يملأ صنبور دلواً في ٥ دقائق، ويملأ صنبور آخر الدلو نفسه في ٣ دقائق، اكتب الكسر الذي على الجزء الذي يملأ من الدلو في دقيقة واحدة إذا فتح الصنبوران معاً.

يملأ الدلو من الصنبور الأول في دقيقة واحدة.

يملأ $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ الدلو من الصنبور الثاني في دقيقة واحدة.

إذا فتح الصنبوران معاً = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}+\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٥}}+\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{١٥}}=\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{١٥}}$ من الدلو.

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أوجد ناتج الجمع أو الطرح في أبسط صورة:

١١) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}+(-\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٢}})$

= $\frac{-\mathrm{١٨}}{\mathrm{٤٨}}+\frac{\mathrm{٤٠}}{\mathrm{٤٨}}=\frac{\mathrm{٢٢}}{\mathrm{٤٨}}=\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{٢٤}}$

١٢) $\frac{-\mathrm{٣}}{\mathrm{٨}}+\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$

= $\frac{-\mathrm{١٨}}{\mathrm{٤٨}}+\frac{\mathrm{٤٠}}{\mathrm{٤٨}}=\frac{\mathrm{٢٢}}{\mathrm{٤٨}}=\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{٢٤}}$

١٣) $\frac{-\mathrm{٦}}{\mathrm{٧}}+(-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}})$

= $\frac{-\mathrm{١٢}}{\mathrm{١٤}}-\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٤}}=-\frac{\mathrm{١٩}}{\mathrm{١٤}}=-\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{١٤}}\mathrm{١}$

١٤) $-\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٩}}+(-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٨}})$

= $\frac{-\mathrm{٤٠}}{\mathrm{٧٢}}-\frac{\mathrm{٢٧}}{\mathrm{٧٢}}=-\frac{\mathrm{٦٧}}{\mathrm{٧٢}}$

١٥) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٣}}-\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٨}}$

= $\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٢٤}}-\frac{\mathrm{٢١}}{\mathrm{٢٤}}=-\frac{\mathrm{١٣}}{\mathrm{٢٤}}$

١٦) $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}-(-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٦})$

= $\frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{١٥}}+\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{١٥}}=\frac{\mathrm{١٤}}{\mathrm{١٥}}$

١٧) $\frac{-\mathrm{٧}}{\mathrm{١٥}}-\left(\frac{-\mathrm{١٢}}{\mathrm{٢٥}}\right)$

= $\frac{-\mathrm{٣٥}}{\mathrm{٧٥}}+\frac{\mathrm{٣٦}}{\mathrm{٧٥}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٧٥}}$

١٨) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٣}+(-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٨})$

= $\frac{\mathrm{١٦}}{\mathrm{٥}}-\frac{\mathrm{١٧}}{\mathrm{٢}}$

= $\frac{\mathrm{٣٢}}{\mathrm{١٠}}-\frac{\mathrm{٨٥}}{\mathrm{١٠}}=\frac{-\mathrm{٥٣}}{\mathrm{١٠}}=-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٠}}\mathrm{٥}$

١٩) $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٧}}\mathrm{٨}-(-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٦})$

= $\frac{\mathrm{٥٩}}{\mathrm{٧}}+\frac{\mathrm{١٣}}{\mathrm{٢}}$

= $\frac{\mathrm{١١٨}}{\mathrm{١٤}}+\frac{\mathrm{٩١}}{\mathrm{١٤}}=\frac{\mathrm{٢٠٩}}{\mathrm{١٤}}=\frac{\mathrm{١٣}}{\mathrm{١٤}}\mathrm{١٤}$

٢٠) $-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٨}-\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}\mathrm{٤}$

= $\frac{-\mathrm{٢٥}}{\mathrm{٣}}-\frac{\mathrm{٢٩}}{\mathrm{٦}}$

= $\frac{-\mathrm{٥٠}}{\mathrm{٦}}-\frac{\mathrm{٢٩}}{\mathrm{٦}}=\frac{-\mathrm{٧٩}}{\mathrm{٦}}=-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}\mathrm{١٣}$

٢١) $-\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}\mathrm{١٥}+\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{١١}$

