حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أوجد جميع الدوال الأصلية لكل دالة مما يأتي:

1) f(x) = x⁵

^{$F (x) = \frac{1}{6} x^{6} + C$}

2) $f (z) = \sqrt[3]{z}$

$F (z) = \frac{3}{4} z^{\frac{4}{3}} + C$

3) $q (r) = \frac{3}{4} r^{\frac{2}{5}} + \frac{5}{8} r^{\frac{1}{3}} + r^{\frac{1}{2}}$

$Q (r) = \frac{15}{28} r^{\frac{7}{5}} + \frac{15}{32} r^{\frac{4}{3}} + \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C$

4) $w (u) = \frac{2}{3} u^{5} + \frac{1}{6} u^{3} - \frac{2}{5} u$

$W (u) = \frac{1}{9} u^{6} + \frac{1}{24} u^{4} - \frac{1}{5} u^{2} + C$

5) $u (d) = \frac{12}{d^{5}} + \frac{5}{d^{3}} - 6 d^{2} + 3.5$

$u (d) = - \frac{3}{d^{4}} - \frac{5}{2 d^{2}} - 2 d^{3} + 3 .5 d + C$

6) m(t)=16t³-12t²+20t-11

$M (t) = 4 t^{4} - 4 t^{3} + 10 t^{2} - 11 t + C$

7) سقوط حر: ارجع إلى فقرة "لماذا؟" في بداية الدرس، افترض أن القلم قد استغرق 2 S حتى الوصول إلى سطح الأرض.

a) أوجد دالة الموقع $s (t) = \int - 32 t d t$ .

$s (t) = - 16 t^{2} + C$

b) احسب قيمة C عندما s(t)=0، t=2s.

$s (t) = - 16 t^{2} + 64$

c) ما ارتفاع القلم عن سطح الأرض بعد 1.5 s من سقوطه؟

28 ft.

احسب كل تكامل مما يأتي:

8) $\int (6 m + 12 m^{3}) d m$

3m²+3m⁴+C

9) $\int_{1}^{4} 2 x^{3} d x$

127.5

10) $\int_{2}^{5} (a^{2} - a + 6) d a$

46.5

11) $\int_{1}^{3} (\frac{1}{2} h^{2} + \frac{2}{3} h^{3} - \frac{1}{5} h^{4}) d h$

7.99

12) $\int (3.4 t^{4} - 1.2 t^{3} + 2.3 t - 5.7) d t$

0.68t⁵-0.3t⁴+1.15t²-5.7t+C

13) $\int (14.2 w^{6.1} - 20.1 w^{5.7} + 13.2 w^{2.3} + 3) d w$

2w^7.1-3w^6.7+4w^3.3+3w+C

14) حشرات: تعطى سرعة قفز حشرة ب v(t)=-32t+34، حيث t الزمن بالثواني، و(v (t السرعة المتجهة بالأقدام لكل ثانية.

a) أوجد دالة الموقع (s (t للحشرة، ثم احسب قيمة الثابت C بفرض أنه عندما t=0، فإن s(t)=0.

$s (t) = - 16 t^{2} + 34 t$

b) أوجد الزمن من لحظة قفز الحشرة حتى هبوطها على سطح الأرض؟

2.125s

15) هندسة: صمَّم مهندس مدخل بناية على شكل قوس يمكن وصفه ب $y = - \frac{x^{2}}{157.5} + 4 x$ ، حيث x بالأقدام، احسب مساحة المنطقة تحت القوس.

264600 ft²

احسب كل تكامل مما يأتي:

16) $\int_{- 3}^{1} 3 d x$

17) $\int_{- 1}^{2} (- x^{2} + 10) d x$

18) $\int_{- 2}^{- 1} (\frac{x^{5}}{2} + \frac{5 x^{4}}{4}) d x$

2.5

19) $\int_{- 1}^{1} (x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 8) d x$

16.4

20) $\int_{- 6}^{- 3} (- x^{2} - 9 x - 10) d x$

28.5

21) مقذوفات: تعطى سرعة مقذوف ب v(t)=-32t+120، حيث v(t) السرعة المتجهة بالأقدام لكل ثانية بعد t ثانية، ويبلغ ارتفاعه
228 ft بعد 3s.

a) أوجد أقصى ارتفاع يصله المقذوف.

