أوجد قيمة كل عبارة مما يأتي:

٥ × ^٣٢ × ^٢٧

= ٥ × (٢ × ٢ × ٢) × (٧ × ٧)

= ٥ × ٨ × ٤٩ = ١٩٦٠

^٢٢ × ٧ × ^٤١٠

= (٢ × ٢) × ٧ × (١٠ × ١٠ × ١٠ × ١٠)

= ٤ × ٧ × ١٠٠٠٠

= ٢٨٠٠٠٠

^٣٢ × ٧^-٢

= (٢ ٢ ٢) × ($\frac{\mathrm{١}}{{\mathrm{٧}}^{\mathrm{٢}}}$)

= ٨ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤٩}}=\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٤٩}}$

٥^-٢ × ٢^-٧

$\frac{\mathrm{١}}{{\mathrm{٥}}^{\mathrm{٢}}}\times \frac{\mathrm{١}}{{\mathrm{٢}}^{\mathrm{٧}}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢٥}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٢٨}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣٢٠٠}}$=

٤ × ^٥٢ × ٥^-٣

= ٤ × (٢ × ٢ × ٢ × ٢ × ٢) × $\frac{\mathrm{١}}{{\mathrm{٥}}^{\mathrm{٣}}}$

٣^-٢ × ٥ × ٧^-٣

= ٤ × ٣٢ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٢٥}}=\frac{\mathrm{١٢٨}}{\mathrm{١٢٥}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٢٥}}\mathrm{١}$

$\frac{{\mathrm{٣}}^{\mathrm{٣}} \times {\mathrm{١٠}}^{\mathrm{٢}}}{{\mathrm{٣}}^{\mathrm{٢}} \times {\mathrm{١٠}}^{\mathrm{٤}}}$

= $\frac{\mathrm{٣}}{{\mathrm{١٠}}^{\mathrm{٢}}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٠٠}}$

٣٩) $\frac{{\mathrm{٤}}^{\mathrm{٢}} \times {\mathrm{٣}}^{\mathrm{٥}} \times {\mathrm{٢}}^{\mathrm{٤}}}{{\mathrm{٤}}^{\mathrm{٣}} \times {\mathrm{٣}}^{\mathrm{٥}} \times {\mathrm{٢}}^{\mathrm{٢}}}$

= ١

(٠,٢)^٣ × ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$)^٤

= ($\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{١٠}}$) × ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$)^٤

= $\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{١٠٠٠}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٦}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢٠٠٠}}$

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

اكتب كلاً من العبارات باستعمال الأسس:

١٠) ٨ × ٨ × أ

= ^٢٨ × أ

١١) ٥ × ب × ٣ × ب × ب × ٣

= (ب × ب × ب) × (٣ × ٣) × ٥

= ٥ × ^٢٣ × ب^٣

١٢) م × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$ × ب × م × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$

= ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$) × (م × م) × ب

= ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$)^٢ × م^٢ × ب

١٣) ن × ٢ × ٢ × ن × ص × ن × ص

= (ن × ن × ن) × (ص × ص) × (٢ × ٢)

= ٢ × ص^٢ × ن^٣

١٤) ٢ × ٧ × أ × ٩ × ع × أ × ٧ × ع × ٩ × ع × أ

= (٧ × ٧) × (أ × أ × أ) × (ع × ع × ع) × (٩ × ٩) × ٢

= ٢ × ^٢٧ × ^٢٩ × أ^٣ × ع^٣

١٥) س × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$ × ص × ص × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$ × ٥ × ص × ٥ × س × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$ × ص × ص

= ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$) × (س × س) × (ص × ص × ص × ص × ص) × (٥ × ٥)

= ^٢٥ × ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$)^٣ × س^٢ × ص^٥

أوجد قيمة كل عبارة مما يأتي:

١٦) ^٣٢

= ٢ × ٢ × ٢ = ٨

١٧) ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$)^٤

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٨١}}$

١٨) ^٣٣ × ^٢٤

( ٣ × ٣ × ٣) × (٤ × ٤) = ٢٧ × ١٦ = ٤٣٢

١٩) ٣ × ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}$)^٢

(٣ × ٣) × ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}$ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}$) = ٩ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢٥}}$ = $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٢٥}}$

