يبلغ ارتفاع لعبة العجلة في مدينة الألعاب ٣٠ م، وطول ظلها في وقت ما ١٠م، استعمل استراتيجية "الرسم" لحل المسألة، واكتب تناسباً وحله لإيجاد طول رجل بلغ طول ظله في الوقت نفسه $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ م.

بما أن المثلثين متشابهان $\leftarrow$ أضلاعهما المتقابلة متناسبة.

$\frac{\mathrm{ارتفاع} \mathrm{لعبة} \mathrm{العجلة}}{\mathrm{طول} \mathrm{الشخص}}=\frac{\mathrm{طول} \mathrm{ظل} \mathrm{لعبة} \mathrm{العجلة}}{\mathrm{طول} \mathrm{ظل} \mathrm{الشخص}}\leftarrow \frac{\mathrm{٣٠}}{س}=\frac{\mathrm{١٠}}{{\displaystyle \frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}}}\leftarrow$ ١٠س = ٣٠ × $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ $\leftarrow$ ١٠س = ٢٠ $\leftarrow$ س = ٢م.

$\leftarrow$ طول الشخص ٢م.

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

في الأسئلة ٣ - ٨، افترض أن المثلثات متشابهة، اكتب تناسباً، واستعمله لحل كل مسألة منها:

٣) بنايات: ما ارتفاع هذه البناية؟

بما أن المثلثين متشابهان $\leftarrow$ أضلاعهما المتقابلة متناسبة.

$\frac{\mathrm{طول} \mathrm{البناية}}{\mathrm{طول} \mathrm{المتجر}}=\frac{\mathrm{طول} \mathrm{ظل} \mathrm{البناية}}{\mathrm{طول} \mathrm{ظل} \mathrm{المتجر}}\leftarrow \frac{ع}{\mathrm{١٨}}=\frac{\mathrm{١٨}}{\mathrm{٥},\mathrm{٤}}\leftarrow$ ع =$\frac{\mathrm{١٨} \times \mathrm{١٨}}{\mathrm{٥},\mathrm{٤}}$ = ٧٢ م

$\leftarrow$ طول البناية ٧٢ م.

٤) أعلام: ما ارتفاع العلم الأحمر؟

بما أن المثلثين متشابهان $\leftarrow$ أضلاعهما المتقابلة متناسبة.

$\frac{\mathrm{طول} \mathrm{العلم} \mathrm{الأحمر}}{\mathrm{طول} \mathrm{العلم} \mathrm{الأزرق}}=\frac{\mathrm{طول} \mathrm{ظل} \mathrm{العلم} \mathrm{الأحمر}}{\mathrm{طول} \mathrm{ظل} \mathrm{العلم} \mathrm{الأزرق}}\leftarrow \frac{ع}{\mathrm{٧}}=\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٢}}\leftarrow$ ع =$\frac{\mathrm{٧} \times \mathrm{٦}}{\mathrm{٢}}$ = ٢١ م

$\leftarrow$ طول العلم الأحمر ٢١ م.

٥) متنزه: ما المسافة بين الخيمة والسفينة؟

بما أن المثلثين متشابهان $\leftarrow$ أضلاعهما المتقابلة متناسبة.

$\frac{\mathrm{٢٥}}{\mathrm{٨}}=\frac{س}{\mathrm{١٢}}\leftarrow$ ٨س = ٢٥ × ١٢ $\leftarrow$ س =$\frac{\mathrm{٣٠٠}}{\mathrm{٨}}$ = ٣٧,٥ م

$\leftarrow$ المسافة بين الخيمة والسفينة = س = ٣٧,٥ م.

٦) أنهار: ما طول المسافة بين الجدولين؟

بما أن المثلثين متشابهان $\leftarrow$ أضلاعهما المتقابلة متناسبة.

$\frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{٩}}=\frac{\mathrm{٨}}{س}\leftarrow$ ١٢س = ٩ × ٨ $\leftarrow$ س =$\frac{\mathrm{٧٢}}{\mathrm{١٢}}$ = ٦ م.

$\leftarrow$ المسافة بين الجدولين = س = ٦ م.

٧) بناء: أوجد ارتفاع العمود ع.

بما أن المثلثين متشابهان $\leftarrow$ أضلاعهما المتقابلة متناسبة.

$\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{٧}}=\frac{\mathrm{٩}}{ع}\leftarrow$ ١٥ع = ٩ × ٧ $\leftarrow$ ع =$\frac{\mathrm{٦٣}}{\mathrm{١٥}}$ = ٤,٢ م.

$\leftarrow$ ارتفاع العمود ع = ٤,٢ م.

٨) مياه: ما عمق المياه التي تبعد ٦٢ م عن الشاطئ؟

بما أن المثلثين متشابهان $\leftarrow$ أضلاعهما المتقابلة متناسبة.

$\frac{\mathrm{٦٢}}{\mathrm{٣}}=\frac{د}{\mathrm{٥}}\leftarrow$ ٣د = ٦٢ × ٥ $\leftarrow$ د =$\frac{\mathrm{٣١٠}}{\mathrm{٣}}$ ≈ ١٠٣,٣ م.

$\leftarrow$ عمق المياه التي تبعد ٦٢ م عن الشاطئ ≈ د ≈ ١٠٣,٣ م.