237 ft.

b) أوجد سرعة المقذوف عندما يصل إلى سطح الأرض.

123.16 ft/s-

احسب كل تكامل مما يأتي:

22) $\int_{x}^{2} (3 t^{2} + 8 t) d t$

$- x^{3} - 4 x^{2} + 24$

23) $\int_{5}^{x} (10 t^{4} - 12 t^{2} + 5) d t$

$2 x^{5} - 4 x^{3} + 5 x - 5775$

24) $\int_{3}^{2} (4 t^{3} + 10 t + 2) d t$

92-

25) $\int_{- x}^{6} (- 9 t^{2} + 4 t) d t$

$- 3 x^{3} - 2 x^{2} - 576$

26) $\int_{x}^{x^{2}} (16 t^{3} - 15 t^{2} + 7) d t$

$4 x^{8} - 5 x^{6} - 4 x^{4} + 5 x^{3} + 7 x^{2} - 7 x$

27) $\int_{2 x}^{x + 3} (3 t^{2} + 6 t + 1) d t$

$- 7 x^{3} + 44 x + 57$

28) حجم الكرة: يمكن إيجاد حجم كرة طول نصف قطرها R بقصها إلى حلقات دائرية من خلال مستويات رأسية متوازية ثم إجراء تكامل لحساب مساحات الحلقات الدائرية.

حلقة دائرية

يبلغ طول نصف قطر كل حلقة $\sqrt{R^{2} - x^{2}}$ ، أي أن مساحة كل حلقة هي $π {(\sqrt{R^{2} - x^{2}})}^{2}$ .

أوجد $\int_{- R}^{R} (π R^{2} - π x^{2}) d x$ لحساب حجم الكرة.

$\frac{4}{3} π R^{3}$

29) مساحات: احسب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي f(x) ,g(x) والمحور x، في الفترة $.1 \leq x \leq 3$

التمثيل البياني

6 وحدات مربعة.

30) تمثيلات متعددة: ستستكشف في هذه المسألة العلاقة بين قيمة تكامل دالة على فترة، ومساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور x، وتأثير موقع الدالة بالنسبة لمحور x على إشارة التكامل.

a) هندسياً: مثّل الدالة f(x)=x³-6x²+8x بيانياً، وظلّل المنطقة المحصورة بين (f (x والمحور x، في الفترة $0 \leq x \leq 4$ .

التمثيل البياني

b) تحليلياً: احسب كلاً من $\int_{0}^{2} (x^{3} - 6 x^{2} + 8 x) d x, \int_{2}^{4} (x^{3} - 6 x^{2} + 8 x) d x$ .

4-,4

c) لفظياً: أعط تخميناً حول مساحة المنطقة الواقعة فوق أو تحت المحور.

إجابة ممكنة: يظهر أن المساحة فوق المحور x موجبة، والمساحة تحت المحور x هي سالب التكامل.

d) تحليلياً: أوجد التكامل على الفترة كاملة من خلال حساب $\int_{0}^{4} (x^{3} - 6 x^{2} + 8 x) d x$ ، ثم أوجد المساحة الكلية من خلال حساب. $|\int_{0}^{2} (x^{3} - 6 x^{2} + 8 x) d x| + |\int_{2}^{4} (x^{3} - 6 x^{2} + 8 x) d x|$ .

0,8

e) لفظياً: أعط تخميناً حول الفرق بين قيمة التكامل على الفترة كاملة والمساحة الكلية.

التكامل هو حاصل جمع التكاملين فوق وتحت المحور x، أما المساحة الكلية، فهي حاصل جمع القيم المطلقة للتكاملين.

