للسؤالين ١٤، ١٥ استعمل المعلومات الآتية:

أنتج مصنع للبلاستيك ٩٣٨,٩ مليون عبوة عام ١٤٢٣هـ، وفي عام ١٤٢٨هـ كان إنتاجه ٧٦٧ مليون عبوة.

ما معدل التغير بين عامي ١٤٢٣هـ و١٤٢٨هـ؟

معدل التغير بين عامي ١٤٢٣ و١٤٢٨ = $\frac{\mathrm{٧٦٧} - \mathrm{٩}, \mathrm{٩٣٨} \mathrm{مليون} \mathrm{عبوة}}{\mathrm{١٤٢٨} - \mathrm{١٤٢٣} \mathrm{سنة}}=\frac{-\mathrm{٩}, \mathrm{١٧١} \mathrm{مليون} \mathrm{عبوة}}{\mathrm{٥} \mathrm{سنة}}$ = - ٣٤,٣٨ مليون عبوة / سنة.

بما أن المعدل سالب أي انخفض انتاج مصنع البلاستيك بمعدل ٣٤٣٠٠٠٠ عبوة كل سنة بين عامي ١٤٢٣ و١٤٢٨هـ.

مستعملاً معدل التغير نفسه، كم عبوة ينتجها المصنع عام ١٤٣٦هـ؟ وضح إجابتك.

معدل التغير السنوي = - ٣٤,٣٨ مليون عبوة / سنة. بين عامي ١٤٢٨ و١٤٣٦ يوجد ٨ سنوات.

عدد العبوات المنتجة عام ١٤٣٦ = عدد العبوات المنتجة عام ١٤٢٨ + (معدل التغير السنوي × عدد السنوات) = ٧٦٧ + (-٣٤,٣٨ × ٨) = ٧٦٧ + (-٢٧٥,٠٤) = ٤٩١,٩٦ مليون عبوة سينتجها المصنع عام ١٤٣٦.

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أجهزة: للأسئلة ٤ - ٦ استعمل المعلومات الواردة في الجدول المجاور الذي يبين عدد الأجهزة في أحد المتاجر خلال أوقات مختلفة.

٤) أوجد معدل التغير في عدد الأجهزة المبيعة لكل نصف ساعة بين الوقتين ١٠:٣٠، ١١:٠٠.

معدل التغير في عدد الأجهزة المبيعة كل نصف ساعة = $\frac{\mathrm{مقدار} \mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{عدد} \mathrm{الأجهزة} \mathrm{المبيعة}}{\mathrm{الوقت} \mathrm{مقداراً} \mathrm{بالنصف} \mathrm{ساعة}}=\frac{\mathrm{١٠} - \mathrm{٢}}{\mathrm{٠٠} : \mathrm{١١} - \mathrm{٣٠} : \mathrm{١٠}}=\frac{\mathrm{٨} \mathrm{جهاز}}{\mathrm{٣٠} \mathrm{دقيقة}}$ = $\frac{\mathrm{٨} \mathrm{جهاز}}{\mathrm{١} [\mathrm{نصف} \mathrm{ساعة}]}$ = ٨ جهاز/ نصف ساعة.

بما أن المعدل موجب: أي زاد عدد الأجهزة المبيعة بمعدل ٨ جهاز كل نصف ساعة.

٥) أوجد معدل التغير في عدد الأجهزة المبيعة لكل نصف ساعة بين الوقتين ١١:٠٠، ١١:٣٠.

معدل التغير في عدد الأجهزة المبيعة كل نصف ساعة = $\frac{\mathrm{مقدار} \mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{عدد} \mathrm{الأجهزة} \mathrm{المبيعة}}{\mathrm{الوقت} \mathrm{مقداراً} \mathrm{بالنصف} \mathrm{ساعة}}=\frac{\mathrm{١٠} - \mathrm{١٠}}{\mathrm{٣٠} : \mathrm{١١} - \mathrm{٠٠} : \mathrm{١١}}=\frac{\mathrm{٠} \mathrm{جهاز}}{\mathrm{٣٠} \mathrm{دقيقة}}$ = $\frac{\mathrm{٠} \mathrm{جهاز}}{\mathrm{١}\mathrm{نصف} \mathrm{ساعة}}$ = ٠ جهاز / نصف ساعة.

