حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أوجد قيمة x في كل مما يأتي:

12)

مجموع قياسات الزوايا المركزية $°$360

x+155+125=360

x=360-(155+125)

x=360-280

$°$x=80

13)

مجموع قياسات الزوايا المركزية $°$360

x+65+70=360

x=360-(65+70)

x=360-135

$°$x=225

14)

مجموع قياسات الزوايا المركزية $°$360

x+150+85+90=360

x=360-(150+85+90)

x=360-325

$°$x=35

15)

مجموع قياسات الزوايا المركزية $°$360

x+x+145+135=360

2x=360-(145+135)

2x=360-280

2x=80

$°$x=40

$\overline{AD,}\overline{CJ}$ قطران في $\odot B$، حدد ما إذا كان كل قوس ممَّا يأتي قوساً أكبر أو أصغر أو نصف دائرة، ثم أوجد قياسه.

16) $\stackrel{⏜}{CD}$

قوس اصغر قياسه = قياس الزاوية المقابلة = $°$55

17) $\stackrel{⏜}{CGD}$

قوس اصغر قياسه = $°$125

18) $\stackrel{⏜}{AC}$

نصف دائرة وقياسها = $°$180

19) $\stackrel{⏜}{GCF}$

قوس أكبر وقياسه = $°$305

20) $\stackrel{⏜}{CG}$

قوس أكبر وقياسه = $°$325

21) $\stackrel{⏜}{ACF}$

قوس أكبر وقياسه = $°$270

22) تسوق: يعرض الشكل المجاور نتائج استطلاع حول المكان المفضل لشراء الملابس، شمل مجموعة من الشباب.

a) ما قياس القوس المقابل لفئة التسوق في كلّ من المجمعات التجارية والمحلات المتخصصة؟

• قياس قوس المجمعات التجارية = 0.76$\times$360=273.6
• قياس قوس المحلات المتخصصة = 0.04$\times$360=14.4

b) صف نوع القوس المقابل لفئة المجمعات التجارية وفئة الأسواق الشعبية.

• القوس المقابل للمجمعات التجارية هو قوس أكبر.
• القوس المقابل للأسواق الشعبية هو قوس أصغر.

c) هل توجد أقواس متطابقة في هذا الشكل؟ وضح إجابتك.

نعم؛ القوسان المقابلان للفئتين ”عبر الإنترنت“ ”وغير هذه الأماكن“ لهما القياس نفسه؛ لأن كلاً من هاتين الفئتين لها النسبة المئوية % 9 نفسها من الدائرة.

تسلية: استعمل العجلة الدوارة في الشكل المجاور، لإيجاد كلٍّ من القياسات الآتية:

23) $m\stackrel{⏜}{FG}$

40°

24) $m\stackrel{⏜}{JH}$

60°

25) $m\stackrel{⏜}{JKF}$

180°

26) $m\stackrel{⏜}{JFH}$

300°

27) $m\stackrel{⏜}{GHF}$

320°

28) $m\stackrel{⏜}{GHK}$

180°

29) $m\stackrel{⏜}{HK}$

100°

30) $m\stackrel{⏜}{JKG}$

220°

$\overline{RT}$ قطر في $\odot P$، أوجد طول كل قوس مما يأتي مقرباً إجابتك إلى أقرب جزء من مئة.

31) $\stackrel{⏜}{RS}$، إذا كان نصف القطر يساوي 2in.

$\begin{array}{rl}& \mathrm{L}=\frac{{\mathrm{X}}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\pi \mathrm{r}\\ & \mathrm{L}=\frac{130}{{360}^{\circ }}\cdot 2\pi \times 2\\ & \mathrm{L}=4.54\mathrm{in}\end{array}$

32) $\stackrel{⏜}{QT}$، إذا كان القطر يساوي 9 cm.

$\begin{array}{rl}& L=\frac{X^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\pi r\\ & L=\frac{112}{{360}^{\circ }}\cdot 2\pi \times \frac{9}{2}\\ & L=8.79\mathrm{cm}\end{array}$

33) $\stackrel{⏜}{QR}$، إذا كان PS=4mm.

$\begin{array}{rl}& \mathbf{L}=\frac{{\mathrm{X}}^{\circ }}{{360}^{\circ }}.2\pi \mathrm{r}\\ & \mathbf{L}=\frac{180-112}{{360}^{\circ }}.2\pi \times 4\\ & \mathbf{L}=4.74\mathrm{mm}\end{array}$

34) $\stackrel{⏜}{QRS}$، إذا كان RT=11ft.

$\begin{array}{rl}& L=\frac{X^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\pi r\\ & L=\frac{360-(112+50)}{{360}^{\circ }}.2\pi \times \frac{11}{2}\\ & L=19.01ft\end{array}$

ساعات: يعرض الشكل المجاور الساعة التي وردت في فقرة ”لماذا؟“ في بداية هذا الدرس.

35) ما قياس الزاوية المركزية الصغرى المحصورة بين عقربي الساعات والدقائق؟ فسر الطريقة التي توصَّلت بها إلى إجابتك.

قياس الزاوية بين كل رقمين متتاليين يساوي ${360}^{\circ }÷12={30}^{\circ }$، لذا فإن قياس الزاوية المركزية الصغرى المحصورة بين عقربي الساعة يساوي $°$60

36) إذا تضاعف قطر الدائرة، فما تأثير ذلك في طول القوس الأصغر بين الرقم 1 والرقم 12؟

يتضاعف طول القوس.

أوجد قياس كل مما يأتي مقرباً الأطوال إلى أقرب جزء من مئة وقياسات الأقواس إلى أقرب درجة.

