مثل كل دالة فيما يأتي بيانياً:

د(س) = -٢س ^٢ + ٤س + ١

س = $\frac{-ب}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{-\mathrm{٤}}{\mathrm{٢} \times -\mathrm{٢}}$ = ١

وعند س = ١

ص = -٢ + ٤ + ١ = ٣

إذن الرأس هي (١، ٣)

وبما أن أ قيمة سالبة فالتمثيل مفتوح لأسفل لذا الرأس تمثل قيمة عظمى.

حل أسئلة تأكد

استعمل جدول القيم، لتمثيل كل دالة فيما يأتي بيانياً، وحدد مجالها ومداها:

١) ص = ٢س^٢ + ٤س - ٦

المجال = مجموعة الأعداد الحقيقية.

المدى = {ص | ص$\ge$-٨}

٢) ص = س^٢ + ٢س - ١

المجال = مجموعة الأعداد الحقيقية.

المدى = {ص | ص$\ge$-٢}

٣) ص = ٣س^٢ - ٦س - ٥

المجال = مجموعة الأعداد الحقيقية.

المدى = {ص | ص$\ge$-٨}

أوجد الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي لكل تمثيل بياني فيما يأتي:

٤)

الرأس = (-١، ٥)، ومحور التماثل س = -١، المقطع الصادي = ٣.

٥)

الرأس = (-٢، -٣)، ومحور التماثل س = -٢، المقطع الصادي = ١.

٦)

الرأس = (٠، ٥)، ومحور التماثل س = ٠، المقطع الصادي = ٥.

أوجد الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي لكل دالة فيما يأتي:

٧) ص = - س^٢ + ٢س + ١

س = $\frac{-ب}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{-\mathrm{٢}}{\mathrm{٢} \times -\mathrm{١}}$ = ١

وعند س = ١

ص = ١ - ٤+ ٥ = ٢

إذن الرأس هي (١، ٢)

والمقطع الصادي هو قيمة جـ = ١

الرأس = (١، ٢)، محور التماثل س = ١، المقطع الصادي = -١.

٨) ص = س^٢ - ٤س + ٥

س = $\frac{-ب}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{-(-\mathrm{٤})}{\mathrm{٢} \times \mathrm{١}}$ = ٢

معادلة محور التماثل هي س = ٢

وعند س = ٢

ص = ٤ - ٢ × ٤ + ٥ = ١

إذن الرأس هي (٢، ١)

والمقطع الصادي هو قيمة جـ = ٥

الرأس = (٢، ١)، محور التماثل س = ٢، المقطع الصادي = ٥.

٩) ص = ٤س^٢ - ٨س + ٩

س = $\frac{-ب}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٢} \times \mathrm{٤}}$ = ١

معادلة محور التماثل هي س = ١

وعند س = ١

ص = ٤ - ٨ + ٩ = ٥

إذن الرأس هي (١، ٥)

والمقطع الصادي هو قيمة جـ = ٩

الرأس = (١، ٥)، محور التماثل س = ١، المقطع الصادي = ٩.

في الاسئلة ١٠ - ١٢ أجب عما يأتي:

١٠) ص = -٣س^٢ + ٦س + ٢

أ) حدد فيما إذا كان للدالة قيمة صغرى أم قيمة عظمى.

عظمى، بما أن أ قيمة سالبة فالتمثيل مفتوح لأسفل لذا الرأس تمثل قيمة عظمى.

ب) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى.

س = $\frac{-ب}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٢} \times -\mathrm{١}}$ = -١

معادلة محور التماثل هي س = -١

وعند س = -١

ص = -١ +٢ + ٢ = ٣

إذن الرأس هي (-١، ٣)

القيمة العظمى هي الإحداث الصادي للرأس وتساوي ٣

جـ) حدد مجال الدالة ومداها.

المجال = مجموعة الأعداد الحقيقة.

المدى = {ص | ص $\le$ ٣}

١١) ص = -٣س^٢ + ٦س + ٣

أ) حدد فيما إذا كان للدالة قيمة صغرى أم قيمة عظمى.

