للسؤالين ١١، ١٢ استعمل الجدول المجاور الذي يبين أجور البريد على رسائل ذات كتل مختلفة:

هل تتناسب أجرة البريد مع كتلة الرسالة؟ وضح إجابتك.

من خلال الجدول نكتب العلاقة بين أجرة البريد ووزن الرسالة:

$\frac{\mathrm{الوزن}}{\mathrm{الأجرة}}=\frac{\mathrm{٣٠}}{\mathrm{٤},\mathrm{١}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٧}} \mathrm{٢١}$، $\frac{\mathrm{٦٠}}{\mathrm{٥},\mathrm{٢}}$= ٢٤، $\frac{\mathrm{٩٠}}{\mathrm{٢},\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٨}} \mathrm{٢٨}$، $\frac{\mathrm{١٢٠}}{\mathrm{٥},\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}} \mathrm{٢٦}$

هل يمكنك إيجاد أجرة إرسال رسالة كتلتها ١٥٠ جراماً؟ اشرح.

لا، لأن أجرة البريد لا تتناسب مع وزن الرسالة فلا يمكننا حساب أجرة إرسال رسالة وزنها ١٥٠ جراماً بالاعتماد على التناسب.

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

٥) نباتات: ينمو أحد نبات الكرمة - وهو نبات متسلق - بمعدل ٧,٥ أقدام كل ٥ أيام، هل يتناسب عدد الأيام مع طول النبات عند قياسه في اليوم الأخير؟ وضح إجابتك.

نكتب العلاقة بين عدد الأيام وطول النبات:

$\frac{\mathrm{طول} \mathrm{البنات}}{\mathrm{عدد} \mathrm{الأيام}}\leftarrow \frac{\mathrm{٥},\mathrm{٧}}{\mathrm{٥}}$ = ١,٥

$\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{١٠}}$ = ١,٥

$\frac{\mathrm{٥},\mathrm{٢٢}}{\mathrm{١٥}}$ = ١,٥

$\frac{\mathrm{٣٠}}{\mathrm{٢٠}}$ = ١,٥

نلاحظ أن جميع النسب السابقة يمكن تبسيطها إلى ١,٥ لذا: يتناسب عدد الأيام مع طول النبات عند قياسه في اليوم الآخر.

٦) درجة الحرارة: للتحويل من درجة حرارة السيليزية إلى درجة فهرنهايت تضرب الدرجة السيليزية في $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٥}}$، ويضاف إليها ٣٢°، هل تتناسب درجة الحرارة السيليزية مع درجة الحرارة الفهرنهايتية المكافئة لها؟ وضح إجابتك.

نرسم جدولاً يوضح درجات الحرارة بالسيليسيوس ومقابلاتها بالفهرنهايت حسب المعادلة السابقة:

نكتب العلاقة بين الدرجة السيليزية والدرجة الفهرنهايتية:

$\frac{\mathrm{الدرجة} \mathrm{السيليزية}}{\mathrm{الدرجة} \mathrm{الفهرنهايتية}}\leftarrow \frac{\mathrm{٠}}{\mathrm{٣٢}}$ = ٠، $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٤١}}،\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٥٠}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}،\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{٥٩}}$

نلاحظ أن أبسط صورة للنسب السابقة غير متساوية لذا: لا تتناسب درجة الحرارة السيليزية مع درجة الحرارة الفهرنهايتية المكافئة لها.

إعلان: بمناسبة الافتتاح وزع أحد المطاعم ٤١٦ بطاقة لتناول وجبة مجانية يوم الاثنين، وفي اليوم التالي وزع ٥٢ بطاقة في الساعة، استعمل المعلومات السابقة لحل السؤالين ٧، ٨:

٧) هل يتناسب عدد البطاقات الموزعة يوم الثلاثاء مع عدد ساعات العمل في ذلك اليوم؟

نرسم جدولاً يوضح عدد البطاقات التي تم توزيعها خلال ٤ ساعات عمل يوم الثلاثاء:

نكتب العلاقة بين عدد البطاقات الموزعة يوم الثلاثاء وعدد ساعات العمل:

$\frac{\mathrm{عدد} \mathrm{البطاقات} \mathrm{الموزعة}}{\mathrm{عدد} \mathrm{ساعات} \mathrm{العمل}}\leftarrow \frac{\mathrm{٥٢}}{\mathrm{١}}$ = ٥٢

$\frac{\mathrm{١٠٤}}{\mathrm{٢}}$ = ٥٢

$\frac{\mathrm{١٥٦}}{\mathrm{٣}}$ = ٥٢

$\frac{\mathrm{٢٠٨}}{\mathrm{٤}}$ = ٥٢

نلاحظ أن جميع النسب السابقة يمكن تبسيطها إلى ٥٢ لذا: يتناسب عدد البطاقات الموزعة يوم الثلاثاء مع عدد ساعات العمل في ذلك اليوم.

