أعط مثالاً يؤكد خطأ العبارة الآتية: ناتج قسمة كسرين اعتياديين يقع كل منهما بين ٠ و١، لا يمكن أن يكون عدداً صحيحاً.

$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}÷\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\times \frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{١}}$ = ٣

الكسرين المقسوم والمقسوم عليه أقل من ١ والناتج عدد صحيح.

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

اكتب النظير الضربي لكل عدد مما يأتي:

١٣) $\frac{-\mathrm{٧}}{\mathrm{٩}}$

بما أن $\frac{-\mathrm{٧}}{\mathrm{٩}}$ × $\frac{-\mathrm{٩}}{\mathrm{٧}}$ = ١، فإن النظير الضربي هو $-\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٧}}$

١٤) $-\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}$

بما أن $\frac{-\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}$ × $\frac{-\mathrm{٨}}{\mathrm{٥}}$ = ١، فإن النظير الضربي هو $-\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٥}}$

١٥) ١٥

بما أن ١٥ × $\frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{١٥}}$ = ١، فإن النظير الضربي هو $-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٥}}$

١٦) ١٨

بما أن ١٨ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٨}}$ = ١، فإن النظير الضربي هو $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٨}}$

١٧) $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٣}$

$\frac{\mathrm{١٧}}{\mathrm{٥}}$ اكتب العدد على صورة الكسر

بما أن $\frac{\mathrm{١٧}}{\mathrm{٥}}$ × $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{١٧}}$ = ١، فإن النظير الضربي هو $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{١٧}}$

١٨) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٨}}\mathrm{٤}$

$\frac{\mathrm{٣٣}}{\mathrm{٨}}$ اكتب العدد على صورة الكسر

بما أن $\frac{\mathrm{٣٣}}{\mathrm{٨}}$ × $\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٣٣}}$ = ١، فإن النظير الضربي هو $\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٣٣}}$

أوجد ناتج القسمة في أبسط صورة:

١٩) $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}÷\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$

$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}÷\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$ = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}\times \frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{١٥}}$

٢٠) $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٨}}÷\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٨}}÷\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٨}}\times \frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{١٦}}$

٢١) $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}÷\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$

$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}÷\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$ = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\times \frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٥}}=\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}$

٢٢) $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}÷\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٠}}$

$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}÷\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٠}}$ = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}\times \frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{١}}$ = ٤

٢٣) $\frac{-\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}÷\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$

$\frac{-\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}÷\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$ = $\frac{-\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}\times \frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}=\frac{-\mathrm{١٦}}{\mathrm{١٥}}=-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٥}}\mathrm{١}$

٢٤) $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٠}}÷(-\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}})$

$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٠}}÷(-\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}})$ = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٠}}\times \frac{-\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}=-\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٢٠}}$

٢٥) $-\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٩}}÷(-\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}})$

$-\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٩}}÷(-\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}})$ = $\frac{-\mathrm{٥}}{\mathrm{٩}}\times \frac{-\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$

٢٦) $-\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٢}}÷(-\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}})$

$-\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٢}}÷(-\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}})$ = $\frac{-\mathrm{٧}}{\mathrm{١٢}}\times \frac{-\mathrm{٦}}{\mathrm{٥}}=\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٠}}$

٢٧) $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}÷$ ٤

$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}÷$ ٤ = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٠}}$

٢٨) $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{١٦}}$ ÷ ٣

$\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{١٦}}$ ÷ ٣ = $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{١٦}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٦}}$

٢٩) $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}$ ÷ ٦

$\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}$ ÷ ٦ = $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣٠}}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{١٥}}$

٣٠) $\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٧}}$ ÷ ٤

$\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٧}}$ ÷ ٤ = $\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٧}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٤}}$

٣١) $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٣}÷ \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٢}$

$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٣}÷ \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٢}$ = $\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{٤}}÷\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٢}}$

= $\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{٤}}\times \frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{١}$

٣٢) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٧} ÷\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٠}}\mathrm{٢}$

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٧} ÷\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٠}}\mathrm{٢}$ = $\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{٤}}÷\frac{\mathrm{٢١}}{\mathrm{١٠}}$

= $\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{٢}}\times \frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٢١}}=\frac{\mathrm{٢٥}}{\mathrm{٧}}=\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٧}}\mathrm{٣}$

٣٣) $-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{١٢} ÷\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٤}$

