حل أسئلة تدرب وحل المسائل

اكتب كل مجموعة مما يأتي باستعمال الصفة المميزة للمجموعة، وباستعمال رمز الفترة إن أمكن:

1) $x>50$

$\begin{array}{rl}& =\{x\mid x>50,x\in R\}\\ & =[50,\mathrm{\infty })\end{array}$

2) $x<-13$

$\begin{array}{rl}& =\{x\mid x<-13,x\in R\}\\ & =(-\mathrm{\infty },-13)\end{array}$

3) $x\le -4$

$\begin{array}{rl}& =\{x\mid x\le -4,x\in R\}\\ & =(-\mathrm{\infty },-4]\end{array}$

4) $\{-3,-2,-1,\dots \}$

$=\{x\mid -4\le x,x\in Z\}$

5) $-31<x\le 64$

$\begin{array}{c}=\{x\mid -31<x\le 64,x\in R\}\\ =(-31,64]\end{array}$

6) $x>21 وأ x<-19$

$\begin{array}{c}\{x\mid x<-19 وأ x>21,x\in R\}\\ (-\mathrm{\infty },-19)\cup (21,\mathrm{\infty })\end{array}$

7) $x\ge 67 وأ x\le 61$

$\begin{array}{rl}& \{x\mid x\le 61 وأ x\ge 67,x\in R\}\\ & (-\mathrm{\infty },61]\cup [67,\mathrm{\infty })\end{array}$

8) $x>86 وأ x\le -45$

$\begin{array}{r}\{x\mid x\le -45 وأ x>86,x\in R\}\\ (-\mathrm{\infty },-45]\cup (86,\mathrm{\infty })\end{array}$

9) المضاعفات الموجبة للعدد 5

$\{x\mid x=5n,n\in N\}$

10) $x\ge 32$

$\begin{array}{rl}& =\{x\mid x\ge 32,x\in R\}\\ & =[32,\mathrm{\infty })\end{array}$

في كل علاقة مما يأتي حدد ما إذا كانت y تمثل دالة ل x أم لا؟

11) المتغير المستقل x يمثل رقم الحساب في البنك، والمتغير y يمثل الرصيد في الحساب.

دالة: لأن كل قيمة ل x بقيمة واحدة ل y، حيث أن أرقام الحسابات لا يمكن أن تتشابه.

12)

ليست دالة: لأن كل قيمة ل x مرتبطة بقيمتين من y وعليه فإن y لا تمثل دالة في x.

13) $\frac{1}{x}=y$

دالة: لأن كل قيمة ل x بقيمة واحدة ل y

14) $x^2=y+2$

دالة: لأن كل قيمة ل x بقيمة واحدة ل y

15) $\sqrt{48y}=x$

دالة: لأن كل قيمة ل x بقيمة واحدة ل y

16) $\frac{x}{y}=y-6$

ليست دالة: لأن كل قيمة ل x مرتبطة بقيمتين من y

17)

دالة: لأن أي خط راسي يقطع التمثيل البياني في نفطتين، أي يوجد لبعض قيم x قيمتين ل y

18)

دالة: لأن أي خط راسي يقطع التمثيل البياني في نقطة واحدة فقط.

أوجد قيمة كل دالة من الدوال الآتية:

19) g(x)=2x²+18x-14

a) g(9)

$\begin{array}{rl}g\left(9\right)& =2(9{)}^2+18\times 9-14\\ & =2\times 81+162-14\\ & =162+162-14\\ & =310\end{array}$

b) g(3x)

$\begin{array}{rl}g\left(3x\right)& =2(3x{)}^2+18\times 3x-14\\ & =2\times 9x^2+54x-14\\ & =18x^2+54x-14\end{array}$

c) g(1+5m)

$\begin{array}{rl}& g(1+5m)=2(1+5m{)}^2+18\times (1+5m)-14\\ & =2\times (1+10m+25m^2)+18+90m-14\\ & =2+20m+50m^2+18+90m-14\\ & =50m^2+110m+6\end{array}$