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

فيديو حل اسئلة تدرب وحل المسائل

النقاشات

لايوجد نقاشات

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أوجد جميع الدوال الأصلية لكل دالة مما يأتي:

1) f(x) = x⁵

^{$F (x) = \frac{1}{6} x^{6} + C$}

2) $f (z) = \sqrt[3]{z}$

$F (z) = \frac{3}{4} z^{\frac{4}{3}} + C$

3) $q (r) = \frac{3}{4} r^{\frac{2}{5}} + \frac{5}{8} r^{\frac{1}{3}} + r^{\frac{1}{2}}$

$Q (r) = \frac{15}{28} r^{\frac{7}{5}} + \frac{15}{32} r^{\frac{4}{3}} + \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C$

4) $w (u) = \frac{2}{3} u^{5} + \frac{1}{6} u^{3} - \frac{2}{5} u$

$W (u) = \frac{1}{9} u^{6} + \frac{1}{24} u^{4} - \frac{1}{5} u^{2} + C$

5) $u (d) = \frac{12}{d^{5}} + \frac{5}{d^{3}} - 6 d^{2} + 3.5$

$u (d) = - \frac{3}{d^{4}} - \frac{5}{2 d^{2}} - 2 d^{3} + 3 .5 d + C$

6) m(t)=16t³-12t²+20t-11

$M (t) = 4 t^{4} - 4 t^{3} + 10 t^{2} - 11 t + C$

7) سقوط حر: ارجع إلى فقرة "لماذا؟" في بداية الدرس، افترض أن القلم قد استغرق 2 S حتى الوصول إلى سطح الأرض.

a) أوجد دالة الموقع $s (t) = \int - 32 t d t$ .

$s (t) = - 16 t^{2} + C$

b) احسب قيمة C عندما s(t)=0، t=2s.

$s (t) = - 16 t^{2} + 64$

c) ما ارتفاع القلم عن سطح الأرض بعد 1.5 s من سقوطه؟

28 ft.

احسب كل تكامل مما يأتي:

8) $\int (6 m + 12 m^{3}) d m$

3m²+3m⁴+C

9) $\int_{1}^{4} 2 x^{3} d x$

127.5

10) $\int_{2}^{5} (a^{2} - a + 6) d a$

46.5

11) $\int_{1}^{3} (\frac{1}{2} h^{2} + \frac{2}{3} h^{3} - \frac{1}{5} h^{4}) d h$

7.99

12) $\int (3.4 t^{4} - 1.2 t^{3} + 2.3 t - 5.7) d t$

0.68t⁵-0.3t⁴+1.15t²-5.7t+C

13) $\int (14.2 w^{6.1} - 20.1 w^{5.7} + 13.2 w^{2.3} + 3) d w$

2w^7.1-3w^6.7+4w^3.3+3w+C

14) حشرات: تعطى سرعة قفز حشرة ب v(t)=-32t+34، حيث t الزمن بالثواني، و(v (t السرعة المتجهة بالأقدام لكل ثانية.

a) أوجد دالة الموقع (s (t للحشرة، ثم احسب قيمة الثابت C بفرض أنه عندما t=0، فإن s(t)=0.

$s (t) = - 16 t^{2} + 34 t$

b) أوجد الزمن من لحظة قفز الحشرة حتى هبوطها على سطح الأرض؟

2.125s

15) هندسة: صمَّم مهندس مدخل بناية على شكل قوس يمكن وصفه ب $y = - \frac{x^{2}}{157.5} + 4 x$ ، حيث x بالأقدام، احسب مساحة المنطقة تحت القوس.

264600 ft²

احسب كل تكامل مما يأتي:

16) $\int_{- 3}^{1} 3 d x$

17) $\int_{- 1}^{2} (- x^{2} + 10) d x$

18) $\int_{- 2}^{- 1} (\frac{x^{5}}{2} + \frac{5 x^{4}}{4}) d x$

2.5

19) $\int_{- 1}^{1} (x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 8) d x$

16.4

20) $\int_{- 6}^{- 3} (- x^{2} - 9 x - 10) d x$

28.5

21) مقذوفات: تعطى سرعة مقذوف ب v(t)=-32t+120، حيث v(t) السرعة المتجهة بالأقدام لكل ثانية بعد t ثانية، ويبلغ ارتفاعه
228 ft بعد 3s.

a) أوجد أقصى ارتفاع يصله المقذوف.

237 ft.

b) أوجد سرعة المقذوف عندما يصل إلى سطح الأرض.

