حل أسئلة تدرب وحل المسائل

6) محاضرات: ذهبت مها وسعاد لحضور محاضرة علمية، إذا اختارت كل منهما مقعداً في الصف المبين أدناه عشوائياً، فما احتمال أن تختار مها المقعد C11، وسعاد المقعد C12؟

$\frac{1}{\frac{12!}{(12-2)!}}=\frac{10!}{12!}=\frac{10!}{12\times 11\times 10!}=\frac{1}{132}$

7) حفلات: وزعت بطاقات مرقمة من 1 إلى 50 على 50 شخصاً في حفلة، وكان حسين وزياد من بين الحاضرين، ما احتمال أن يكون حسين قد أخذ البطاقة رقم 14 وزياد البطاقة رقم 23؟

الاحتمال =$\frac{1}{2450}=\frac{1}{{}_{50}{P}_2}$

8) مجموعات: تم اختيار شخصين عشوائياً من مجموعة من عشرة أشخاص، ما احتمال اختيار طارق أول ثم سليم ثانياً؟

الاحتمال = $\frac{1}{90}=\frac{1}{10P_2}$

9) أحرف ممغنطة: اشترى عدنان أحرفاً ممغنطة يمكن ترتيبها على باب ثلاجته، بحيث تشكل كلمات معينة، إذا اختار تبديلاً من الأحرف المبينة في الشكل، فما احتمال أن تشكل هذه الأحرف المجاورة عشوائياً كلمة "مكالمات"؟

الكلمة تتكون من 7 أحرف، ونجد أن الحرف م يتكرر مرتين والحرف أ يتكرر مرتين وباقي الأحرف يتكرر مرة واحدة (!1 لا يؤثر في الضرب).

عدد التباديل المتمايزة= $1260=\frac{5040}{2\left(2\right)}=\frac{7!}{2!2!}$

الاحتمال= $\frac{1}{1260}$

10) رموز بريدية: ما احتمال أن يكون الرمز البريدي 97275 إذا تم تكوينه عشوائياً من الأرقام 2 ,7 ,5 ,9 ,7؟

العدد يتكون من 8 أرقام ونجد أن العدد 7 يتكرر مرتين والعدد 3 يتكرر 3 مرات وباقي الأعداد تتكرر مرة واحدة (!1 لا يؤثر في الضرب).

عدد التباديل المتمايزة= $3360=\frac{40320}{2\left(6\right)}=\frac{8!}{2!3!}$

الاحتمال= $\frac{1}{3360}$

11) مجموعات: يرتب سامي المقاعد على صورة دوائر للعمل في مجموعات متعاونة، إذا كان في دائرة سامي 7 مقاعد، فما احتمال أن يكون مقعد سامي هو الأقرب إلى الباب؟

عدد التباديل المتمايزة= $7=\frac{7\bullet 6!}{6!}=\frac{7!}{6!}$

الاحتمال = $\frac{1}{7}$

12) مدينة ألعاب: ذهب خليل وأصدقاؤه إلى مدينة ألعاب وقد اختاروا لعبة ذات مقاعد مرتبة في دائرة، إذا كان عدد المقاعد 8 فما احتمال أن يجلس خليل في المقعد الأبعد عن مدخل اللعبة؟

عدد التباديل المتمايزة= $8=\frac{8\bullet 7!}{7!}=\frac{8!}{7!}$

الاحتمال= $\frac{1}{8}$

13) رتبت 8 كرات مرقمة بالأرقام 13 ,12 ,11 ,9 ,8 ,7 ,6 ,2 عشوائياً في صف:

a) ما احتمال أن تكون الكرة 2 والكرة 11 هما الأولى والثانية من اليسار على الترتيب؟

$\frac{6!}{8!}=\frac{6!}{8\times 7\times 6!}=\frac{1}{56}$

b) إذا خلطت الكرات الثماني عشوائياً، فما احتمال أن يكون الترتيب كما هو مبين في الشكل أدناه؟

$\frac{1}{8!}=\frac{1}{8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}=\frac{1}{40320}$

c) إذا أعيد ترتيب الكرات عشوائياً بحيث شكلت دائرة، فما احتمال أن تكون الكرة 6 إلى جانب الكرة 7؟

$\frac{2}{7}$

14) كرات: إذا وضعت 7 كرات في صف؛ ثلاث منها أرقامها 8، وثلاث أرقامها 9، وكرة واحدة رقمها 6، فما احتمال أن تكون الكرات ذات الرقم 8 عن يسار الكرة 6، والكرات ذات الرقم 9 عن يمينها؟

$\frac{1}{\frac{7!}{3!3!}}=\frac{3!3!}{7!}=\frac{3\times 2\times 13!}{7\times 6\times 5\times 4\times 3!}=\frac{1}{140}$

15) مستقيمات: ما عدد المستقيمات التي يمكن رسمها من 10 نقاط ولا تقع أي ثلاث منها على استقامة واحدة؟ وضح إجابتك.

45، عدد المستقيمات هو توافيق 10 نقاط مأخوذة 2 في كل مرة وهي:

$\frac{10!}{8!2!}=\frac{10\times 9\times 8!}{8!2\times 1}=45$