$-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{١٢} ÷\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٤}$ = $\frac{-\mathrm{٤٩}}{\mathrm{٤}}÷\frac{\mathrm{١٤}}{\mathrm{٣}}$

= $\frac{-\mathrm{٤٩}}{\mathrm{٤}}\times \frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٤}}=\frac{-\mathrm{٢١}}{\mathrm{٨}}=-\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}\mathrm{٢}$

٣٤) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}\mathrm{١٠} ÷(-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٥}})$

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}\mathrm{١٠} ÷(-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٥}})$ = $\frac{\mathrm{٥١}}{\mathrm{٥}}÷\frac{-\mathrm{٣}}{\mathrm{١٥}}$

= $\frac{\mathrm{٥١}}{\mathrm{٥}}\times \frac{-\mathrm{١٥}}{\mathrm{٣}}$ = -٥١

٣٥) هندسة: نجد محيط الدائرة (مح) باستعمال العلاقة الآتية: مح = ٢ط نق، حيث ط = $\frac{\mathrm{٢٢}}{\mathrm{٧}}$، نق هو طول نصف قطر الدائرة، ما طول نصف الدائرة المجاورة مقرباً الناتج إلى أقرب عشر.

مح = ٢ ط نق

٥٣,٢ = ٢ × $\frac{\mathrm{٢٢}}{\mathrm{٧}}$ × نق

نق = ٥٣,٢ ÷ $\frac{\mathrm{٤٤}}{\mathrm{٧}}=\frac{\mathrm{٥٣٢}}{\mathrm{١٠}}\times \frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٤٤}}=\frac{\mathrm{٩٣١}}{\mathrm{١١٠}}$

نق = ٨,٥ سم.

جسم الإنسان: استعمل المعلومات في الجدول المجاور لحل السؤالين ٣٦، ٣٧,

يبين الجدول المجاور تركيب جسم إنسان بالغ يتمتع بالصحة، ويقصد بكتلة خلايا الجسم العضلات والأعضاء والدم، ويقصد بالأنسجة الداعمة بلازما الدم والعظام.

٣٦) كم مرة تساوي كتلة خلايا الجسم بالنسبة إلى الدهون؟

النسبة بين كتلة خلايا الجسم والدهون = $\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{٢٠}}÷\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢٠}}$

= $\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{٢٠}}\times \frac{\mathrm{٢٠}}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٣}$ كتلة خلايا الجسم تساوي مرة من كتلة الدهون.

٣٧) كم مرة تساوي كتلة خلايا الجسم بالنسبة إلى الأنسجة الداعمة؟

النسبة بين كتلة خلايا الجسم والأنسجة الداعمة = $\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{٢٠}}÷\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٠}}$

= $\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{٢٠}}\times \frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}\mathrm{١}$ كتلة خلايا الجسم تساوي $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}\mathrm{١}$ مرة كتلة الأنسجة الداعمة.

استعمل تحليل وحدات القياس للتحقق من معقولية الإجابة في السؤالين ٣٨، ٣٩.

٣٨) دهان: يحتاج ٣ أشخاص إلى $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٢}$ ساعة لدهان غرفة كبيرة، كم ساعة يحتاج ٥ أشخاص لدهان غرفة مشابهة؟

عدد الساعات = ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٢}$ ساعة × ٣ أشخاص) ÷ ٥ أشخاص.

= $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٢}}$ ساعة × ٣ أشخاص × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥} \mathrm{اشخاص}}$= $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{١}$ ساعة.

٣٩) نقليات: تقوم إحدى الناقلات بتأمين الوقود لمحطة محروقات تبعد عن مصفاة تكرير النفط ٣٥٠ كلم، كم ساعة تستغرق رحلة الناقلة إذا كانت تسير بسرعة معدلها ٦٢ كلم/ساعة؟

عدد الساعات = ٣٥٠ كلم ÷ ٦٢

= $\frac{\mathrm{٣٥٠}}{\mathrm{١}}\times \frac{\mathrm{١} \mathrm{ساعة}}{\mathrm{٦٢}\mathrm{كم}}=\frac{\mathrm{١٧٥}}{\mathrm{٣١}}=\frac{\mathrm{٢٠}}{\mathrm{٣١}}\mathrm{٥}$ ساعة.

= ٥,٦ ساعة تقريباً.

