كان عدد سكان إحدى المدن 54000 نسمة عام 2005م، وتزايد عددهم ليصبح 68000 نسمة عام 2017م.

اكتب دالة أسية على الصورة y=ab^x يمكن استعماله لتمثيل عدد سكان المدينة y بعد x سنة منذ عام 2005، مقرباً الناتج إلى أقرب ثلاث منازل عشرية.

$f\left(x\right)=45000(1.0350{)}^x$

استعمل الدالة لتقدير عدد سكان المدينة عام 2025.

$f\left(x\right)=45000(1.0350{)}^{20}$

89540.49 تقريباً.

اختبار منتصف الفصل

مثل كل دالة مما يأتي بيانياً وحدد مجالها ومداها.

1) $f\left(x\right)=3(4{)}^x$

$\begin{array}{r}\left\{R\right\} \mathrm{المجال}:\\ \left\{f\right(x)\mid f(x)>0\} \mathrm{المدى}:\end{array}$

2) $f\left(x\right)=-(2{)}^x+5$

$\begin{array}{r}\left\{R\right\}:\mathrm{المجال}\\ \left\{f\right(x)\mid f(x)<5\} \mathrm{المدى}:\end{array}$

3) $f\left(x\right)=-0.5(3{)}^{x+2}+4$

$\begin{array}{r}\left\{R\right\} \mathrm{المجال}:\\ \left\{f\right(x)\mid f(x)<4\} \mathrm{المدى}:\end{array}$

4) $f\left(x\right)=-3{\left(\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 3}}\right)}^{x-1}+8$

5) علوم: بدأت تجربة مخبرية ب 6000 خلية بكتيرية، وبعد ساعتين أصبح عددها 28000 خلية.

a) اكتب دالة أسية على الصورة y=ab^x يمكن استعمالها لتمثيل عدد الخلايا البكتيرية y بعد x ساعة إذا استمر عدد الخلايا البكتيرية بالمعدل نفسه، مقرباً الناتج إلى أقرب 4 منازل عشرية.

$y=6000(2.16025{)}^x$

b) ما العدد المتوقع للخلايا البكتيرية بعد 4 ساعات.

$y=6000(2.16025{)}^4=130667.41$

6) اختيار من متعدد: أي من الدوال الأسية الآتية يمر بالنقطتين (3,1000) ,(0,125)؟

• $f\left(x\right)=125(3{)}^x$
• $f\left(x\right)=1000(3{)}^x$
• $f\left(x\right)=125(1000{)}^x$
• $f\left(x\right)=125(2{)}^x$

7) سكان: كان عدد سكان إحدى المدن 54000 نسمة عام 2005م، وتزايد عددهم ليصبح 68000 نسمة عام 2017م.

a) اكتب دالة أسية على الصورة y=ab^x يمكن استعماله لتمثيل عدد سكان المدينة y بعد x سنة منذ عام 2005، مقرباً الناتج إلى أقرب ثلاث منازل عشرية.

$f\left(x\right)=45000(1.0350{)}^x$

b) استعمل الدالة لتقدير عدد سكان المدينة عام 2025.

$f\left(x\right)=45000(1.0350{)}^{20}$

89540.49 تقريباً.

حل كلاً من المعادلتين الآتيتين:

8) ${11}^{2x+1}={121}^{3x}$

$\begin{array}{rl}& {11}^{2x+1}={11}^{2\left(3x\right)}\\ & 2x+1=6x\\ & 4x=1\\ & x=\frac{1}{4}\end{array}$

9) $3^{4x-7}={27}^{2x+3}$

$\begin{array}{rl}& 3^{4x-7}=3^{3(2x+3)}\\ & 4x-7=6x+9\\ & 2x=-16\\ & x=-8\end{array}$

حل كل متباينة مما يأتي، وتحقق من صحة حلك.

10) $5^{2x+3}\le 125$

$\begin{array}{rl}& 5^{2x+3}\le 5^3\\ & 2x+3\le 3\\ & 2x\le 0\\ & x\le 0\end{array}$

11) ${16}^{2x+3}<64$

$\begin{array}{rl}{4}^{2(2x+3)}& <4^3\\ 4x+6& <3\\ 4x& <-3\\ x& <\frac{-3}{4}\end{array}$

12) ${\left(\frac{1}{32}\right)}^{x+3}\ge {16}^{3x}$

$\begin{array}{rl}& 2^{-5(2x+3)}\ge 2^{6\left(3x\right)}\\ & -10x-15\ge 18x\\ & -28x\ge 15\\ & x\le \frac{-15}{28}\end{array}$

مثل كل دالة ما يأتي بيانياً.

13) $f\left(x\right)=3{\log }_2(x-1)$

14) $f\left(x\right)=-4{\log }_3(x-2)+5$

15) $f\left(x\right)=2+{\log }_4(1+x)$

16) اختيار من متعدد: ما الصورة اللوغاريتمية للمعادلة $(625{)}^{\frac{1}{4}}=5$؟

• $lo{g}_{625}5=\frac{1}{4}$
• ${\log }_{5}625=4$
• ${\log }_{5}625=\frac{1}{4}$
• ${\log }_{\frac{1}{4}}5=625$

17) اختيار من متعدد: أي التمثيلات البيانية الآتية هو تمثيل الدالة $f\left(x\right)={\log }_3(x+5)+3$ البياني؟

أوجد قيمة كل مما يأتي:

18) log₄32

$\frac{5}{2}$

19) log₅5¹²

12

20) log₁₆4

$\frac{1}{2}$

21) اكتب المعادلة ${\log }_{9}729=3$ على الصورة الأسية.

9³