= $\frac{-\mathrm{١٢٥}}{\mathrm{٨}}+\frac{\mathrm{٣٥}}{\mathrm{٣}}$

= $\frac{-\mathrm{٣٧٥}}{\mathrm{٢٤}}+\frac{\mathrm{٢٨٠}}{\mathrm{٢٤}}=\frac{-\mathrm{٩٥}}{\mathrm{٢٤}}=-\frac{\mathrm{٢٣}}{\mathrm{٢٤}}\mathrm{٣}$

٢٢) $-\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٢٢} +\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}\mathrm{١٥}$

= $\frac{-\mathrm{١١٢}}{\mathrm{٥}}+\frac{\mathrm{٩٥}}{\mathrm{٦}}$

= $\frac{-\mathrm{٦٧٢}}{\mathrm{٣٠}}+\frac{\mathrm{٤٧٥}}{\mathrm{٣٠}}=\frac{-\mathrm{١٩٧}}{\mathrm{٣٠}}=-\frac{\mathrm{١٧}}{\mathrm{٣٠}}\mathrm{٦}$

جبر: احسب قيمة كل من العبارتين الآتيتين:

٢٣) جـ - د إذا كان: جـ = $\frac{-\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$، د = $-\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٨}}\mathrm{١٢}$

جـ - د = $\frac{-\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}-\left(\frac{-\mathrm{٧}}{\mathrm{٨}}\mathrm{١٢}\right)=\frac{-\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}+\frac{\mathrm{١٠٣}}{\mathrm{٨}}$

= $\frac{-\mathrm{٦}}{\mathrm{٨}}+\frac{\mathrm{١٠٣}}{\mathrm{٨}}=\frac{\mathrm{٩٧}}{\mathrm{٨}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٨}}\mathrm{١٢}$

٢٤) س - ص إذا كان: س = $\frac{-\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}$، ص = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}\mathrm{٢}$

س - ص = $\frac{-\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}$ - $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}\mathrm{٢}$ = $\frac{-\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}$ - $\frac{\mathrm{١٧}}{\mathrm{٦}}$

= $\frac{-\mathrm{١٥}}{\mathrm{٢٤}}-\frac{\mathrm{٦٨}}{\mathrm{٢٤}}=\frac{-\mathrm{٨٣}}{\mathrm{٢٤}}=-\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{٢٤}}\mathrm{٣}$

قياس: أوجد القياس المجهول في كل شكل مما يأتي:

٢٥)

بما أن المحيط هو مجموع أطوال الأضلاع:

($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٦}+\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٤}+\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٤}$ + س) = $\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{١٢}}\mathrm{١٧}$

($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٦}+\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٨}$ + س) = $\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{١٢}}\mathrm{١٧}$

$\frac{\mathrm{٢٧}}{\mathrm{٤}}+\frac{\mathrm{٢٦}}{\mathrm{٣}}$ + س = $\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{١٢}}\mathrm{١٧}$

$\frac{\mathrm{٨١}}{\mathrm{١٢}}+\frac{\mathrm{١٠٤}}{\mathrm{١٢}}$ + س = $\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{١٢}}\mathrm{١٧}$

س = $\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{١٢}}\mathrm{١٧} -\frac{\mathrm{١٨٥}}{\mathrm{١٢}}=(\frac{\mathrm{٢١٥}}{\mathrm{١٢}}-\frac{\mathrm{١٨٥}}{\mathrm{١٢}})$

س = $\frac{\mathrm{٣٠}}{\mathrm{١٢}}=\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{١٢}}\mathrm{٢}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٢}$

٢٦)

($\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٨}}\mathrm{١١}+\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{١٣}+\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٩}$ + س) = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٤٠}$

$\frac{\mathrm{٩٥}}{\mathrm{٨}}+\frac{\mathrm{٥٣}}{\mathrm{٤}}+\frac{\mathrm{١٩}}{\mathrm{٢}}$ + س = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٤٠}$

$\frac{\mathrm{٩٥}}{\mathrm{٨}}+\frac{\mathrm{١٠٦}}{\mathrm{٨}}+\frac{\mathrm{٧٦}}{\mathrm{٨}}$ + س = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٤٠}$

$\frac{\mathrm{٢٢٧}}{\mathrm{٨}}$ + س = $\frac{\mathrm{١٦٣}}{\mathrm{٤}}$

س = $\frac{\mathrm{٣٢٦}}{\mathrm{٨}}-\frac{\mathrm{٢٢٧}}{\mathrm{٨}}=\frac{\mathrm{٤٩}}{\mathrm{٨}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٨}}\mathrm{٦}$ سم.