٤٠) مكتبات: يحتفظ ناصر بكتبه على رف يبلغ طوله $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٢٦}$ سم، ويبلغ سمك كل كتاب منها $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\mathrm{١}$ سم، ما عدد الكتب التي يمكن أن يضعها على هذا الرف؟

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٣٠}=\frac{\mathrm{١٢١}}{\mathrm{٤}}$اكتب العدد بالصورة الكسرية.

$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٢}=\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{٤}}$ اكتب العدد بالصورة الكسرية.

$\frac{\mathrm{١٢١}}{\mathrm{٤}}÷\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{٤}}$

$\frac{\mathrm{١٢١}}{\mathrm{٤}}\times \frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{١١}}$ = ١١ كتاب.

٤١) مسألة مفتوحة: اختر كسراً اعتيادياً يقع بين ٠ و١، وأوجد نظيره الضربي، وضح إجابتك.

الكسر هو: $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ النظير الضربي هو: ٢ لأن $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٢ = ١

النظير الجمعي هو: $-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ لأن $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ + ($-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$) = ٠

٤٢) تحد: أعط مثالاً يؤكد خطأ العبارة الآتية: ناتج قسمة كسرين اعتياديين يقع كل منهما بين ٠ و١، لا يمكن أن يكون عدداً صحيحاً.

$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}÷\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\times \frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{١}}$ = ٣

الكسرين المقسوم والمقسوم عليه أقل من ١ والناتج عدد صحيح.

٤٣) الحس العددي: أيهما أكبر: ٣٠ × $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$ أم ٣٠ ÷ $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$؟ وضح إجابتك.

٣٠ × $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{٤٥}}{\mathrm{٢}}$ = ٢٢,٥ ناتج ضرب العدد ٣٠ بعدد أقل من ١ يكون أقل من ٣٠.

٣٠ ÷ $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$ = ٣٠ × $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$ = ٤٠ ناتج قسمة العدد ٣٠ على عدد أقل من ١ يكون أكبر من ٣٠.

إذاً ٣٠ ÷ $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$ اكبر من ٣٠ × $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$

تحد: احسب ذهنياً قيمة كل مما يأتي:

٤٤) $\frac{\mathrm{٤٣}}{\mathrm{٥٩٤}}\times \frac{\mathrm{٦٤١}}{\mathrm{٨٦}}÷\frac{\mathrm{٦٤١}}{\mathrm{٥٩٤}}$

= $\frac{\mathrm{٤٣}}{\mathrm{٨٦}}$

٤٥) $\frac{\mathrm{٧٨٣}}{\mathrm{٢٤١}}\times \frac{\mathrm{٢٤١}}{\mathrm{٧٨٣}}÷\frac{\mathrm{٧٢}}{\mathrm{٥٣}}$

$\frac{\mathrm{٥٣}}{\mathrm{٧٢}}$

٤٦) اكتب: مسألة من واقع الحياة يمكن حلها باستعمال قسمة الكسور الاعتيادية أو الأعداد الكسرية، ثم حلها.

يقوم عامل في مصنع بعمل لافتات للدعاية يستهلك $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٢}$ متر قماش فإذا كان لديه ٤٠ متر من القماش كم لافتة يمكن عملها؟

عدد اللافتات = ٤٠ ÷ $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٢}$

= ٤٠ ÷ $\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٤٠} \times \frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{١١}}=\frac{\mathrm{١٦٠}}{\mathrm{١١}}$ = ١٥ لافتة تقريباً.

٤٧) لصنع كعكة تمر وإحدى تحتاج مها إلى$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ كوب من الطحين، و$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٨}}$كجم من التمر المطحون، إذا استعملت مها $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٢}$ كوب من الطحين، و$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{١}$ كجم من التمر المطحون، فكم كعكة تصنع؟

أ) ٢

ب) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٢}$

جـ) ٣

د) ٤

٤٨) يريد معلم إجراء تجربة في المعمل مع ٢٠ طالباً من طلاب الصف، بحيث ينفذها كل طالب على حدة، إذا كان كل طالب يحتاج إلى $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$ كوب من الخل، وكان لدى المعلم ١٥ كوباً من الخل، فأي العبارات التالية يمكن أن يستعملها المعلم؛ ليحدد ما إذا كانت كمية الخل تكفي الطلاب جميعاً أم لا؟

أ) س = ٢٠ ÷ ١٥

ب) س = ١٥ ÷ $\frac{\mathbf{٣}}{\mathbf{٤}}$

جـ) س = ٢٠ -(١٥)

د) س = ١٥(٢٠)