بما أن المعدل = ٠ اي لم تحدث أي زيادة أو نقصان في عدد الأجهزة المبيعة خلال نصف ساعة (بمعنى بقي عدد الأجهزة المبيعة نفسه ولم يتغير).

٦) مثل المعلومات الواردة في الجدول بيانياً، ثم اذكر بين أي وقتين كان معدل التغير أكبر؟ وضح إجابتك.

على الرسم البياني الخط الأكثر ميلاناً هو الذي يعبر عن أكبر معدل تغير لذا أكبر معدل تغير في عدد الأجهزة المبيعة كان من الساعة ١٠:٣٠ إلى الساعة ١٠:٠٠

كما نجد حسابياً:

$\left|\mathrm{معدل} \mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{عدد} \mathrm{الأجهزة} \mathrm{المبيعة} \mathrm{من} \mathrm{الساعة} \mathrm{٣٠} : \mathrm{١٠} \mathrm{إلى} \mathrm{الساعة} \mathrm{٠٠} : \mathrm{١١}\right|$ - $\left|\mathrm{١٠} - \mathrm{٢}\right|$ = ٨ أجهزة.

ولو تحققنا بنفس الطريقة من معدل التغير في عدد الأجهزة المبيعة كل نصف ساعة نجد أن أكبر معدل تغير كان من الساعة ١٠:٣٠ إلى الساعة ١٠:٠٠ (نحسبه بالقيمة المطلقة لنتمكن من المقارنة لأن الإشارة تعبر عن الانخفاض أو الارتفاع فقط).

تلفاز: للأسئلة ٧ - ٩ استعمل المعلومات الواردة في التمثيل البياني، والذي يمثل عدد مشاهدي أحد البرامج الوثائقية خلال ستة أشهر.

٧) أوجد معدل التغير في عدد المشاهدين بين الشهرين ١ و٣.

معدل التغير في عدد المشاهدين = $\frac{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{عدد} \mathrm{المشاهدين}}{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{عدد} \mathrm{الأشهر}}=\frac{\mathrm{٠},\mathrm{٢٥} - \mathrm{٧},\mathrm{٣١}}{\mathrm{٣} - \mathrm{١}}=\frac{- \mathrm{٧},\mathrm{٦} \mathrm{ألف} \mathrm{مشاهد}}{\mathrm{٢}\mathrm{شهر}}$ = -٣,٣٥ ألف مشاهد / شهر = - ٣,٣٥ × ١٠٠٠ = - ٣٣٥٠ مشاهد/ شهر.

بما أن المعدل سالب أي نقص عدد المشاهدين للبرنامج بمعدل ٣٣٥٠ مشاه بالشهر بين شهري ١ و٣.

٨) أوجد معدل التغير في عدد المشاهدين بين الشهرين ٢ و٦.

معدل التغير في عدد المشاهدين = $\frac{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{عدد} \mathrm{المشاهدين}}{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{عدد} \mathrm{الأشهر}}=\frac{\mathrm{١},\mathrm{٢٢}- \mathrm{٣},\mathrm{٢٦} \mathrm{ألف} \mathrm{مشاهد}}{\mathrm{٦} - \mathrm{٢} \mathrm{شهر}}=\frac{- \mathrm{٢},\mathrm{٤} \mathrm{ألف} \mathrm{مشاهد}}{\mathrm{٤} \mathrm{شهر}}$= - ١,٠٥ ألف مشاهد / شهر = - ١,٠٥ × ١٠٠٠ = - ١٠٥٠ مشاهد/شهر

بما أن المعدل سالب أي نقص عدد المشاهدين للبرنامج بمعدل ١٠٥٠ مشاهد بالشهر بين شهري ٢ و٦.