عظمى، بما أن أ قيمة سالبة فالتمثيل مفتوح لأسفل لذا الرأس تمثل قيمة عظمى.

ب) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى.

س = $\frac{-ب}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{-\mathrm{٦}}{\mathrm{٢} \times -\mathrm{٣}}$ = ١

وعند س = ١

ص = -٣ + ٦ + ٣ = ٦

إذن الرأس هي (١، ٦)

القيمة العظمى هي الإحداث الصادي للرأس وتساوي ٦.

جـ) حدد مجال الدالة ومداها.

المجال = مجموعة الأعداد الحقيقة.

المدى = {ص | ص $\le$ ٦}

١٢) ص = -٢س^٢ + ٨س - ٦

أ) حدد فيما إذا كان للدالة قيمة صغرى أم قيمة عظمى.

عظمى، بما أن أ قيمة سالبة فالتمثيل مفتوح لأسفل لذا الرأس تمثل قيمة عظمى.

ب) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى.

س = $\frac{-ب}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{-\mathrm{٨}}{\mathrm{٢} \times -\mathrm{٢}}$ = ٢

وعند س = ٢

ص = -٨ + ١٦ - ٦ = ٢

إذن الرأس هي (٢، ٢)

القيمة العظمى هي الإحداث الصادي للرأس وتساوي ٢

جـ) حدد مجال الدالة ومداها.

المجال = مجموعة الأعداد الحقيقة.

المدى = {ص | ص $\le$ ٢}

مثل كل دالة فيما يأتي بيانياً:

١٣) د(س) = -٣س^٢ + ٦س + ٣

س = $\frac{-ب}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{-\mathrm{٦}}{\mathrm{٢} \times -\mathrm{٣}}$ = ١

وعند س = ١

ص = -٣ + ٦ + ٣ = ٦

إذن الرأس هي (١، ٦)

وبما أن أ قيمة سالبة فالتمثيل مفتوح لأسفل لذا الرأس تمثل قيمة عظمى والمقطع الصادي هو قيمة جـ = ٣.

١٤) د(س) = -٢س^٢ + ٤س + ١

س = $\frac{-ب}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{-\mathrm{٤}}{\mathrm{٢} \times -\mathrm{٢}}$ = ١

وعند س = ١

ص = -٢ + ٤ + ١ = ٣

إذن الرأس هي (١، ٣)

وبما أن أ قيمة سالبة فالتمثيل مفتوح لأسفل لذا الرأس تمثل قيمة عظمى.

١٥) د(س) = ٢س^٢ - ٨س -٤

س = $\frac{-ب}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٢} \times \mathrm{٢}}$ = ٢

وعند س = ٢

ص = ٢ × ٤ - ٨ × ٢ - ٤ = -١٢

إذن الرأس هي (٢، -١٢)

وبما أن أ قيمة موجبة فالتمثيل مفتوح لأعلى لذا الرأس تمثل قيمة صغرى والمقطع الصادي هو قيمة جـ = -٤.

١٦) كرة: يقذف ياسر كرة في الهواء، وفق المعادلة ص = - ١٦س^٢ + ١٦س + ٥ حيث تمثل (ص) ارتفاع الكرة بالأقدام بعد (س) ثانية.

أ) مثل هذه الدالة بيانياً.

س = $\frac{-ب}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{-\mathrm{١٦}}{\mathrm{٢} \times -\mathrm{١٦}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

وعند س = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

ص = -١٦ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$ + ١٦ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ + ٥ = - ٤ + ٨ + ٥ = ٩

إذن الرأس هي ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$، ٩)

وبما أن أ قيمة موجبة فالتمثيل مفتوح لأعلى لذا الرأس تمثل قيمة صغرى والمقطع الصادي هو قيمة جـ = -٤.

ب) ما الارتفاع الذي قذفت منه الكرة؟

٥ أقدام.

جـ) ما أقصى ارتفاع تصله الكرة من سطح الأرض؟

٩ أقدام.