اكتب برهاناً إحداثياً لإثبات أن:

$\mathrm{△}ABX\cong \mathrm{△}CDX$.

• المعطيات: المثلثان $\mathrm{△}CDX,\mathrm{△}ABX$
• المطلوب: $\mathrm{△}ABX\cong \mathrm{△}CDX$
• البرهان: نقطة منتصف $\overline{AC}$ هي:

$\left(\frac{0+a+x}{2},\frac{0+b}{2}\right)=\left(\frac{{\displaystyle a+x}}{{\displaystyle 2}},\frac{{\displaystyle b}}{{\displaystyle 2}}\right)$

نقطة منتصف $\overline{BD}$ هي:

$\left(\frac{0+x+a}{2},\frac{b+0}{2}\right)=\left(\frac{{\displaystyle a+x}}{{\displaystyle 2}},\frac{{\displaystyle b}}{{\displaystyle 2}}\right)$

إحداثي نقطة منتصف $\overline{AC}$= إحداثي نقطة منتصف $\overline{BD}$= إحداثي النقطة X لذا $\overline{AC}$ تنصف $\overline{BD}$، و $\overline{BD}$ تنصف $\overline{AC}$ وذلك بتعريف المنصف.

وهذا يعني أن X منصف كل من $\overline{AC}$ و $\overline{BD}$ أي أن:

$\overline{AX}\cong \overline{XC},\overline{BX}\cong \overline{XD}$، وذلك بتعريف نقطة المنصف.

$\begin{array}{rl}& CD=\sqrt{\left(\right(a+x)-a{)}^2+(b-0{)}^2}=\sqrt{x^2+b^2}\\ & AB=\sqrt{\left(\right(0+x)-0{)}^2+(b-0{)}^2}=\sqrt{x^2+b^2}\end{array}$

إذاً $\overline{CD}\cong \overline{AB}$ بتعريف تطابق القطع المستقيمة.

$\mathrm{△}ABX\cong \mathrm{△}CDX$ بحسب SSS.

حقق من فهمك

1) ارسم المثلث JKL المتطابق الضلعين في المستوى الإحداثي وسم رؤوسه، على أن يكون طول قاعدته$\overline{JL}$ يساوي a وحدة، ويكون ارتفاعه b وحدة، والرأس K يقع على المحور y.

2) أوجد الإحداثيات المجهولة في المثلث $△ABC$، المتطابق الضلعين والقائم الزاوية.

A(0,a), B(0,0), C(a,0)

3) اكتب برهاناً إحداثياً لإثبات أن:

$\mathrm{△}ABX\cong \mathrm{△}CDX$.

• المعطيات: المثلثان $\mathrm{△}CDX,\mathrm{△}ABX$
• المطلوب: $\mathrm{△}ABX\cong \mathrm{△}CDX$
• البرهان: نقطة منتصف $\overline{AC}$ هي:

$\left(\frac{0+a+x}{2},\frac{0+b}{2}\right)=\left(\frac{{\displaystyle a+x}}{{\displaystyle 2}},\frac{{\displaystyle b}}{{\displaystyle 2}}\right)$

نقطة منتصف $\overline{BD}$ هي:

$\left(\frac{0+x+a}{2},\frac{b+0}{2}\right)=\left(\frac{{\displaystyle a+x}}{{\displaystyle 2}},\frac{{\displaystyle b}}{{\displaystyle 2}}\right)$

إحداثي نقطة منتصف $\overline{AC}$= إحداثي نقطة منتصف $\overline{BD}$= إحداثي النقطة X لذا $\overline{AC}$ تنصف $\overline{BD}$، و $\overline{BD}$ تنصف $\overline{AC}$ وذلك بتعريف المنصف.

وهذا يعني أن X منصف كل من $\overline{AC}$ و $\overline{BD}$ أي أن:

$\overline{AX}\cong \overline{XC},\overline{BX}\cong \overline{XD}$، وذلك بتعريف نقطة المنصف.

$\begin{array}{rl}& CD=\sqrt{\left(\right(a+x)-a{)}^2+(b-0{)}^2}=\sqrt{x^2+b^2}\\ & AB=\sqrt{\left(\right(0+x)-0{)}^2+(b-0{)}^2}=\sqrt{x^2+b^2}\end{array}$

إذاً $\overline{CD}\cong \overline{AB}$ بتعريف تطابق القطع المستقيمة.

$\mathrm{△}ABX\cong \mathrm{△}CDX$ بحسب SSS.

4) جغرافيا: يضم مجمَّع كشفي ثلاث فرق من ثلاث مدن تمثل مثلثاً،

إذا كانت الإحداثيات التقريبية لمواقع هذه المدن الثلاث هي: تبوك ${28.37}^{\circ }\mathrm{N}{36.6}^{\circ }\mathrm{E}$، عرعر ${30.9}^{\circ }\mathrm{N}{41.13}^{\circ }\mathrm{E}$، حائل ${27.43}^{\circ }\mathrm{N}{41.68}^{\circ }\mathrm{E}$، فاكتب برهاناً إحداثياً لإثبات أن المثلث الذي رؤوسه هذه المدن الثلاث متطابق الضلعين تقريباً.

افترض أن T ترمز لمدينة تبوك، وA ترمز لمدينة عرعر، وH لمدينة حائل.

$\begin{array}{c}AT=\sqrt{(28.37-30.9{)}^2+(36.6-41.13{)}^2}\approx 5.19\\ HT=\sqrt{(28.37-27.43{)}^2+(36.6-41.68{)}^2}\approx 5.17\\ AH=\sqrt{(30.9-27.43{)}^2+(41.13-41.68{)}^2}\approx 3.51\end{array}$

وبما أن $AT\approx HT$، إذاً $△ATH$ متطابق الضلعين تقريباً.