٢٠) ٥^-٤

= $\frac{\mathrm{١}}{{\mathrm{٥}}^{\mathrm{٤}}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}\times \mathrm{٥}\times \mathrm{٥}\times \mathrm{٥}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦٢٥}}$

٢١) ٩^-٣

$\frac{\mathrm{١}}{{\mathrm{٩}}^{\mathrm{٣}}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٩}\times \mathrm{٩}\times \mathrm{٩}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٧٢٩}}$=

٢٢) ٧^-٢

$\frac{\mathrm{١}}{{\mathrm{٧}}^{\mathrm{٢}}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٧}\times \mathrm{٧}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤٩}}$=

٢٣) ٨^-٤

= $\frac{\mathrm{١}}{{\mathrm{٨}}^{\mathrm{٤}}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٨}\times \mathrm{٨}\times \mathrm{٨}\times \mathrm{٨}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤٠٩٦}}$

جبر: أوجد قيمة كل عبارة مما يأتي:

٢٤) جـ^٥ × هـ إذا كان: جـ = ٢، هـ = ٧

^٥٢ × ٧ = (٢ × ٢ × ٢ × ٢ × ٢) × ٧ = ٢٢٤

٢٥) س^٣ × ص^٤ إذا كان: س = ١، ص = ٣

^٣١ × ^٤٣ = ١ × ٨١ = ٨١

٢٦) أ^٢ × ب^٦ إذا كان: أ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$، ب = ٢

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × (٢ × ٢ × ٢ × ٢ × ٢ × ٢)

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$ × ٦٤ = ١٦

٢٧) ك^٤ × ن إذا كان: ك = ٣، ن = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$

= ^٤٣ × $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$ = (٣ × ٣ × ٣ × ٣) × $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$

= ٨١ × $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$ = $\frac{\mathrm{٤٠٥}}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٦}}\mathrm{٦٧}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٦٧}$

كواكب: استعمل الجدول المجاور في حل الأسئلة ٢٨ - ٣١، ثم اكتب الجواب بالصيغة القياسية.

٢٨) ما بعد الأرض عن الشمس؟

بعد الأرض عن الشمس = ٩,٣ × ^٧١٠ = ٩٣٠٠٠٠٠٠ أميال.

٢٨) ما بعد زحل عن الشمس؟

بعد زحل عن الشمس = ٨,٨٧ × ^٨١٠ = ٨٨٧٠٠٠٠٠٠ أميال.

٣٠) ما بعد نبتون عن الشمس؟

بعد نبتون عن الشمس = ٢,٨ × ^٩١٠ = ٢٨٠٠٠٠٠٠٠٠ أميال.

٣١) ما الفرق بين بعدي نبتون وزحل عن الشمس؟

الفرق بين بعدي نبتون وزحل = ( ٨,٨٧ × ^٨١٠) - ( ٢,٨ × ^٩١٠)

= ١٩١٣٠٠٠٠٠٠ = ١,٩١٣ × ^٩١٠ أميال.

أوجد قيمة كل عبارة مما يأتي:

٣٢) ٥ × ^٣٢ × ^٢٧

= ٥ × (٢ × ٢ × ٢) × (٧ × ٧)

= ٥ × ٨ × ٤٩ = ١٩٦٠

٣٣) ^٢٢ × ٧ × ^٤١٠

= (٢ × ٢) × ٧ × (١٠ × ١٠ × ١٠ × ١٠)

= ٤ × ٧ × ١٠٠٠٠

= ٢٨٠٠٠٠

٣٤) ^٣٢ × ٧^-٢

= (٢ ٢ ٢) × ($\frac{\mathrm{١}}{{\mathrm{٧}}^{\mathrm{٢}}}$)

= ٨ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤٩}}=\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٤٩}}$

٣٥) ٥^-٢ × ٢^-٧

$\frac{\mathrm{١}}{{\mathrm{٥}}^{\mathrm{٢}}}\times \frac{\mathrm{١}}{{\mathrm{٢}}^{\mathrm{٧}}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢٥}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٢٨}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣٢٠٠}}$=