123.16 ft/s-

احسب كل تكامل مما يأتي:

22) $\int_{x}^{2} (3 t^{2} + 8 t) d t$

$- x^{3} - 4 x^{2} + 24$

23) $\int_{5}^{x} (10 t^{4} - 12 t^{2} + 5) d t$

$2 x^{5} - 4 x^{3} + 5 x - 5775$

24) $\int_{3}^{2} (4 t^{3} + 10 t + 2) d t$

92-

25) $\int_{- x}^{6} (- 9 t^{2} + 4 t) d t$

$- 3 x^{3} - 2 x^{2} - 576$

26) $\int_{x}^{x^{2}} (16 t^{3} - 15 t^{2} + 7) d t$

$4 x^{8} - 5 x^{6} - 4 x^{4} + 5 x^{3} + 7 x^{2} - 7 x$

27) $\int_{2 x}^{x + 3} (3 t^{2} + 6 t + 1) d t$

$- 7 x^{3} + 44 x + 57$

28) حجم الكرة: يمكن إيجاد حجم كرة طول نصف قطرها R بقصها إلى حلقات دائرية من خلال مستويات رأسية متوازية ثم إجراء تكامل لحساب مساحات الحلقات الدائرية.

حلقة دائرية

يبلغ طول نصف قطر كل حلقة $\sqrt{R^{2} - x^{2}}$ ، أي أن مساحة كل حلقة هي $π {(\sqrt{R^{2} - x^{2}})}^{2}$ .

أوجد $\int_{- R}^{R} (π R^{2} - π x^{2}) d x$ لحساب حجم الكرة.

$\frac{4}{3} π R^{3}$

29) مساحات: احسب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي f(x) ,g(x) والمحور x، في الفترة $.1 \leq x \leq 3$

التمثيل البياني

6 وحدات مربعة.

30) تمثيلات متعددة: ستستكشف في هذه المسألة العلاقة بين قيمة تكامل دالة على فترة، ومساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور x، وتأثير موقع الدالة بالنسبة لمحور x على إشارة التكامل.

a) هندسياً: مثّل الدالة f(x)=x³-6x²+8x بيانياً، وظلّل المنطقة المحصورة بين (f (x والمحور x، في الفترة $0 \leq x \leq 4$ .

التمثيل البياني

b) تحليلياً: احسب كلاً من $\int_{0}^{2} (x^{3} - 6 x^{2} + 8 x) d x, \int_{2}^{4} (x^{3} - 6 x^{2} + 8 x) d x$ .

4-,4

c) لفظياً: أعط تخميناً حول مساحة المنطقة الواقعة فوق أو تحت المحور.

إجابة ممكنة: يظهر أن المساحة فوق المحور x موجبة، والمساحة تحت المحور x هي سالب التكامل.

d) تحليلياً: أوجد التكامل على الفترة كاملة من خلال حساب $\int_{0}^{4} (x^{3} - 6 x^{2} + 8 x) d x$ ، ثم أوجد المساحة الكلية من خلال حساب. $|\int_{0}^{2} (x^{3} - 6 x^{2} + 8 x) d x| + |\int_{2}^{4} (x^{3} - 6 x^{2} + 8 x) d x|$ .

0,8

e) لفظياً: أعط تخميناً حول الفرق بين قيمة التكامل على الفترة كاملة والمساحة الكلية.

التكامل هو حاصل جمع التكاملين فوق وتحت المحور x، أما المساحة الكلية، فهي حاصل جمع القيم المطلقة للتكاملين.

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أوجد جميع الدوال الأصلية لكل دالة مما يأتي:

1) f(x) = x5

2) f(z)=z3

3) q(r)=34r25+58r13+r12

4) w(u)=23u5+16u3−25u

5) u(d)=12d5+5d3−6d2+3.5

6) m(t)=16t3-12t2+20t-11

7) سقوط حر: ارجع إلى فقرة "لماذا؟" في بداية الدرس، افترض أن القلم قد استغرق 2 S حتى الوصول إلى سطح الأرض.

a) أوجد دالة الموقع s(t)=∫−32tdt.

b) احسب قيمة C عندما s(t)=0، t=2s.

c) ما ارتفاع القلم عن سطح الأرض بعد 1.5 s من سقوطه؟

احسب كل تكامل مما يأتي:

