خزانتا سليم وماجد مفتوحتان، كما في الشكل المجاور، أيُّ بابي الخزانتين يشكل زاوية قياسها أكبر؟ وضح إجابتك.

خزانة سليم؛ إجابة ممكنة: بما أن عرضي البابين متساويان، وفتحتا الخزانتين متساويتان أيضاً، وبما أن $17\text{in}>12\text{in}$ ، إذاً قياس الزاوية التي يكونها باب سليم أكبر من قياس الزاوية التي يكونها باب ماجد بحسب عكس متباينة SAS.

تدرب وحل المسائل

قارن بين القياسين المحددين في كلّ من الأسئلة الآتية:

8) $\mathrm{\angle }BAC,\mathrm{\angle }DGE$

$m\mathrm{\angle }BAC<m\mathrm{\angle }DGE$

9) $\mathrm{\angle }TUW,\mathrm{\angle }VUW$

$m\mathrm{\angle }TUW>m\mathrm{\angle }VUW$

10) PS,SR

$PS<SR$

11) رحلة صيد: أقام باسم وعثمان مخيماً في الصحراء، وقررا أن يقوما برحلة صيد، فانطلق باسم من المخيم وسار 5km في اتجاه الشرق، ثم انعطف °15 جهة الجنوب الشرقي وسار 2km أخرى، وانطلق عثمان من المخيم وسار 5km في اتجاه الغرب، ثم انعطف °35 جهة الشمال الغربي وسار 2km أخرى.

a) أيُّهما أقرب إلى المخيم؟ وضح إجابتك، وارسم شكلاً توضيحياً.

عثمان؛ إجابة ممكنة: انعطف باسم °15 جنوباً، لذلك فقياس الزاوية المقابلة للضلع الذي يمثل بعده عن المخيم يساوي °165، أما عثمان فقد انعطف °35 شمالاً، لذا فقياس الزاوية المقابلة للضلع الذي يمثل بعده عن المخيم يساوي °145، وبحسب متباينة SAS يكون: ${145}^{\circ }<{165}^{\circ }$ فإن عثمان يكون أقرب إلى المخيم.

b) افترض أن عثمان انعطف °10 في اتجاه الجنوب الغربي بدلاً من °35 في اتجاه الشمال الغربي، فأيهما يكون أبعد عن المخيم؟ وضح إجابتك، وارسم شكلاً توضيحياً.

عثمان؛ إجابة ممكنة: انعطف باسم °15 جنوباً، لذلك فقياس الزاوية المقابلة للضلع الذي يمثل بعده عن المخيم يساوي °165، أما عثمان فقد انعطف °10 شمالاً، لذا فقياس الزاوية المقابلة للضلع الذي يمثل بعده عن المخيم يساوي °170، وبحسب متباينة SAS يكون: ${170}^{\circ }>{165}^{\circ }$ فإن عثمان يكون أبعد إلى المخيم.

اكتب متباينة تمثل مدى القيم الممكنة ل x في كل من السؤالين الآتيين:

12)

$2<x<6$

13)

$7<x$

14) خزائن: خزانتا سليم وماجد مفتوحتان، كما في الشكل المجاور، أيُّ بابي الخزانتين يشكل زاوية قياسها أكبر؟ وضح إجابتك.

خزانة سليم؛ إجابة ممكنة: بما أن عرضي البابين متساويان، وفتحتا الخزانتين متساويتان أيضاً، وبما أن $17\text{in}>12\text{in}$، إذاً قياس الزاوية التي يكونها باب سليم أكبر من قياس الزاوية التي يكونها باب ماجد بحسب عكس متباينة SAS.

برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين في كلّ من السؤالين الآتيين:

15) المعطيات:

• $\overline{LK}\cong \overline{JK},\overline{RL}\cong \overline{RJ}$

• K نقطة منتصف $\overline{QS}$

• $m\mathrm{\angle }SKL>m\mathrm{\angle }QKJ$

المطلوب:

$RS>QR$

العبارات (المبررات):

1. $K،\overline{LK}\cong \overline{JK},\overline{R}\overline{L}\cong \overline{RJ}$ نقطة منتصف $\overline{QS}$، $m\mathrm{\angle }SKL>m\mathrm{\angle }QKJ$ (معطيات).
2. SK=QK (تعريف نقطة المنتصف).
3. $SL>QJ$ (متباينة SAS).
4. RL=RJ (تعريف القطع المستقيمة المتطابقة).
5. $SL+RL>RL+QJ$ (خاصية الجمع).
6. $SL+RL>RJ+QJ$ (بالتعويض).
7. RS=SL+RL،QR=RJ+QJ (مسلمة جمع القطع المستقيمة).