٣٦) ٤ × ^٥٢ × ٥^-٣

= ٤ × (٢ × ٢ × ٢ × ٢ × ٢) × $\frac{\mathrm{١}}{{\mathrm{٥}}^{\mathrm{٣}}}$

٣٧) ٣^-٢ × ٥ × ٧^-٣

= ٤ × ٣٢ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٢٥}}=\frac{\mathrm{١٢٨}}{\mathrm{١٢٥}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٢٥}}\mathrm{١}$

٣٨) $\frac{{\mathrm{٣}}^{\mathrm{٣}} \times {\mathrm{١٠}}^{\mathrm{٢}}}{{\mathrm{٣}}^{\mathrm{٢}} \times {\mathrm{١٠}}^{\mathrm{٤}}}$

= $\frac{\mathrm{٣}}{{\mathrm{١٠}}^{\mathrm{٢}}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٠٠}}$

٣٩) $\frac{{\mathrm{٤}}^{\mathrm{٢}} \times {\mathrm{٣}}^{\mathrm{٥}} \times {\mathrm{٢}}^{\mathrm{٤}}}{{\mathrm{٤}}^{\mathrm{٣}} \times {\mathrm{٣}}^{\mathrm{٥}} \times {\mathrm{٢}}^{\mathrm{٢}}}$

= ١

٤٠) (٠,٢)^٣ × ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$)^٤

= ($\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{١٠}}$) × ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$)^٤

= $\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{١٠٠٠}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٦}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢٠٠٠}}$

٤١) الحس العددي: رتب ٦^-٣، ^٢٦، ^٠٦ من الأصغر إلى الأكبر دون إيجاد القيم، واذكر السبب.

ترتيب القيم هو ^٢٦، ^٠٦، ٦^-٣ لأن الأس السالب يعني كسر، وأي عدد أس صفر يساوي واحد، والأس الموجب أكبر.

٤٢) تحد: أكمل النمط الآتي:

^٤٣ = ٨١، ^٣٣ = ٢٧، ^٢٣ = ٩، ^١٣ = ٣

^٠٣ = ١، ٣^-١ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$، ٣^-٢ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٩}}$، ٣^-٣ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢٧}}$

٤٣) مسألة مفتوحة: اكتب عبارة بأس سالب، قيمتها بين صفر و $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

العدد: ٤^-٢ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٦}}$

٤٤) تحد: اختر عدداً من الكسور الاعتيادية بين العددين صفر و(١)، ثم أوجد قيمة كل كسر منها بعد رفعه إلى القوة (-١)، اشرح العلاقة بين الكسر قبل أن يرفع للقوة (-١) وبعدها.

الكسور: $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}،\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}،\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٧}}$

بعد رفع الكسور للأس - ١ = ٣، $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٢}}،\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٣}}$

الناتج بعد رفعه للقوة - ١ يكون إيجاد مقلوبه.

٤٥) اكتب: فسر الفرق بين العبارتين: (-٤)^٢ و٤^-٢

-^٢٤ تعني سالب ٤ مرفوع للأس ٢

= -٤ × - ٤ = ١٦

ولكن ٤^-٢ = $\frac{\mathrm{١}}{{\mathrm{٤}}^{\mathrm{٢}}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٦}}$

٤٦) لإيجاد حجم المكعب ((نجد ناتج ضرب الطول في العرض في الارتفاع)).

ما حجم المكعب أعلاه باستعمال الأسس؟

أ) ^٢٦

ب) ^٣٦

جـ) ^٤٦

د) ^٦٦

٤٧) أي العبارات التالية تكافئ ^٣٢ × ^٤٣؟

أ) ٢ × ٢ × ٢ × ٣ × ٣ × ٣ × ٣

ب) ٢ × ٢ × ٢ × ٣ × ٣ × ٣

جـ) ٣ × ٣ × ٤ × ٤ × ٤

د) ٦ × ١٢

٤٨) ($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$)^٣

أ) $\frac{\mathbf{٩}}{\mathbf{١٢}}$

ب) $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{١٦}}$

جـ) $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٦٤}}$

د) $\frac{\mathrm{٢٧}}{\mathrm{٦٤}}$