20) h(y)=-3y³-6y+9

a) h(4)

$\begin{array}{rl}h\left(4\right)=& -3(4{)}^3-6\times 4+9\\ & =-3\times 64-24+9\\ & =-192-24+9\\ & =-207\end{array}$

b) h(-2y)

$\begin{array}{rl}h(-2y)& =-3(-2y{)}^3-6\times (-2y)+9\\ & =-3\times (-8y^3)+12y+9\\ & =24y^3+12y+9\end{array}$

c) h(5b+3)

$\begin{array}{rl}h(5b+3)& =-3(5b+3{)}^3-6\times (5b+3)+9\\ =& -3(125b^3+225b^2+135b+27)-30b-18+9\\ =& -375b^3-675b^2-405b-81-30b-18+9\\ =& -375b^3-675b^2-435b-90\end{array}$

21) $f\left(t\right)=\frac{4t+11}{3t^2+5t+1}$

a) f(-6)

$\begin{array}{rl}f(-6)& =\frac{4\times (-6)+11}{3(-6{)}^2+5\times (-6)+1}\\ & =\frac{-24+11}{3\times 36-30+1}=\frac{-13}{79}\end{array}$

b) f(4t)

$\begin{array}{rl}f\left(4t\right)& =\frac{4\times 4t+11}{3(4t{)}^2+5(4t)+1}\\ & =\frac{16t+11}{48t^2+20t+1}\end{array}$

c) g(3-2a)

$\begin{array}{rl}f(3-2a)& =\frac{4(3-2a)+11}{3(3-2a{)}^2+5(3-2a)+1}\\ & =\frac{12-8a+11}{3(9-12a+4a^2)+15-10a+1}\\ & =\frac{23-8a}{18-36a+12a^2+16-10a}=\frac{23-8a}{12a^2-46a+34}\end{array}$

22) $g\left(x\right)=\frac{3x^3}{x^2+x-4}$

a) g(-2)

$\begin{array}{rl}g(-2)& =\frac{3(-2{)}^3}{(-2{)}^2+(-2)-4}\\ & =\frac{3\times -8}{4-2-4}=\frac{-24}{-2}=12\end{array}$

b) g(5x)

$\begin{array}{rl}g\left(5x\right)& =\frac{3(5x{)}^3}{(5x{)}^2+5x-4}\\ & =\frac{375x^3}{25x^2+5x-4}\end{array}$

c) g(8-4b)

$\begin{array}{rl}g(8-4b)& =\frac{3(8-4b{)}^3}{(8-4b{)}^2+(8-4b)-4}\\ & =\frac{3(512-768b+384b^2-64b^3)}{(64-64b+16b^2)+4-4b}\\ & =\frac{1536-2304b+1152b^2-192b^3}{68-68b+16b^2}\end{array}$

23) $g\left(m\right)=3+\sqrt{m^2-4}$

a) g(-2)

$\begin{array}{r}g(-2)=3+\sqrt{(-2{)}^2-4}\\ =3+\sqrt{4-4}=3\end{array}$

b) g(3m)

$\begin{array}{rl}g\left(3m\right)& =3+\sqrt{(3m{)}^2-4}\\ & =3+\sqrt{9m^2-4}\end{array}$

c) g4m-2)

$\begin{array}{rl}g(4m-2)& =3+\sqrt{(4m-2{)}^2-4}\\ & =3+\sqrt{(16m^2-16m+4)-4}\\ & =3+\sqrt{16m^2-16m}\\ & =3+4\sqrt{m^2-m}\end{array}$

24) $t\left(x\right)=5\sqrt{6x^2}$

a) t(-4)

$\begin{array}{r}t(-4)=5\sqrt{6(-4{)}^2}=5\sqrt{6\times 16}\\ =20\sqrt{6}\end{array}$

b) t(2x)