٩) اذكر بين أي شهرين كان معدل التغير في عدد المشاهدين أكبر؟

على الرسم البياني الخط الأكثر ميلاناً هو الذي يعبر عن أكبر معدل تغير لذا أكبر معدل تغير في عدد المشاهدين كان بين الشهرين الأول والثاني.

كما نجد حسابياً:

$\left|\mathrm{معدل} \mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{عدد} \mathrm{المشاهدين} \mathrm{بين} \mathrm{الشهرين} \mathrm{الأول} \mathrm{والثاني}\right| = \left|\frac{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{عدد} \mathrm{المشاهدين}}{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{عدد} \mathrm{الأشهر}}\right|$= $\left|\frac{\mathrm{٧},\mathrm{٣١} - \mathrm{٣},\mathrm{٢٦} \mathrm{ألف} \mathrm{مشاهدة}}{\mathrm{٢} -\mathrm{١} \mathrm{شهر}}\right| = \left|\frac{- \mathrm{٥},\mathrm{٤} \mathrm{ألف} \mathrm{مشاهد}}{\mathrm{١} \mathrm{شهر}}\right|$ = ٥,٤ ألف مشاهد / شهر = ٥,٤ × ١٠٠٠ = ٥٤٠٠ مشاهد / شهر

ولو تحققنا بنفس الطريقة من معدل التغير في عدد المشاهدين بين كل شهرين متتاليين نجد أن أكبر معدل تغير كان بين الشهرين الأول والثاني (نحسبه بالقيمة المطلقة لنتمكن من المقارنة لأن الإشارة تعبر عن الانخفاض أو الارتفاع فقط).

مياه: للأسئلة ١٠ - ١٢، استعمل التمثيل البياني المجاور.

١٠) أوجد معدل التغير في عدد المشتركين بين عامي ١٤٢٥هـ و١٤٢٧هـ.

معدل التغير = $\frac{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{عدد} \mathrm{المشتركين}}{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{عدد} \mathrm{السنوات}}=\frac{\mathrm{٣١٧} - \mathrm{٢٩٧} \mathrm{ألف} \mathrm{مشترك}}{\mathrm{١٤٢٧} - \mathrm{١٤٢٥} \mathrm{سنة}}=\frac{\mathrm{٢٠} \mathrm{ألف} \mathrm{مشترك}}{\mathrm{٢}\mathrm{سنة}}$ = ١٠ ألاف مشترك/ سنة.

بما أن المعدل موجب أي زاد عدد المشتركين بمعدل ١٠ ألاف مشترك كل سنة بين عامي ١٤٢٥ و١٤٢٧ هـ.

١١) أوجد معدل التغير في عدد المشتركين بين عامي ١٤٢٦هـ و١٤٢٨هـ.

معدل التغير = $\frac{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{عدد} \mathrm{المشتركين}}{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{عدد} \mathrm{السنوات}}=\frac{\mathrm{٣٢٧} - \mathrm{٣٠٦} \mathrm{ألف} \mathrm{مشترك}}{\mathrm{١٤٢٨} - \mathrm{١٤٢٦} \mathrm{سنة}}=\frac{\mathrm{٢١} \mathrm{ألف} \mathrm{مشترك}}{\mathrm{٢} \mathrm{سنة}}$ = ١٠,٥ ألاف مشترك / سنة = ١٠٥٠٠ مشترك / سنة.

بما أن المعدل موجب أي زاد عدد المشتركين بمعدل ١٠٥٠٠ مشترك كل سنة بين عامي ١٤٢٦ و١٤٢٨ هـ.

