أوجد مجموع قياسات الزوايا الداخلية لكل مضلع مما يأتي:

الخماسي.

• جـ = (ن - ٢) × ١٨٠° (حيث ن هي عدد الأضلاع).
• جـ = (٥ - ٢) × ١٨٠°
• جـ = ٣ × ١٨٠ = ٥٤٠°

السباعي.

• جـ = (ن - ٢) × ١٨٠° (حيث ن هي عدد الأضلاع).
• جـ = (٧ - ٢) × ١٨٠°
• جـ = ٥ × ١٨٠ = ٩٠٠°

ذي ١١ ضلعاً.

• جـ = (ن - ٢) × ١٨٠° (حيث ن هي عدد الأضلاع).
• جـ = (١١ - ٢) × ١٨٠°
• جـ = ٩ × ١٨٠ = ١٦٢٠°

ذي ١٤ ضلعاً.

• جـ = (ن - ٢) × ١٨٠° (حيث ن هي عدد الأضلاع).
• جـ = (١٤ - ٢) × ١٨٠°
• جـ = ١٢ × ١٨٠ = ٢١٦٠°

ذي ١٩ ضلعاً.

• جـ = (ن - ٢) × ١٨٠° (حيث ن هي عدد الأضلاع).
• جـ = (١٩ - ٢) × ١٨٠°
• جـ = ١٧ × ١٨٠ = ٣٠٦٠°

ذي ٢٤ ضلعاً.

• جـ = (ن - ٢) × ١٨٠° (حيث ن هي عدد الأضلاع).
• جـ = (٢٤ - ٢) × ١٨٠°
• جـ = ٢٢ × ١٨٠ = ٣٩٦٠°

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أوجد مجموع قياسات الزوايا الداخلية لكل مضلع مما يأتي:

٥) الخماسي.

• جـ = (ن - ٢) × ١٨٠° (حيث ن هي عدد الأضلاع).
• جـ = (٥ - ٢) × ١٨٠°
• جـ = ٣ × ١٨٠ = ٥٤٠°

٦) السباعي.

• جـ = (ن - ٢) × ١٨٠° (حيث ن هي عدد الأضلاع).
• جـ = (٧ - ٢) × ١٨٠°
• جـ = ٥ × ١٨٠ = ٩٠٠°

٧) ذي ١١ ضلعاً.

• جـ = (ن - ٢) × ١٨٠° (حيث ن هي عدد الأضلاع).
• جـ = (١١ - ٢) × ١٨٠°
• جـ = ٩ × ١٨٠ = ١٦٢٠°

٨) ذي ١٤ ضلعاً.

• جـ = (ن - ٢) × ١٨٠° (حيث ن هي عدد الأضلاع).
• جـ = (١٤ - ٢) × ١٨٠°
• جـ = ١٢ × ١٨٠ = ٢١٦٠°

٩) ذي ١٩ ضلعاً.

• جـ = (ن - ٢) × ١٨٠° (حيث ن هي عدد الأضلاع).
• جـ = (١٩ - ٢) × ١٨٠°
• جـ = ١٧ × ١٨٠ = ٣٠٦٠°

١٠) ذي ٢٤ ضلعاً.

• جـ = (ن - ٢) × ١٨٠° (حيث ن هي عدد الأضلاع).
• جـ = (٢٤ - ٢) × ١٨٠°
• جـ = ٢٢ × ١٨٠ = ٣٩٦٠°

١١) فن: هذا التشكيل مركب من قطع زجاجية على شكل مثلثات ومضلعات خماسية منتظمة، ما قياس الزاوية الداخلية للمضلع الخماسي؟

• جـ = (ن - ٢) × ١٨٠° (حيث ن هي عدد الأضلاع).
• جـ = (٥ - ٢) × ١٨٠°
• جـ = ٣ × ١٨٠ = ٥٤٠°

قياس الزاوية الداخلية للشكل الخماسي = ٥٤٠ ÷ ٥ = ١٠٨°

١٢) طبيعة: تشكل كل حجرة من خلية النحل مضلعاً سداسياً منتظماً، ما قياس إحدى الزوايا الداخلية لهذه الحجرة؟

• جـ = (ن - ٢) × ١٨٠° (حيث ن هي عدد الأضلاع).
• جـ = (٦ - ٢) × ١٨٠°
• جـ = ٤ × ١٨٠ = ٧٢٠°

قياس الزاوية الداخلية للشكل السداسي = ٧٢٠ ÷ ٦ = ١٢٠°

أوجد قياس الزاوية الداخلية في المضلعات المنتظمة الآتية، وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة إذا لزم الأمر.

١٣) التساعي.

• جـ = (ن - ٢) × ١٨٠° (حيث ن هي عدد الأضلاع).
• جـ = (٩ - ٢) × ١٨٠°
• جـ = ٧ × ١٨٠ = ١٢٦٠°

قياس الزاوية الداخلية للشكل التساعي = ١٢٦٠ ÷ ٩ = ١٤٠°

١٤) العشاري.