$\begin{array}{rl}t\left(2x\right)& =5\sqrt{6(2x{)}^2}\\ & =5\sqrt{6\times 4x^2}\\ & =10\left|x\right|\sqrt{6}\end{array}$

c) t(7+n)

$\begin{array}{rl}t(7+n)=& 5\sqrt{6(7+n{)}^2}\\ & =5|7+n|\sqrt{6}\end{array}$

25) مبيعات: قدرت مبيعات شركة للسيارات خلال خمس سنوات بالدالة: f(t)=24t²-93t+78، حيث t الزمن بالسنوات، وكانت المبيعات الفعلية موضحة في الجدول المجاور.

a) أوجد f(1)

$f\left(1\right)=24\times (1{)}^2-93\times (1)+78$

=9 ملايين

b) أوجد f(5)

$f\left(5\right)=24\times (5{)}^2-93(5)+78$

=213 مليون

c) هل تعتقد أن القاعدة f(t) أكثر دقة في السنة الأولى أم في السنة الأخيرة؟ برر إجابتك.

أعتقد أن القاعدة f(t) أكثر دقة في السنوات الأخيرة والتي حققت أعلى مبيعات، حيث أن 213 قريبة بنسبة 2% من 219، بينما أكبر من 800% من 1

حدد مجال كل دالة مما يأتي:

26) $f\left(x\right)=\frac{8x+12}{x^2+5x+4}$

$(-\mathrm{\infty },-4)\cup (-4,-1)\cup (-1,\mathrm{\infty })$

27) $g\left(x\right)=\frac{x+1}{x^2-3x-40}$

$(-\mathrm{\infty },-5)\cup (-5,8)\cup (8,\mathrm{\infty })$

28) $g\left(a\right)=\sqrt{1+a^2}$

$(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$

29) $h\left(x\right)=\sqrt{6-x^2}$

$[-\sqrt{6},\sqrt{6})$

30) $f\left(a\right)=\frac{5a}{\sqrt{4a-1}}$

$(0.25,\mathrm{\infty })$

31) $f\left(x\right)=\frac{2}{x}+\frac{4}{x+1}$

$(-\mathrm{\infty },-1)\cup (-1,0)\cup (0,\mathrm{\infty })$

32) فيزياء: يعطى زمن الدورة T لبندول ساعة بالصيغة $T=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{9.8}}$ حيث l طول البندول، فهل تمثل T دالة في l؟ إذا كانت كذلك فحدد مجالها، وإذا لم تكن دالة فبين السبب.

T دالة في l، لأن الطول لا يمكن أن يكون سالباً مطلقاً ومجال الدالة $[0,\mathrm{\infty })$

أوجد f(-5) و f(12) لك من الدالتين الآتيين:

33)

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{rl}-4x+3,& x<3\\ -x^3,& 3\le x\le 8\\ 3x^2+1,& x>8\end{array}\right\}$

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& =-4x+3\\ f(-5)& =-4\times (-5)+3\\ & =20+3=23\end{array}$

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& =3x^2+1\\ f\left(12\right)& =3(12{)}^2+1\\ & =3\times 144+1\\ & =432+1=433\end{array}$

34)

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{rl}-15,& x<-5\\ \sqrt{x+6},& -5\le x\le 10\\ \frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle x}}+8,& x>10\end{array}\right\}$

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& =\sqrt{x+6}\\ f(-5)& =\sqrt{-5+6}\\ & =\sqrt{1}=1\end{array}$

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& =\frac{2}{x}+8\\ f\left(12\right)& =\frac{2}{12}+8\\ & =8\frac{1}{6}\end{array}$

35) عمل تمثل الدالة T(x) أدناه الربح (بالريال) الذي تكسبه الشركة توزيع لأجهزة الهاتف.