١٢) بين أي عامين كان معدل التغير في عدد المشتركين أكبر؟

• معدل التغير بين ١٤٢٥ و١٤٢٦ = $\frac{\mathrm{٣٠٦} - \mathrm{٢٩٧} \mathrm{ألف} \mathrm{مشترك}}{\mathrm{١٤٢٦} - \mathrm{١٤٢٥} \mathrm{سنة}}$= ٩٠٠٠ مشترك / سنة
• معدل التغير بين ١٤٢٦ و١٤٢٧ = $\frac{\mathrm{٣١٧} - \mathrm{٣٠٦} \mathrm{ألف} \mathrm{مشترك} }{\mathrm{١٤٢٧} - \mathrm{١٤٢٦} \mathrm{سنة}}$ = ١١٠٠٠ مشترك / سنة
• معدل التغير بين ١٤٢٧ و١٤٢٨ = $\frac{\mathrm{٣٢٧} - \mathrm{٣١٧} \mathrm{ألف} \mathrm{مشترك}}{\mathrm{١٤٢٨} - \mathrm{١٤٢٧} \mathrm{سنة}}$ = ١٠٠٠٠ سنة / سنة
• معدل التغير بين ١٤٢٨ و١٤٢٩ = $\frac{\mathrm{٣٣٨} - \mathrm{٣٢٧} \mathrm{ألف} \mathrm{مشترك}}{\mathrm{١٤٢٩} - \mathrm{١٤٢٨} \mathrm{سنة}}$ = ١١٠٠٠ مشترك/ سنة.

أكبر معدل تغير في عدد المشتركين كان بين عامي ١٤٢٦ و١٤٢٧ وكذلك بين عامي ١٤٢٨ و١٤٢٩ ويعادل ١١٠٠٠ مشترك / سنة.

١٣) درجات حرارة: في أحد أيام الصيف، بلغت درجة الحرارة الساعة الثامنة صباحاً ٢٥°س، أوجد معدل تغير درجة الحرارة بالدرجات لكل ساعة.

معدل التغير = $\frac{\mathrm{٣٧} - \mathrm{٢٥} \mathrm{درجة} \mathrm{سييزيوس}}{\mathrm{٠٠} : \mathrm{١٠} - \mathrm{٠٠} : \mathrm{٨} \mathrm{ساعة}}=\frac{\mathrm{١٢} \mathrm{درجة} \mathrm{سيليزيوس}}{\mathrm{٢} \mathrm{ساعة}}$ = ٦ درجة سيليزيوس

بما أن المعدل موجب أي ارتفعت درجة الحرارة بمعدل ٦ درجة سيليزيوس كل ساعة بين ٨ والـ ١٠ صباحاً.

مبيعات: للسؤالين ١٤، ١٥ استعمل المعلومات الآتية:

أنتج مصنع للبلاستيك ٩٣٨,٩ مليون عبوة عام ١٤٢٣هـ، وفي عام ١٤٢٨هـ كان إنتاجه ٧٦٧ مليون عبوة.

١٤) ما معدل التغير بين عامي ١٤٢٣هـ و١٤٢٨هـ؟

معدل التغير بين عامي ١٤٢٣ و١٤٢٨ = $\frac{\mathrm{٧٦٧} - \mathrm{٩}, \mathrm{٩٣٨} \mathrm{مليون} \mathrm{عبوة}}{\mathrm{١٤٢٨} - \mathrm{١٤٢٣} \mathrm{سنة}}=\frac{-\mathrm{٩}, \mathrm{١٧١} \mathrm{مليون} \mathrm{عبوة}}{\mathrm{٥} \mathrm{سنة}}$ = - ٣٤,٣٨ مليون عبوة / سنة.

بما أن المعدل سالب أي انخفض انتاج مصنع البلاستيك بمعدل ٣٤٣٠٠٠٠ عبوة كل سنة بين عامي ١٤٢٣ و١٤٢٨هـ.

١٥) مستعملاً معدل التغير نفسه، كم عبوة ينتجها المصنع عام ١٤٣٦هـ؟ وضح إجابتك.