$\frac{(ن - \mathrm{٢}) \times \mathrm{١٨٠} °}{ن}$

= $\frac{(\mathrm{١٠} - \mathrm{٢}) \times \mathrm{١٨٠} °}{\mathrm{١٠}}$ = ١٤٤°

١٥) ذي ١٣ ضلعاً.

$\frac{(ن - \mathrm{٢}) \times \mathrm{١٨٠} °}{ن}$

= $\frac{(\mathrm{١٣} - \mathrm{٢}) \times \mathrm{١٨٠} °}{\mathrm{١٣}}$ = ١٥٢,٣°

١٦) ذي ١٦ ضلعاً.

$\frac{(ن - \mathrm{٢}) \times \mathrm{١٨٠} °}{ن}$

= $\frac{(\mathrm{١٦} - \mathrm{٢}) \times \mathrm{١٨٠} °}{\mathrm{١٦}}$ = ١٥٧,٥°

فن: للسؤالين ١٧، ١٨ استعمل المعلومات الآتية:

عند التبليط يتكرر نمط من المضلعات تم ترتيبها دون تقاطعات أو ترك فراغات بينها أوجد قياس كل زاوية من الزوايا الرأس داخل الدائرة الحمراء لكل تبليط فيما يأتي، ثم أوجد مجموع قياسات الزوايا.

١٧)

المربع:

$\frac{(ن - \mathrm{٢}) \times \mathrm{١٨٠} °}{ن}$

= $\frac{(\mathrm{٤}- \mathrm{٢}) \times \mathrm{١٨٠} °}{\mathrm{٤}}$ = ٩٠°

السداسي:

$\frac{(ن - \mathrm{٢}) \times \mathrm{١٨٠} °}{ن}$

= $\frac{(\mathrm{٦} - \mathrm{٢}) \times \mathrm{١٨٠} °}{\mathrm{٦}}$ = ١٢٠°

ذي ١٢ ضلعاً:

$\frac{(ن - \mathrm{٢}) \times \mathrm{١٨٠} °}{ن}$

= $\frac{(\mathrm{١٢} - \mathrm{٢}) \times \mathrm{١٨٠} °}{\mathrm{١٢}}$ = ١٥٠°

المجموع = ٩٠° + ١٢٠° + ١٥٠° = ٣٦٠°

١٨)

١٩) تحد: ما عدد أضلاع مضلع منتظم، قياس زاويته الداخلية ١٦٠°؟ برر إجابتك.

$\frac{(ن - \mathrm{٢}) \times \mathrm{١٨٠} °}{ن}$ = ١٦٠°

(ن - ٢) × ١٨٠° = ن × ١٦٠°

١٨٠°ن - ٣٦٠ = ١٦٠ن

٢٠ن = ٣٦٠

ن = ١٨

٢٠) اكتب. فسر العلاقة بين عدد أضلاع المضلع المنتظم وقياس كل زاوية داخلية فيه.

عدد المثلثات داخل المضلع المنتظم (ن - ٢). ومجموع قياسات زوايا كل مثلث منها يساوي ١٨٠°، لذلك فإن مجموع قياس زوايا كل مضلع = (ن - ٢) × ١٨٠.

وإذا كان للمضلع ن ضلع فإن له ن زاوية أيضاً، لذا اقسم مجموع قياسات الزوايا على عدد الزوايا لإيجاد قياس الزاوية الواحدة.

٢١) إذا كانت العبارات التالية صحيحة حول $△$ أ ب جـ.

• ق $\angle$ أ = ق $\angle$ ب + ق $\angle$ جـ

• $\angle$ ب، $\angle$ جـ زاويتان متتامتان

قياس كل زاوية من الزوايا:

$\angle$أ، $\angle$ب، $\angle$جـ تقبل القسمة على ١٥ فأي الخيارات الآتية لا ينفق القسمة على ١٥ فأي الخيارات الآتية لا ينفق مع العبارات الثلاثة السابقة؟

أ) ق $\angle$ أ = ٩٠°

ق $\angle$ ب = ٤٥°

ق $\angle$ جـ = ٤٥°

ب) ق $\angle$ أ = ٩٠°

ق $\angle$ ب = ٧٥°

ق $\angle$ جـ = ١٥°

جـ) ق $\angle$ أ = ٩٠°

ق $\angle$ ب = ٥٠°

ق $\angle$ جـ = ٤٠°

د) ق $\angle$ أ = ٩٠°

ق $\angle$ ب = ٦٠°

ق $\angle$ جـ = ٣٠°

٢٢) أي العبارات التالية غير صحيحة حول تكرار الثمانينات المنتظمة والمستطيلات الآتية:

أ) مجموع قياسات زوايا كل مستطيل في النمط يساوي ٣٦٠°

ب) مجموع قياسات زوايا كل ثماني في النمط يساوي ١٠٨٠°

جـ) قياس كل زاوية من الزوايا الداخلية للثماني في النمط يساوي ١٣٥°

د) مجموع قياسات زوايا الرأس داخل الدائرة الموضحة في النمط يساوي ٢٧٠°