$T\left(x\right)=\left\{\begin{array}{rl}2.1x,& 0<x\le 7000\\ 500+2.4x,& 7000<x\le 20000\\ 800+3x,& 20000<x\le 80000\end{array}\right\}$

حيث x تمثل عدد الأجهزة الموزعة، فأوجد T(7000), T(10000), T(50000).

$\begin{array}{c}T\left(\mathrm{x}\right)=2.1x\\ T\left(7000\right)=2.1\times 7000\\ =14700\\ \\ T\left(x\right)=5000+2.4x\\ T\left(10000\right)=5000+2.4\times 10000\\ =29000\\ \\ T\left(x\right)=8000+3x\\ T\left(50000\right)=8000+3\times 50000\\ =158000\end{array}$

معتمداً على اختبار الخط الرأسي، حدد ما إذا كان كل من التمثيلين الآتيين يمثل دالة أم لا؟ وبرر إجابتك.

36)

دالة: لأن الخط الرأسي لا يقطع المنحني في أكثر من مرة.

37)

ليست دالة: لأن الخط الرأسي (محور y) يقطع التمثيل البياني في (0,0) و (-0,4).

38) رياضة: تتكون مسابقة رياضية من ثلاث مراحل: سباحة مسافة 0.4mi، وقيادة دراجة هوائية مسافة 5mi، وجرى مسافة 2.6mi، فإذا كان معدل سرعة عزام في كل مرحلة من المراحل الثلاث كما في الجدول أدناه.

a) اكتب دالة متعددة التعريف تمثل المسافة D التي قطعها عزام بدلالة الزمن t.

$D\left(t\right)=\left\{\begin{array}{ll}4t& ,0\le t\le 0.6\\ 20t& ,0.6<t\le 6.2\\ 6t& ,6.2<t\le 10.7\end{array}\right\}$

b) حدد مجال الدالة.

$[0,10.7]$

39) هندسة: يمثل الشكل أدناه دائرة مساحتها A ومساحتها ومحيطها c.

a) اكتب المساحة كدالة في المحيط.

$\begin{array}{rl}& \mathit{r}=\frac{c}{2\pi }\\ & A=\pi \times \frac{c^2}{4{\pi }^2}=\frac{c^2}{4\pi }\\ & A=\frac{c^2}{4\pi }\end{array}$

b) أوجد A(0.5), A(4) مقرباً إلى أقرب جزء من مئة.

$\begin{array}{rl}& A\left(4\right)=\frac{4^2}{4\pi }=1.27\\ & A\left(0.5\right)=\frac{(0.5{)}^2}{4\pi }=0.2\end{array}$

c) ما تأثير زيادة المحيط في المساحة؟

كلما زاد المحيط زادت المساحة

40) حسابات: تتناقص قيمة أجهزة الحاسوب بعد شرائها مع مرور الزمن. وتستعمل الدوال الخطية لتمثيل هذا التناقص. فإذا كانت v(t)=1800-30t تمثل قيمة حاسوب بالريال، بعد t شهر من شراءه. فحدد مجال هذه الدالة.

$D=\{t\mid 0\le t\le 60,t\in N\}$

أوجد $f\left(a\right),f(a+h),\frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{h}$، حيث $h\ne 0$ لكل مما يأتي:

41) f(x)=-5

$\begin{array}{rl}& f\left(\mathrm{a}\right)=-5\\ & f(\mathrm{a}+\mathrm{h})=-5\\ & \frac{f(\mathrm{a}+\mathrm{h})-f\left(\mathrm{a}\right)}{h}=\frac{-5-(-5)}{h}=0\end{array}$

42) $f\left(x\right)=\sqrt{x}$

$\begin{array}{rl}& f\left(a\right)=\sqrt{a}\\ & f(a+h)=\sqrt{a+h}\\ & \frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{h}=\frac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}\end{array}$