معدل التغير السنوي = - ٣٤,٣٨ مليون عبوة / سنة. بين عامي ١٤٢٨ و١٤٣٦ يوجد ٨ سنوات.

عدد العبوات المنتجة عام ١٤٣٦ = عدد العبوات المنتجة عام ١٤٢٨ + (معدل التغير السنوي × عدد السنوات) = ٧٦٧ + (-٣٤,٣٨ × ٨) = ٧٦٧ + (-٢٧٥,٠٤) = ٤٩١,٩٦ مليون عبوة سينتجها المصنع عام ١٤٣٦.

١٦) مسألة مفتوحة: أنشئ مجموعة من البيانات حول أسعار بعض الأنواع الأدوات الكهربائية، بحيث يكون معدل التغير فيها بمقدار ٥ ريالات لكل جهاز خلال ٤ ايام.

١٧) الحس العددي: هل معدل التغير في طول الشمعة التي تحترق بمرور الزمن موجب أم سالب؟ وضح إجابتك.

سالب لأن طولها يتناقص مع مرور الزمن.

١٨) تحد: سكبت كمية من السائل بمعدل ثابت في دورق مخبري مشابه للشكل المجاور، مثل بيانياً العلاقة بين مستوى السائل في الدورق والزمن.

نتيجة شكل الدورق سترتفع سوية الماء عن قعر الدورق بشكل متزايد رغم ثبات كمية السائل المسكوب كل مرة:

1. في أول مرة سكب سيرتفع الماء مثلاً عن قعر الدورق بمقدار ١ سم.
2. في المرة الثانية ستصبح ٢,٥ سم عن قعر الدورق (أي زيادة بمقدار ١,٥ سم وليس ١ سم كالمرة الأولى).
3. في المرة الثالثة سيصبح ٥ سم عن قعر الدورق (أي زيادة بمقدار ٢,٥ سم وليس ١,٥ سم مثل المرة الثانية).

لذا سيكون شكل الرسم البياني الممثل للعلاقة بين مستوى الماء والدورق والزمن يشبه الشكل التالي:

١٩) اكتب: وضح الفرق بين معدل التغير لمجموعة من القيم، ومقدار التغير بين هذه القيم.

• معدل التغير: هو معدل يصف كيف ما في علاقتها بكمية أخرى.
• أما مقدار التغير: فهو يصف التغير في كمية معينة مفردها وليس لها علاقة بكميات أخرى.

٢٠) يبين التمثيل البياني التالي الارتفاع الذي يصله طائر الصقر خلال مدة زمنية.

بين أي نقطتين على التمثيل كان معدل التغير في ارتفاع الصقر سالباً؟

أ) م وب

ب) ب وجـ

جـ) جـ ود

د) د وهـ

٢١) يكسب عامل ٥٢ ريالاً إذا عمل ٤ ساعات في اليوم، إذا استمر بهذا المعدل من الكسب، فكم ساعة يحتاج لكسب ٩٧٥ ريالاً؟

أ) ٢٤٣,٧٥ ساعة.

ب) ٧٥ ساعة.

جـ) ١٨,٧٥ ساعة.

د) ١٣ ساعة.

٢٢) قاد نايف دراجته بسرعة متوسطة ١٦ كلم/ساعة لمدة ساعتين، ثم قادها بسرعة متوسطة ١٣ كلم/ساعة لمدة ثلاث ساعات، ما إجمالي المسافة التي قطعها نايف؟

أ) ٢٩ كلم.

ب) ٣٤ كلم.

جـ) ٥٨ كلم.

د) ٧١ كلم.

• المسافة = السرعة × الزمن.
• المسافة ١ = ١٦ × ٢ = ٣٢ كلم.
• المسافة ٢ = ١٣ × ٣ = ٣٩ كلم.

المسافة الكلية = المسافة ١ + المسافة ٢ = ٣٢ + ٣٩ = ٧١ كلم.