٢٧) تصوير: صورتان بعداهما ٦ سم × ٤ سم تمت طباعتهما على ورقة بعداها ١١ سم × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٨}$ سم، ثم قام المصور بقص الجزء الزائد، ما مساحة الجزء الزائد من الورقة؟

• مساحة الورقة = ١١ × ٨,٥ = ٩٣,٥ سم^٢
• مساحة الصورتين = ٢(٦ × ٤) = ٤٨ سم^٢
• مساحة الجزء الزائد من الورقة = ٩٣,٥ - ٤٨ = ٤٥,٥ سم^٢

٢٨) الحس العددي: دون إجراء الحسابات، حدد ما إذا كان $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٧}}+\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٩}}$ أكبر من أو أقل من أو يساوي ١، فسر إجابتك.

الإجابة تكون أكبر من الواحد؛ لأن كلاً من الكسرين أكبر من $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ اي البسط أكبر من نصف قيمة المقام.

٢٩) تحد: يملأ صنبور دلواً في ٥ دقائق، ويملأ صنبور آخر الدلو نفسه في ٣ دقائق، اكتب الكسر الذي على الجزء الذي يملأ من الدلو في دقيقة واحدة إذا فتح الصنبوران معاً.

يملأ الدلو من الصنبور الأول في دقيقة واحدة.

يملأ $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ الدلو من الصنبور الثاني في دقيقة واحدة.

إذا فتح الصنبوران معاً = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}+\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٥}}+\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{١٥}}=\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{١٥}}$ من الدلو.

ألغاز: في الشكل أدناه يمكنك التحرك أفقياً أو رأسياً، على أن تمر على الخلية مرة واحدة، ابدأ بالكسر $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$ من كلمة ((انطلق))، ثم اجمع جميع الأعداد التي تمر عليها لتصل إلى كلمة ((توقف)).

٣٠) ما الممر الذي تسلكه لتحصل في نهايته على العدد الكسري $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٤}$؟

٣١) ما الممر الذي ينتج عنه أكبر مجموع ممكن؟

٣٢) ما الممر الذي ينتج عنه أكبر مجموع ممكن؟

اكتب عبارة عددية لكل من الأسئلة ٣٣ - ٣٥، ثم أوجد الناتج.

٣٣) $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$ الـ $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$ × $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

٣٤) يزيد على $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$ بـ $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$ + $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ = $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{١٢}}+\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{١٢}}=\frac{\mathrm{١٧}}{\mathrm{١٢}}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{١٢}}\mathrm{١}$

٣٥) يقل عن $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ بـ $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$

$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ - $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$ = $\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{١٢}}-\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{١٢}}=-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٢}}$

٣٦) ركب نايف دراجته فقطع مسافة $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٢}$ كلم في الساعة الأولى، و $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٣}$ كلم في الساعة الثانية، و $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$ كلم في الساعة الثالثة، فما مجموع المسافات التي قطعها نايف في الساعات الثلاث؟

اكتب المجموع في أبسط صورة.

أ) $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٥}$ كلم

ب) $\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٢}}\mathrm{٥}$ كلم

جـ) $\frac{\mathbf{٢}}{\mathbf{٣}}\mathbf{٦}$ كلم

د) $\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٢}}\mathrm{٦}$ كلم

٣٧) أي الخطوات التالية توضح تبسيط $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}-\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$، باستعمال المضاعف المشترك الأصغر للمقامين؟

أ) ($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\times \frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٥}}$) - ($\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\times \frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٦}}$)

ب) ($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\times \frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٦}}$) - ($\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\times \frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٥}}$)

جـ) ($\frac{\mathbf{٣}}{\mathbf{٤}}\mathbf{\times }\frac{\mathbf{٣}}{\mathbf{٣}}$) - ($\frac{\mathbf{٢}}{\mathbf{٣}}\mathbf{\times }\frac{\mathbf{٤}}{\mathbf{٤}}$)

د) ($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\times \frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٤}}$) - ($\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\times \frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٣}}$)