8) ∫(6m+12m3)dm

9) ∫142x3dx

10) ∫25(a2−a+6)da

11) ∫13(12h2+23h3−15h4)dh

12) ∫(3.4t4−1.2t3+2.3t−5.7)dt

13) ∫(14.2w6.1−20.1w5.7+13.2w2.3+3)dw

14) حشرات: تعطى سرعة قفز حشرة ب v(t)=-32t+34، حيث t الزمن بالثواني، و(v (t السرعة المتجهة بالأقدام لكل ثانية.

a) أوجد دالة الموقع (s (t للحشرة، ثم احسب قيمة الثابت C بفرض أنه عندما t=0، فإن s(t)=0.

b) أوجد الزمن من لحظة قفز الحشرة حتى هبوطها على سطح الأرض؟

15) هندسة: صمَّم مهندس مدخل بناية على شكل قوس يمكن وصفه ب y=−x2157.5+4x، حيث x بالأقدام، احسب مساحة المنطقة تحت القوس.

احسب كل تكامل مما يأتي:

16) ∫−313dx

17) ∫−12(−x2+10)dx

18) ∫−2−1(x52+5x44)dx

19) ∫−11(x4−2x3−4x+8)dx

20) ∫−6−3(−x2−9x−10)dx

21) مقذوفات: تعطى سرعة مقذوف ب v(t)=-32t+120، حيث v(t) السرعة المتجهة بالأقدام لكل ثانية بعد t ثانية، ويبلغ ارتفاعه 228 ft بعد 3s.

a) أوجد أقصى ارتفاع يصله المقذوف.

b) أوجد سرعة المقذوف عندما يصل إلى سطح الأرض.

احسب كل تكامل مما يأتي:

22) ∫x2(3t2+8t)dt

23) ∫5x(10t4−12t2+5)dt

24) ∫32(4t3+10t+2)dt

25) ∫−x6(−9t2+4t)dt

26) ∫xx2(16t3−15t2+7)dt

27) ∫2xx+3(3t2+6t+1)dt

28) حجم الكرة: يمكن إيجاد حجم كرة طول نصف قطرها R بقصها إلى حلقات دائرية من خلال مستويات رأسية متوازية ثم إجراء تكامل لحساب مساحات الحلقات الدائرية.

يبلغ طول نصف قطر كل حلقة R2−x2، أي أن مساحة كل حلقة هي π(R2−x2)2.

أوجد ∫−RR(πR2−πx2)dx لحساب حجم الكرة.

29) مساحات: احسب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي f(x) ,g(x) والمحور x، في الفترة .1≤x≤3

a) هندسياً: مثّل الدالة f(x)=x3-6x2+8x بيانياً، وظلّل المنطقة المحصورة بين (f (x والمحور x، في الفترة 0≤x≤4.

b) تحليلياً: احسب كلاً من ∫02(x3−6x2+8x)dx,∫24(x3−6x2+8x)dx.

c) لفظياً: أعط تخميناً حول مساحة المنطقة الواقعة فوق أو تحت المحور.

d) تحليلياً: أوجد التكامل على الفترة كاملة من خلال حساب ∫04(x3−6x2+8x)dx، ثم أوجد المساحة الكلية من خلال حساب. ∫02(x3−6x2+8x)dx+∫24(x3−6x2+8x)dx.

e) لفظياً: أعط تخميناً حول الفرق بين قيمة التكامل على الفترة كاملة والمساحة الكلية.

مشاركة الدرس

شرح فيديو

فيديو حل اسئلة تدرب وحل المسائل

النقاشات

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أوجد جميع الدوال الأصلية لكل دالة مما يأتي:

1) f(x) = x5

2) f(z)=z3

3) q(r)=34r25+58r13+r12

4) w(u)=23u5+16u3−25u

5) u(d)=12d5+5d3−6d2+3.5

6) m(t)=16t3-12t2+20t-11

7) سقوط حر: ارجع إلى فقرة "لماذا؟" في بداية الدرس، افترض أن القلم قد استغرق 2 S حتى الوصول إلى سطح الأرض.

a) أوجد دالة الموقع s(t)=∫−32tdt.

b) احسب قيمة C عندما s(t)=0، t=2s.

c) ما ارتفاع القلم عن سطح الأرض بعد 1.5 s من سقوطه؟

احسب كل تكامل مما يأتي:

8) ∫(6m+12m3)dm

9) ∫142x3dx

10) ∫25(a2−a+6)da

11) ∫13(12h2+23h3−15h4)dh

12) ∫(3.4t4−1.2t3+2.3t−5.7)dt

13) ∫(14.2w6.1−20.1w5.7+13.2w2.3+3)dw

14) حشرات: تعطى سرعة قفز حشرة ب v(t)=-32t+34، حيث t الزمن بالثواني، و(v (t السرعة المتجهة بالأقدام لكل ثانية.

a) أوجد دالة الموقع (s (t للحشرة، ثم احسب قيمة الثابت C بفرض أنه عندما t=0، فإن s(t)=0.

b) أوجد الزمن من لحظة قفز الحشرة حتى هبوطها على سطح الأرض؟

15) هندسة: صمَّم مهندس مدخل بناية على شكل قوس يمكن وصفه ب y=−x2157.5+4x، حيث x بالأقدام، احسب مساحة المنطقة تحت القوس.

احسب كل تكامل مما يأتي:

16) ∫−313dx

17) ∫−12(−x2+10)dx

18) ∫−2−1(x52+5x44)dx

19) ∫−11(x4−2x3−4x+8)dx

1) f(x) = x⁵

2) $f (z) = \sqrt[3]{z}$

3) $q (r) = \frac{3}{4} r^{\frac{2}{5}} + \frac{5}{8} r^{\frac{1}{3}} + r^{\frac{1}{2}}$

4) $w (u) = \frac{2}{3} u^{5} + \frac{1}{6} u^{3} - \frac{2}{5} u$

5) $u (d) = \frac{12}{d^{5}} + \frac{5}{d^{3}} - 6 d^{2} + 3.5$

6) m(t)=16t³-12t²+20t-11

a) أوجد دالة الموقع $s (t) = \int - 32 t d t$ .

8) $\int (6 m + 12 m^{3}) d m$

9) $\int_{1}^{4} 2 x^{3} d x$

10) $\int_{2}^{5} (a^{2} - a + 6) d a$

11) $\int_{1}^{3} (\frac{1}{2} h^{2} + \frac{2}{3} h^{3} - \frac{1}{5} h^{4}) d h$

12) $\int (3.4 t^{4} - 1.2 t^{3} + 2.3 t - 5.7) d t$

13) $\int (14.2 w^{6.1} - 20.1 w^{5.7} + 13.2 w^{2.3} + 3) d w$

15) هندسة: صمَّم مهندس مدخل بناية على شكل قوس يمكن وصفه ب $y = - \frac{x^{2}}{157.5} + 4 x$ ، حيث x بالأقدام، احسب مساحة المنطقة تحت القوس.

16) $\int_{- 3}^{1} 3 d x$

17) $\int_{- 1}^{2} (- x^{2} + 10) d x$

18) $\int_{- 2}^{- 1} (\frac{x^{5}}{2} + \frac{5 x^{4}}{4}) d x$

19) $\int_{- 1}^{1} (x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 8) d x$

20) $\int_{- 6}^{- 3} (- x^{2} - 9 x - 10) d x$

21) مقذوفات: تعطى سرعة مقذوف ب v(t)=-32t+120، حيث v(t) السرعة المتجهة بالأقدام لكل ثانية بعد t ثانية، ويبلغ ارتفاعه
228 ft بعد 3s.

22) $\int_{x}^{2} (3 t^{2} + 8 t) d t$

23) $\int_{5}^{x} (10 t^{4} - 12 t^{2} + 5) d t$

24) $\int_{3}^{2} (4 t^{3} + 10 t + 2) d t$

25) $\int_{- x}^{6} (- 9 t^{2} + 4 t) d t$

26) $\int_{x}^{x^{2}} (16 t^{3} - 15 t^{2} + 7) d t$

27) $\int_{2 x}^{x + 3} (3 t^{2} + 6 t + 1) d t$

يبلغ طول نصف قطر كل حلقة $\sqrt{R^{2} - x^{2}}$ ، أي أن مساحة كل حلقة هي $π {(\sqrt{R^{2} - x^{2}})}^{2}$ .

أوجد $\int_{- R}^{R} (π R^{2} - π x^{2}) d x$ لحساب حجم الكرة.