٩) مدينة ألعاب: يبلغ ارتفاع لعبة العجلة في مدينة الألعاب ٣٠ م، وطول ظلها في وقت ما ١٠م، استعمل استراتيجية "الرسم" لحل المسألة، واكتب تناسباً وحله لإيجاد طول رجل بلغ طول ظله في الوقت نفسه $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$م.

بما أن المثلثين متشابهان $\leftarrow$ أضلاعهما المتقابلة متناسبة.

$\frac{\mathrm{ارتفاع} \mathrm{لعبة} \mathrm{العجلة}}{\mathrm{طول} \mathrm{الشخص}}=\frac{\mathrm{طول} \mathrm{ظل} \mathrm{لعبة} \mathrm{العجلة}}{\mathrm{طول} \mathrm{ظل} \mathrm{الشخص}}\leftarrow \frac{\mathrm{٣٠}}{س}=\frac{\mathrm{١٠}}{{\displaystyle \frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}}}\leftarrow$ ١٠س = ٣٠ × $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$$\leftarrow$١٠س = ٢٠ $\leftarrow$ س = ٢م.

$\leftarrow$ طول الشخص ٢م.

١٠) مسألة مفتوحة: صف موقفاً يتطلب إجراء قياس غير مباشر، ووضح كيفية حله.

بما أن المثلثين متشابهان $\leftarrow$ أضلاعهما المتقابلة متناسبة.

$\frac{\mathrm{ارتفاع} \mathrm{البناء}}{\mathrm{طول} \mathrm{أحمد}}=\frac{\mathrm{طول} \mathrm{ظل} \mathrm{البناء}}{\mathrm{طول} \mathrm{ظل} \mathrm{أحمد}}\leftarrow \frac{س}{\mathrm{٧},\mathrm{١}}=\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٢}}\leftarrow$ ٢س =١٠ × ١,٧ $\leftarrow$س = ٨,٥ م.

$\leftarrow$ ارتفاع البناء ٨,٥ م.

١١) تحد: إذا عملت ثقباً مربع الشكل طول ضلعه ٠,٦ سم في قطعة من الكرتون المقوى، ونظرت من الثقب إلى القمر، وتمكنت من مشاهدته كاملاً عندما كانت المسافة بين عينك وبين الثقب ٧٥ سم، فقدر طول القمر إذا علمت أنه يبعد عن الأرض مسافة ٣٨٦٠٠٠ كلم، ارسم شكلاً لتمثيل الموقف، ثم اكتب تناسباً وحله.

بما أن المثلثين متشابهان $\leftarrow$ أضلاعهما المتقابلة متناسبة.

$\frac{\mathrm{٦},\mathrm{٠}}{س}=\frac{\mathrm{٧٥}}{\mathrm{٣٨٦٠٠٠}}\leftarrow \mathrm{٧٥}س = \mathrm{٠},\mathrm{٦} \times \mathrm{٣٨٦٠٠٠} \leftarrow$ س =$\frac{\mathrm{٢٣١٦٠٠} }{\mathrm{٧٥}}$ = ٣٠٨٨ م.

$\leftarrow$ طول قطر القمر ٣٠٨٨ م.

١٢) اكتب ما القياسات الواجب معرفتها لحساب ارتفاع جسم باستعمال تقدير الظل؟

1. طول ظل الجسم.
2. طول شيء مجاور له وطول ظل هذا الشيء بنفس الوقت.

١٣) يقف رجل طوله ٦ أقدام بعيداً عن قاعدة سارية علم مسافة ٢١ قدماً كما في الشكل أدناه:

إذا كان طول ظل الرجل ٩ أقدام، فما ارتفاع سارية العلم؟

أ) ١٤ قدماً.

ب) ٢٠ قدماً.

جـ) ٣٠ قدماً.

د) ٣١,٥ قدماً.

$\frac{\mathrm{طول} \mathrm{السارية}}{\mathrm{طول} \mathrm{الرجل}}=\frac{\mathrm{طول} \mathrm{ظل} \mathrm{السارية}}{\mathrm{طول} \mathrm{ظل} \mathrm{الرجل}}\leftarrow \frac{س}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{٣٠}}{\mathrm{٩}}\leftarrow$س = $\frac{\mathrm{٣٠} \times \mathrm{٦}}{\mathrm{٩}}$ = ٢٠م.

١٤) يبلغ طول محمد ١,٨ م، وكان طول ظله في وقت ما ٢,٤م، فإذا كان طول ظل عمود كهرباء في الوقت نفسه ٨م، فما ارتفاع العمود عن الأرض؟

أ) ١٢م

ب) ١٠,٧ م

جـ) ٨ م

د) ٦ م

$\frac{\mathrm{طول} \mathrm{العمود}}{\mathrm{طول} \mathrm{أحمد}}=\frac{\mathrm{طول} \mathrm{ظل} \mathrm{العمود}}{\mathrm{طول} \mathrm{ظل} \mathrm{أحمد}}\leftarrow \frac{ع}{\mathrm{٨},\mathrm{١}}=\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٤},\mathrm{٢}}\leftarrow$ع = $\frac{\mathrm{٨},\mathrm{١} \times \mathrm{٨}}{\mathrm{٤},\mathrm{٢}}$ = ٦م.