (1)

الطول: (6 + x)

العرض: x+2+x+2+x+x= 4x+4

المساحة = (4 + 4x) (6 + x)

$4 x^{2} + 28 x + 24 =$

المساحة: (2)

الطول: (x)

العرض: x+2+x+2+x= 3x+4

المساحة = (4 + 3x) (x)

$3 x^{2} + 4 x =$

المساحة: (3)

الطول: (x)

العرض: x+2

المساحة = (x+2) (x)

$x^{2} + 2 x =$

المساحة الكلية =

$\begin{array}{r} 4 x^{2} + 28 x + 24 + 3 x^{2} + 4 x + x^{2} + 2 x \\ f (x) = 8 x^{2} + 34 x + 24 \end{array}$

b) إذا كانت مساحة الشقة 1366ft2 فما قيمة x؟

$\begin{aligned} 8 x^{2} + 34 x + 24 & = 1366 \\ 8 x^{2} + 34 x - 1342 & = 0 \\ 4 x^{2} + 17 x - 671 & = 0 \\ (x - 11) (x + - 15.25) & = 0 \end{aligned}$

حيث لا توجد قيمة سالبة للمساحة.

x = 11ft

حلل كلاً من كثيرتي الحدود الآتيتين تحليلاً تاماً وإذا لم يكن ذلك ممكناً فاكتب كثيرة حدود أولية.

61)

$\begin{array}{r} (x + 4) (x - 4) (x^{4} - 8 x^{2} + 16) \\ (x^{4} - 8 x^{2} + 16) \end{array}$

نفرض أن $\begin{matrix} x^{2} = u \\ x^{4} = u^{2} \end{matrix}$

$\begin{array}{r} (u^{2} - 8 u + 16) \\ (u - 4) (u - 4) \\ (x^{2} - 4) (x^{2} - 4) \\ (x + 4) (x - 4) (x + 4) (x - 4) \\ (x + 4)^{2} (x - 4)^{2} \end{array}$

$\begin{array}{r} (x + 4) (x - 4) (x + 4)^{2} (x - 4)^{2} \\ (x + 4)^{3} (x - 4)^{3} \end{array}$

62)

$(y^{6} - 2 y^{3} + 1)$

نفرض أن $\begin{matrix} y^{3} = u \\ y^{6} = u^{2} \end{matrix}$

$\begin{array}{r} (u^{2} - 2 u + 1) \\ (u - 1) (u - 1) \\ (y^{3} - 1) (y^{3} - 1) \end{array}$

$\begin{array}{r} (y - 1)^{2} {(y^{2} + y + 1)}^{2} \\ (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y - 1)^{2} {(y^{2} + y + 1)}^{2} \\ (y - 1)^{3} {(y^{2} + y + 1)}^{3} \end{array}$

63)

$x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - y^{6}$

نفرض أن: $\begin{aligned} x^{2} = u \\ y^{2} = v \end{aligned}$

$\begin{array}{r} u^{3} - 3 u^{2} v + 3 u v^{2} - v^{3} \\ (u - v)^{3} \\ {(x^{2} - y^{2})}^{3} \\ [(x + y) (x - y)]^{3} \\ (x + y)^{3} (x - y)^{3} \end{array}$

64) حدائق: حديقة مستطيلة الشكل بعداها 32ft و40ft تم توسعتها لتصبح مساحتها 5.4 أمثال مساحتها الأصلية بزيادة كل من طولها وعرضها بالمقدار نفسه.

a) ارسم شكلاً يمثل الموقف.

شكل

b) اكتب معادلة كثيرة حدود تمثل المساحة الجديدة وحلها بالتحليل إلى العوامل.

c) مثل الدالة بيانياً.

التمثيل البياني

d) ما الحل غير المقبول؟ ولماذا؟ وضح إجابتك.

-56 لأن الطول لا يمكن أن يكون سالباً.

حل اسئلة تدرب وحل المسائل

حلل كلاً من كثيرتي الحدود الآتيتين تحليلاً تاماً وإذا لم يكن ذلك ممكناً فاكتب كثيرة حدود أولية.

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20) هندسة: إذا كان حجم المجسم المجاور يساوي 55xcm3 حيث x > 0 فأوجد كلاًّ من قيمة x وطول قاعدته وعرضها وارتفاعه.

أكتب كل مما يأتي عل الصورة التربيعية إن أمكن ذلك.

21)

22)

23)

24)

25)

26)

حل كل معادلة مما يأتي:

27)

28)

29)

30)

31)

32)

حلل كلاً من كثيرتي الحدود الآتيتين تحليلاً تاماً وإذا لم يكن ذلك ممكناً فاكتب كثيرة حدود أولية.

33)

34)

35)

36)

37)

38)

39)

40)

حل كل معادلة مما يأتي:

41)

42)

43)

44)

45)

46)

حل كل معادلة مما يأتي:

47)

48)

49)

50)

51)

52)

53)

54)

55)

56)

57) هندسة: منشور متوازي مستطيلات أبعاده x-6 , x-4 , x-2 وحجمه 40x وحدة مكعبة.

a) اكتب معادلة كثيرة حدود تمثل حجم المنشور.

b) حل المعادلة باستعمال التحليل إلى العوامل.

c) هل هناك قيم غير مقبولة للمتغير x عند حل المعادلة؟ وضح إجابتك.

d) ما أبعاد المنشور؟

58) تصميم: يريد سليمان أن يبني بركة سباحة وفق التصميم المجاور حيث يحيط بها ممر خشبي بعرض ثابت.

a) إذا كانت مساحة سطح البركة فقط 336ft2 فما قيمة x؟

b) إذا أصبحت قيمة x مثليها وذلك بتقليل مساحة سطح البركةفما المساحة الجديدة لسطح البركة؟

c) إذا نصفت قيمة x بزيادة مساحة سطح البركة فما مساحة سطح البركة فقط عندئذ؟

a) فأوجد قيمة t باستعمال التحليل إلى العوامل.

b) كيف أجريت عملية التحليل إلى العوامل؟

c) ما قيم t المقبولة؟ وما القيم غير المقبولة؟ وضح إجابتك.

60) تصميم المباني: يمثل الشكل المجاور مخطط شقة سكنية.

a) اكتب دالة بدلالة المتغير x تمثل مساحة الشقة.

b) إذا كانت مساحة الشقة 1366ft2 فما قيمة x؟

حلل كلاً من كثيرتي الحدود الآتيتين تحليلاً تاماً وإذا لم يكن ذلك ممكناً فاكتب كثيرة حدود أولية.

61)

62)

63)

64) حدائق: حديقة مستطيلة الشكل بعداها 32ft و40ft تم توسعتها لتصبح مساحتها 5.4 أمثال مساحتها الأصلية بزيادة كل من طولها وعرضها بالمقدار نفسه.

a) ارسم شكلاً يمثل الموقف.

b) اكتب معادلة كثيرة حدود تمثل المساحة الجديدة وحلها بالتحليل إلى العوامل.

c) مثل الدالة بيانياً.

d) ما الحل غير المقبول؟ ولماذا؟ وضح إجابتك.

مشاركة الدرس

شرح فيديو

فيديو حل اسئلة تدرب وحل المسائل

النقاشات

20) هندسة: إذا كان حجم المجسم المجاور يساوي $55 x {cm}^{3}$ حيث x > 0 فأوجد كلاًّ من قيمة x وطول قاعدته وعرضها وارتفاعه.

20) هندسة: إذا كان حجم المجسم المجاور يساوي $55 x {cm}^{3}$ حيث x > 0 فأوجد كلاًّ من قيمة x وطول قاعدته وعرضها وارتفاعه.