37)

$\begin{array}{rl}& L=\frac{X^{\circ }}{{360}^{\circ }}.2\pi r\\ & 7.94=\frac{70}{{360}^{\circ }}\cdot 2\pi \times r\\ & r=6.50\end{array}$

محيط الدائرة S=

$\begin{array}{rl}& C=2\pi r\\ & C=2\pi \times 6.50\\ & C=40.82\end{array}$

38)

$\begin{array}{rl}& L=\frac{X^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\pi r\\ & 1.31=\frac{X^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\pi \times 0.5\\ & 1.31\times 360=3.14X\\ & X={150.2}^{\circ }\end{array}$

39)

$\begin{array}{rl}& L=\frac{X^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\pi r\\ & 56.37=\frac{340}{{360}^{\circ }}\cdot 2\pi \times r\\ & r=9.5\mathrm{ft}\end{array}$

جبر: في $\odot C$، إذا كان $m\mathrm{\angle }HCG=(2x{)}^{\circ },m\mathrm{\angle }HCD=(6x+28{)}^{\circ }$، فأوجد قياس كل مما يأتي:

40) $\stackrel{⏜}{EF}$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\angle }\mathrm{H}\text{CD}+\mathrm{\angle }\mathrm{HCG}={180}^{\circ }\\ & x+6x+28=180\\ & x+28=180\\ & x=180-28\\ & =19\\ & \mathrm{\angle }HCG=2\times =38\\ & \mathrm{\angle }\mathrm{DCE}=\mathrm{\angle }\mathrm{HCG}={38}^{\circ } \mathrm{بالرأس} \mathrm{بالتبادل}\\ & \mathrm{\angle }\mathrm{FCE}=90-38={52}^{\circ }\end{array}$

EF= قياس الزاوية المركزية المقابلة له = $°$52

41) $\stackrel{⏜}{HD}$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\angle }\mathrm{HCD}=6\mathrm{x}+28=6\times 19+28\\ & \mathrm{\angle }\mathrm{HCD}={142}^{\circ }\end{array}$

42) $\stackrel{⏜}{HGF}$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\angle }\mathrm{GCF}+\mathrm{\angle }\mathrm{HCG}=\mathrm{HGF}\\ & 90+38=\mathrm{HGF}\\ & {128}^{\circ }=\text{HGF}\end{array}$

43) ألعاب: يأخذ مسار لعبة السفينة في مدينة ألعاب شكل نصف دائرة كما في الشكل المجاور.

A) أوجد $m\stackrel{⏜}{AB}$.

$\begin{array}{rl}& AB=180-(22+22)\\ & AB={136}^{\circ }\end{array}$

B) إذا كان CD = 62ft، فما طول $\stackrel{⏜}{AB}$؟ قرب إجابتك إلى أقرب جزء من مئة.

$\begin{array}{rl}& L=\frac{X^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\pi r\\ & L=\frac{136}{{360}^{\circ }}\cdot 2\pi \times 62\\ & r=147.17ft\end{array}$

44) برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين للنظرية 4.1.

المعطيات: $\mathrm{\angle }BAC\cong \mathrm{\angle }DAE$

المطلوب: $\stackrel{⏜}{BC}\cong \stackrel{⏜}{DE}$

متروك للطالب.

45) هندسة إحداثية: تمثل النقطة M نقطة الأصل في الشكل المجاور، أوجد كلاً مما يأتي في $\odot M$، مقرباً الأطوال إلى أقرب جزء من مئة، وقياسات الأقواس إلى أقرب عشر درجة.

a) $m\stackrel{⏜}{GL}$

67.4°

b) $m\stackrel{⏜}{KL}$

22.6°

c) $m\stackrel{⏜}{JK}$

44.8°

d) طول $\stackrel{⏜}{JL}$

15.29 وحدة.

e) طول $\stackrel{⏜}{JK}$

10.16 وحدات.

46) تمثيلات متعددة: في هذا السؤال ستستقصي العلاقة بين الأقواس والأوتار.

a) هندسياً: ارسم دائرة فيها وتران متطابقان مثل $\overline{AB},\overline{CD}$، حدد مركز هذه الدائرة، كرر العملية مع دائرتين أخريين ووترين متطابقين في كلّ منهما، على أن تكون أطوال الأوتار في الدوائر الثلاث مختلفة.

b) حسياً: قص ثلاث قطع من الورق الشفاف أكبر من كلّ من الدوائر الثلاث، ثم ثبت ورقة شفافة من منتصفها مستعملاً دبوساً عند مركز كل دائرة، ارسم القوس المقابل لأحد الوترين في كل دائرة على الورقة الشفافة، ثم قم بتدوير قطعة الورق الشفاف حول الدبوس؛ لمقارنة طول القوس الذي رسمته بطول القوس المقابل للوتر الآخر.

متروك للطالب.

c) لفظياً: ضع تخميناً حول العلاقة بين الأقواس التي تقابل أوتاراً متطابقة في الدائرة.

إجابة ممكنة: عندما يكون الوتران في الدائرة متطابقين؛ فإن القوسين المحدودين بهذين الوترين يكونان متطابقين.

افترض أن G مركز الدائرة.

GD = GC = GB = GA (أنصاف أقطار).

المثلثان: CGD , AGB متطابقان بثلاثة أضلاع. وينتج عنه أن: $m\mathrm{\angle }AGB=m\mathrm{\angle }CGD$.

الزاويتان CGD , AGB زاويتان مركزيتان متطابقتان، إذن الأقواس المقابلة لها متطابقة وبالتالي يكون: $m\stackrel{⏜}{AB}=m\stackrel{⏜}{CD}$