16) المعطيات:

$\begin{array}{r}\overline{AF}\cong \overline{DJ},\overline{FC}\cong \overline{JB}\\ AB>DC\end{array}$

المطلوب:

$m\mathrm{\angle }AFC>m\mathrm{\angle }DJB$

البرهان:

1. $\overline{AF}\cong \overline{DJ},\overline{FC}\cong \overline{JB},AB>DC$ (معطيات).
2. $\overline{BC}\cong \overline{BC}$ (خاصية الانعكاس).
3. BC=BC (تعريف القطع المستقيمة المتطابقة).
4. AB+BC=AC، DC+CB=DB (مسلمة جمع القطع المستقيمة).
5. $AB+BC>DC+CB$ (خاصية الجمع).
6. $AC>DB$ (بالتعويض).
7. $m\mathrm{\angle }AFC>m\mathrm{\angle }DJB$ (عكس متباينة SAS).

17) تمرين: يقوم عبد الله بتمرين العضلة ذات الرأسين.

a) أيُّهما أكبر: المسافة من قبضة اليد إلى الكتف في الوضع 1، أم المسافة نفسها في الوضع 2؟ وضح إجابتك بالقياس.

الوضع 1؛ إجابة ممكنة: إذا قست المسافة من المرفق إلى الكف في كلا الوضعين باستعمال مسطرة ستجدها أطول في الوضع 1

b) أيُّهما أكبر: قياس الزاوية المتكونة عند المرفق في الوضع 1، أم المتكونة في الوضع 2؟ وضح إجابتك مستعملاً القياسات التي أوجدتها في الفرع a وعكس متباينة SAS.

الوضع 1؛ إجابة ممكنة: باستعمال نتيجة الفرع a ومتباينة SAS، تعلم أن قياس الزاوية المقابلة للضلع الأطول هي الأكبر، لذلك فالزاوية عند المرفق في الوضع 1 هي الأكبر.

18) برهان: استعمل البرهان غير المباشر؛ لإثبات النظرية 4.14 (عكس متباينة SAS).

المعطيات:

$\begin{array}{rl}& \overline{RS}\cong \overline{UW}\\ & \overline{ST}\cong \overline{WV}\\ & RT>UV\end{array}$

المطلوب:

$m\mathrm{\angle }S>m\mathrm{\angle }W$

برهان غير مباشر:

الخطوة1: افترض أن $m\mathrm{\angle }S\le m\mathrm{\angle }W$.

الخطوة2: إذا كان $m\mathrm{\angle }S\le m\mathrm{\angle }W$، فإن $m\mathrm{\angle }S=m\mathrm{\angle }W وأ m\mathrm{\angle }S<m\mathrm{\angle }W$.

• الحالة1: إذا كان $m\mathrm{\angle }S<m\mathrm{\angle }W$، فإن $RT<UV$ بحسب المتباينة SAS.
• الحالة2: إذا كان $m\mathrm{\angle }S=m\mathrm{\angle }W$، فإن $\mathrm{△}RST\cong \mathrm{△}UWV$ بحسب SAS.

ويكون $\overline{RT}\cong \overline{UV}$، لأن العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين تكون متطابقة، وعليه فإن RT=UV من تعريف القطع المستقيمة المتطابقة.

الخطوة3: الحالتان تؤديان إلى تناقص مع المعطى $RT>UV$، لذلك فالفرض يجب أن يكون خطأ والنتيجة $m\mathrm{\angle }S>m\mathrm{\angle }W$ ستكون صحيحة.

19) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة ستكتشف مجموع زوايا مضلع.

a) هندسياً: ارسم ثلاث مضلعات: ثلاثي، رباعي، خماسي، وسم المضلع الثلاثي ABC، والرباعي FGHJ والخماسي PQRST.

b) جدولياً: انسخ الجدول أدناه في دفترك وأكمله مستعملاً المنقلة لقياس كل زاوية.

c) لفظياً: خمن العلاقة بين عدد أضلاع المضلع ومجموع قياسات زواياه.

إجابة ممكنة: مجموع قياسات زوايا المضلع يساوي ناتج ضرب °180 في عدد أضلاع المضلع مطروحاً منها 2

d) منطقياً: ما نوع التبرير الذي استعملته في الفرع c، وضح إجابتك.

التبرير الاستقرائي؛ إجابة ممكنة: بما أنني استعملت نمطاً للتوصُّل إلى التخمين، إذاً التبرير الذي استعملته هو التبرير الاستقرائي.

e) جبرياً: اكتب عبارة جبرية؛ لإيجاد مجموع قياسات زوايا مضلع عدد أضلاعه n.

${180}^{\circ }(n-2)$

استعمل الشكل المجاور لكتابة متباينة تربط بين قياس كل زوج من الزوايا في السؤالين الآتيين:

20) $m\mathrm{\angle }BDC,m\mathrm{\angle }FDB$

$m\mathrm{\angle }BDC<m\mathrm{\angle }FDB$

21) $m\mathrm{\angle }ABF,m\mathrm{\angle }FDB$

$m\mathrm{\angle }ABF>m\mathrm{\angle }FDB$