٨) هل يتناسب العدد الكلي للبطاقات الموزعة يومي الاثنين والثلاثاء مع عدد ساعات العمل يوم الثلاثاء؟

نرسم جدولاً يوضح عدد البطاقات الموزعة يومي الاثنين والثلاثاء وعدد ساعات العمل يوم الثلاثاء:

نكتب العلاقة بين عدد البطاقات الموزعة يومي الاثنين والثلاثاء وعدد ساعات العمل يوم الثلاثاء:

$\frac{\mathrm{عدد} \mathrm{البطاقات} \mathrm{الموزعة}}{\mathrm{عدد} \mathrm{ساعات} \mathrm{العمل}}\leftarrow \frac{\mathrm{٤٦٨}}{\mathrm{١}}$ = ٤٦٨، $\frac{\mathrm{٥٢٠}}{\mathrm{٢}}$ = ٢٦٠، $\frac{\mathrm{٥٧٢}}{\mathrm{٣}}$ = ١٩٠,٦٦، $\frac{\mathrm{٦٢٤}}{\mathrm{٤}}$ = ١٥٦

نلاحظ أن أبسط صورة للنسب السابقة غير متساوية لذا: لا يتناسب عدد البطاقات الموزعة يومي الإثنين والثلاثاء مع عدد ساعات العمل يوم الثلاثاء.

قياس: لسؤالين ٩، ١٠ بين ما إذا كانت القياسات الآتية للشكل المجاور متناسبة أم لا.

٩) طول الضلع وطول المحيط.

نرسم جدولاً يوضح العلاقة بين طول الضلع وطول المحيط:

نكتب العلاقة بين طول الضلع وطول المحيط:

$\frac{\mathrm{طول} \mathrm{المحيط}}{\mathrm{طول} \mathrm{الضلع}}\leftarrow \frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{١}}$ = ٤، $\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٢}}$ = ٤، $\frac{\mathrm{١٣}}{\mathrm{٣}}$ = ٤، $\frac{\mathrm{١٦}}{\mathrm{٤}}$ = ٤

نلاحظ أن جميع النسب السابقة يمكن تبسيطها إلى ٤ لذا: يتناسب طول الضلع مع طول المحيط.

١٠) طول ا لضلع والمساحة.

نرسم جدولاً يوضح العلاقة بين طول الضلع وطول المحيط:

نكتب العلاقة بين طول الضلع والمساحة:

$\frac{\mathrm{المساحة}}{\mathrm{طول} \mathrm{الضلع}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١}}$ = ١، $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٢}}$ = ٢، $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٣}}$ = ٣، $\frac{\mathrm{١٦}}{\mathrm{٤}}$ = ٤

نلاحظ أن أبسط صورة للنسب السابقة غير متساوية لذا: لا يتناسب طول الضلع مع المساحة.

بريد: للسؤالين ١١، ١٢ استعمل الجدول المجاور الذي يبين أجور البريد على رسائل ذات كتل مختلفة:

١١) هل تتناسب أجرة البريد مع كتلة الرسالة؟ وضح إجابتك.

من خلال الجدول نكتب العلاقة بين أجرة البريد ووزن الرسالة:

$\frac{\mathrm{الوزن}}{\mathrm{الأجرة}}=\frac{\mathrm{٣٠}}{\mathrm{٤},\mathrm{١}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٧}} \mathrm{٢١}$، $\frac{\mathrm{٦٠}}{\mathrm{٥},\mathrm{٢}}$= ٢٤، $\frac{\mathrm{٩٠}}{\mathrm{٢},\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٨}} \mathrm{٢٨}$، $\frac{\mathrm{١٢٠}}{\mathrm{٥},\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}} \mathrm{٢٦}$

١٢) هل يمكنك إيجاد أجرة إرسال رسالة كتلتها ١٥٠ جراماً؟ اشرح.

لا، لأن أجرة البريد لا تتناسب مع وزن الرسالة فلا يمكننا حساب أجرة إرسال رسالة وزنها ١٥٠ جراماً بالاعتماد على التناسب.

١٣) مسألة مفتوحة: أعط مثالاً واحداً لعلاقة متناسبة، ومثالاً آخر لعلاقة غير متناسبة، وتحقق من المثالين.

مثال لعلاقة متناسبة: يعمل أحمد في متجر للحلويات ويتقاضى ٣ ريال في الساعة هل تتناسب أجرة أحمد في الساعة مع عدد الساعات؟

التحقق: نرسم جدولاً يوضح العلاقة بين أجرة أحمد في الساعة وعدد ساعات العمل:

نكتب العلاقة بين الأجرة وعدد ساعات العمل:

$\frac{\mathrm{الأجرة}}{\mathrm{عدد} \mathrm{ساعات} \mathrm{العمل}}\leftarrow \frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١}}$ = ٣، $\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٣}}$ = ٣، $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٣}}$ = ٣، $\frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{٤}}$ = ٣

نلاحظ أن جميع النسب السابقة يمكن تبسيطها إلى ٣ لذا: تتناسب أجرة أحمد في الساعة مع عدد ساعات العمل.

