يستعمل إسقاط الستيروجرافيك (Stereographic Projection) لتحويل مسار ثلاثي الأبعاد على الكرة الأرضية إلى مسار في المستوى (على الخريطة)، بحيث ترتبط النقاط على الكرة الأرضية بالنقاط المقابلة لها على الخريطة بالمعادلة $r=\frac{\sin \alpha }{1-\cos \alpha }$ أثبت $r=\frac{1+\cos \alpha }{\sin \alpha }$ .

$\begin{array}{r}r=\frac{\sin \alpha }{1-\cos \alpha }=\frac{\sin \alpha }{1-\cos \alpha }\times \frac{1+\cos \alpha }{1+\cos \alpha }\\ =\frac{\sin \alpha (1+\cos \alpha )}{{\sin }^2\alpha }=\frac{1+\cos \alpha }{\sin \alpha }\end{array}$

حل أسئلة تطبيقات ومسائل

42) إنشاءات: يبين الشكل أدناه ممراً مماثلاً لمنزل، أوجد sin θ, cos θ إذا كان $\tan \theta =\frac{1}{12}$.

$\begin{array}{r}\sin \theta =\frac{\sqrt{145}}{145}\\ \cos \theta =\frac{12\sqrt{145}}{145}\end{array}$

43) ضوء: تعطى شدة الضوء الخارج من عدستين متتاليتين بالصيغة $\mathrm{I}={\mathrm{I}}_0-\frac{{\mathrm{I}}_0}{{\csc }^2\theta }$، حيث I0 شدة الضوء الخارج من العدسة الأولى، θ الزاوية بين محوري العدستين، اكتب الصيغة السابقة بحيث لا تظهر فيها نسب مثلثية سوى tanθ.

$I=I\circ \left(\frac{1}{1+{\tan }^2\theta }\right)$

44) خرائط: يستعمل إسقاط الستيروجرافيك (Stereographic Projection) لتحويل مسار ثلاثي الأبعاد على الكرة الأرضية إلى مسار في المستوى (على الخريطة)، بحيث ترتبط النقاط على الكرة الأرضية بالنقاط المقابلة لها على الخريطة بالمعادلة $r=\frac{\sin \alpha }{1-\cos \alpha }$ أثبت $r=\frac{1+\cos \alpha }{\sin \alpha }$ .

$\begin{array}{r}r=\frac{\sin \alpha }{1-\cos \alpha }=\frac{\sin \alpha }{1-\cos \alpha }\times \frac{1+\cos \alpha }{1+\cos \alpha }\\ =\frac{\sin \alpha (1+\cos \alpha )}{{\sin }^2\alpha }=\frac{1+\cos \alpha }{\sin \alpha }\end{array}$

45) موجات: يسمى تداخل موجتين بناءً إذا كانت سعة الموجة الناتجة أكبر من سعة مجموع الموجتين المتداخلتين، هل يكون تداخل الموجتين الآتيتين معادلتاهما بنَّاء؟ y₁ = 20 sin (3t + 225˚)، y₂ = 20 sin (3t + 45˚)

y1+y2=0

إذا التداخل هام.

46) هندسة: استعمل المثلث LMN أدناه لإثبات أن $\sin 2N=\frac{2\mathrm{n}\ell }{{\mathrm{m}}^2}$.

$\begin{array}{c}\sin 2=2\sin N\cos N=2\frac{n}{m}\times \frac{1}{m}\\ =\frac{2l}{m^2}\end{array}$

أثبت أن كلاً من المعادلتين الآتيتين تمثل متطابقة:

47) $\frac{\sin 2\theta }{2{\sin }^2\theta }=\cot \theta$

$\begin{array}{r}\frac{sin2\theta }{2si{n}^2\theta }=cot\theta \\ \frac{2sincos\theta }{2si{n}^2\theta }=cot\theta \\ \frac{cos\theta }{sin\theta }=cot\theta \end{array}$

48) $1+\cos 2\theta =\frac{2}{1+{\tan }^2\theta }$

$\begin{array}{r}1+co{s}^2\theta =\frac{2}{1+ta{n}^2\theta }\\ 1+2co{s}^2\theta -1=\frac{2}{se{c}^2\theta }\\ 2co{s}^2\theta =2co{s}^2\theta \end{array}$

49) مقذوفات: إذا قذفت كرة بسرعة متجهة مقدارها v وزاوية قياسها θ، فقطعت مسافة أفقية مقدارها d ft، ويعطى زمن تحليقها t بالصيغة $t=\frac{d}{v\cos \theta }$ فأوجد الزاوية التي قذفت بها الكرة، إذا علمت أن v=50ft/s، وكانت المسافة الأفقية 100ft، وزمن التحليق 4 ثوان.

الزاوية التي قذفت بها الكرة= 60.