29) مساحات: احسب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي f(x) ,g(x) والمحور x، في الفترة $.1 \leq x \leq 3$

a) هندسياً: مثّل الدالة f(x)=x³-6x²+8x بيانياً، وظلّل المنطقة المحصورة بين (f (x والمحور x، في الفترة $0 \leq x \leq 4$ .

b) تحليلياً: احسب كلاً من $\int_{0}^{2} (x^{3} - 6 x^{2} + 8 x) d x, \int_{2}^{4} (x^{3} - 6 x^{2} + 8 x) d x$ .

1) f(x) = x⁵

2) $f (z) = \sqrt[3]{z}$

3) $q (r) = \frac{3}{4} r^{\frac{2}{5}} + \frac{5}{8} r^{\frac{1}{3}} + r^{\frac{1}{2}}$

4) $w (u) = \frac{2}{3} u^{5} + \frac{1}{6} u^{3} - \frac{2}{5} u$

5) $u (d) = \frac{12}{d^{5}} + \frac{5}{d^{3}} - 6 d^{2} + 3.5$

6) m(t)=16t³-12t²+20t-11

a) أوجد دالة الموقع $s (t) = \int - 32 t d t$ .

8) $\int (6 m + 12 m^{3}) d m$

9) $\int_{1}^{4} 2 x^{3} d x$

10) $\int_{2}^{5} (a^{2} - a + 6) d a$

11) $\int_{1}^{3} (\frac{1}{2} h^{2} + \frac{2}{3} h^{3} - \frac{1}{5} h^{4}) d h$

12) $\int (3.4 t^{4} - 1.2 t^{3} + 2.3 t - 5.7) d t$

13) $\int (14.2 w^{6.1} - 20.1 w^{5.7} + 13.2 w^{2.3} + 3) d w$

15) هندسة: صمَّم مهندس مدخل بناية على شكل قوس يمكن وصفه ب $y = - \frac{x^{2}}{157.5} + 4 x$ ، حيث x بالأقدام، احسب مساحة المنطقة تحت القوس.

16) $\int_{- 3}^{1} 3 d x$

17) $\int_{- 1}^{2} (- x^{2} + 10) d x$

18) $\int_{- 2}^{- 1} (\frac{x^{5}}{2} + \frac{5 x^{4}}{4}) d x$

19) $\int_{- 1}^{1} (x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 8) d x$

20) $\int_{- 6}^{- 3} (- x^{2} - 9 x - 10) d x$

21) مقذوفات: تعطى سرعة مقذوف ب v(t)=-32t+120، حيث v(t) السرعة المتجهة بالأقدام لكل ثانية بعد t ثانية، ويبلغ ارتفاعه
228 ft بعد 3s.

22) $\int_{x}^{2} (3 t^{2} + 8 t) d t$

23) $\int_{5}^{x} (10 t^{4} - 12 t^{2} + 5) d t$

24) $\int_{3}^{2} (4 t^{3} + 10 t + 2) d t$

25) $\int_{- x}^{6} (- 9 t^{2} + 4 t) d t$

26) $\int_{x}^{x^{2}} (16 t^{3} - 15 t^{2} + 7) d t$

27) $\int_{2 x}^{x + 3} (3 t^{2} + 6 t + 1) d t$

يبلغ طول نصف قطر كل حلقة $\sqrt{R^{2} - x^{2}}$ ، أي أن مساحة كل حلقة هي $π {(\sqrt{R^{2} - x^{2}})}^{2}$ .

أوجد $\int_{- R}^{R} (π R^{2} - π x^{2}) d x$ لحساب حجم الكرة.

29) مساحات: احسب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي f(x) ,g(x) والمحور x، في الفترة $.1 \leq x \leq 3$

a) هندسياً: مثّل الدالة f(x)=x³-6x²+8x بيانياً، وظلّل المنطقة المحصورة بين (f (x والمحور x، في الفترة $0 \leq x \leq 4$ .

b) تحليلياً: احسب كلاً من $\int_{0}^{2} (x^{3} - 6 x^{2} + 8 x) d x, \int_{2}^{4} (x^{3} - 6 x^{2} + 8 x) d x$ .