مثال لعلاقة متناسبة: مع سعيد ٢٠٠ ريال ويدخر كل يوم ٣٠ ريالاً هل يتناسب المبلغ الكلي الذي مع سعيد مع عدد الأيام الادخار؟

التحقق: نرسم جدولاً يوضح العلاقة بين المبلغ الكلي الذي مع سعيد خلال ٤ أيام من الادخار:

نكتب العلاقة بين المبلغ الكلي وعدد الأيام:

$\frac{\mathrm{المبلغ} \mathrm{الكلي}}{\mathrm{عدد} \mathrm{الأيام}}\leftarrow \frac{\mathrm{٢٣٠}}{\mathrm{١}}$ = ٢٣٠، $\frac{\mathrm{٢٦٠}}{\mathrm{٢}}$ = ١٣٠،$\frac{\mathrm{٢٩٠}}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}} \mathrm{٩٦}$، $\frac{\mathrm{٣٢٠}}{\mathrm{٤}}$ = ٨٠.

نلاحظ أن أبسط صورة للنسب السابقة غير متساوية لذا: لا يتناسب المبلغ الكلي الذي مع سعيد مع عدد أيام الادخار.

١٤) تحد: بلغ عمر خالد خلال هذا الشهر ١٠ سنوات، وعمر أخيه أنس ٥ سنوات، وقد لاحظ خالد أن عمره يعادل مثلي عمر أخيه، فهل العلاقة بين عمريهما متناسبة؟ وضح إجابتك مستعيناً بجدول للقيم.

نرسم جدولاً يوضح العلاقة بين عمر خالد وعمر أخيه أنس:

نكتب العلاقة بين عمر خالد وعمر أنس:

$\frac{\mathrm{عمر} \mathrm{خالد}}{\mathrm{عمر} \mathrm{أنس}}=\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٥}}$ = ٢، $\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{١٠}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}،\frac{\mathrm{٢٠}}{\mathrm{١٥}}=\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}،\frac{\mathrm{٢٥}}{\mathrm{٢٠}}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٤}}$

نلاحظ أن أبسط صورة للنسب السابقة غير متساوية لذا: لا تتناسب عمر خالد مع عمر أنس.

١٥) اكتب: مع مهند ٢٠٠ ريال، ويريد شراء الألعاب إلكترونية بسعر ٢٠ ريالاً للعبة الواحدة، ويدعي أن المبلغ الذي يتبقى معه بعد شراء الألعاب يتناسب مع عدد الألعاب التي يشتريها؛ لأن سعر اللعبة ثابت، هل ادعاؤه صحيح؟ إذا كان ما يقوله خطأ، فاذكر كميتين متناسبتين في هذا الموقف.

نرسم جدولاً يوضح العلاقة بين المبلغ المتبقي مع مهند وعدد الألعاب الإلكترونية التي اشتراها:

نكتب العلاقة بين المبلغ الكلي وعدد الأيام:

$\frac{\mathrm{المبلغ} \mathrm{المتبقي}}{\mathrm{عدد} \mathrm{الألعاب}}\leftarrow \frac{\mathrm{١٨٠}}{\mathrm{١}}$ = ١٨٠، $\frac{\mathrm{١٦٠}}{\mathrm{٢}}$ = ٨٠، $\frac{\mathrm{١٤٠}}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٤٦}$، $\frac{\mathrm{١٢٠}}{\mathrm{٤}}$ = ٣٠

نلاحظ أن أبسط صورة للنسب السابقة غير متساوية لذا: لا يتناسب المبلغ المتبقي بعد شراء الألعاب مع عدد الألعاب التي اشتراها مهند لذا فادعاءه مهند خاطئ.

الكميتان المتناسبتان في هذا الموقف هما المبلغ الذي دفعه مهند لشراء الألعاب الإلكترونية وعدد الألعاب الإلكترونية التي اشتراها مهند.

التحقق: نرسم جدولاً يوضح العلاقة بين المبلغ الذي دفعه مهند لشراء الألعاب الإلكترونية وعدد الألعاب التنس اشتراها:

نكتب العلاقة بين ثمن الألعاب وعددها:

$\frac{\mathrm{ثمن} \mathrm{الألعاب}}{\mathrm{عددها}}\leftarrow \frac{\mathrm{٢٠}}{\mathrm{١}}$ = ٢٠، $\frac{\mathrm{٤٠}}{\mathrm{٢}}$ = ٢٠، $\frac{\mathrm{٦٠}}{\mathrm{٣}}$ = ٢٠، $\frac{\mathrm{٨٠}}{\mathrm{٤}}$ = ٢٠

نلاحظ أن جميع النسب السابقة يمكن تبسيطها إلى ٢٠ لذا: يتناسب الذي دفعه مهند لشراء الألعاب الإلكترونية مع عدد الألعاب التي اشتراها.

١٦) قارن سعيد أسعار قطع الحلوى التي يشتريها من أربعة متاجر مختلفة، أي المتاجر كان سعر القطعة الواحدة فيها ثابتاً، مهما كان عدد القطع المشتراة؟