43) $f\left(x\right)=\frac{1}{x+4}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& f\left(a\right)=\frac{1}{a+4}\\ & f(a+h)=\frac{1}{a+h+4}\\ & \frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{h}=\frac{\frac{1}{a+h+4}-\frac{1}{a+4}}{h}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& =\frac{a+4-a-h-4}{(a+h+4)(a+4)}\times \frac{1}{h}\\ & =\frac{-h̸}{(a+h+4)(a+4)}\times \frac{1}{h̸}\\ & =\frac{-1}{(a+h+4)(a+4)}\end{array} \end{gathered}$$

44) f(x)=x²-6x+8

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& f\left(a\right)=a^2-6a+8\\ & \begin{array}{rl}f(a+h)& =(a+h{)}^2-6(a+h)+8\\ & =a^2+2ah+h^2-6a-6h+8\\ & =a^2+h^2+2ah-6a-6h+8\end{array}\end{array} \\ \begin{array}{rl}\frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{h}=& \frac{a^2+h^2+2ah-6a-6h+8-a^2+6a-8}{h}\\ & =\frac{h(h+2a-6)}{h}=h+2a-6\end{array} \end{gathered}$$

45) f(x)=-14x+6

$\begin{array}{rl}& f\left(a\right)=-14a+6\\ & \begin{array}{r}f(a+h)=-14(a+h)+6\\ =-14a-14h+6\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{h}=& \frac{-14a-14h+6+14a-6}{h}\\ =& -14\end{array}\end{array}$

46) f(x)=x³+9

$\begin{array}{rl}& f\left(a\right)=a^3+9\\ & \begin{array}{r}f(a+h)=(a+h{)}^3+9\\ =a^3+h^3+3a{h}^2+3h{a}^2+9\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{h}& =\frac{a^3+h^3+3a{h}^2+3h{a}^2+9-a^3-9}{h}\\ & =\frac{(h^2+3ah+3a^2)}{h}=h^2+3ah+3a^2\end{array}\end{array}$

47) f(x)=5x²

$\begin{array}{rl}& f\left(a\right)=5a^2\\ & f(a+h)=5(a+h{)}^2=5(a^2+h^2+2ah)\\ & =5a^2+5h^2+10ah\\ & \frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{h}=\frac{5a^2+5h^2+10ah-5a^2}{h}\\ & =\frac{h(5h+10a)}{h}=5h+10a\end{array}$

48) f(x)=x³

$\begin{array}{rl}& f\left(a\right)=a^3\\ & \begin{array}{r}f(a+h)=(a+h{)}^3\\ =a^3+h^3+3a{h}^2+3h{a}^2\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{h}=& \frac{a^3+h^3+3a{h}^2+3h{a}^2-a^3}{h}\\ =& \frac{\mathrm{h̸}(h^2+3ah+3a^2)}{h}=h^2+3ah+3a^2\end{array}\end{array}$

49) صناعة: في أحد المعامل الوطنية يتم صنع أغلفة بريدية متفاوتة الأبعاد، بحيث تكون نسبة طول الغلاف إلى عرضه من 1.3 إلى 2.5، فإذا كانت أصغر قيمة لطول الأغلفة المنتجة 5in، وأكبر قيمة $11\frac{1}{2}in$، فأجب عما يأتي:

a) اكتب مساحة الغلاف A كدالة في طوله l، إذا كانت نسبة طول الغلاف إلى عرضه 1.8، ثم اكتب مجال الدالة.

$A\left(\mathrm{L}\right)=\frac{L^2}{1.8}$

مجال الدالة هو [5,11.5]

b) اكتب مساحة الغلاف A كدالة في طوله h، إذا كانت نسبة طول الغلاف إلى عرضه 2.1، ثم اكتب مجال الدالة.

A(h)=2.1h²

^{مجال الدالة هو [2.4,5.5]}

c) أوجد مساحة الغلاف عند أكبر طول ممكن له، وأكبر نسبة بين طوله وعرضه.

A=52.9in²

في كل من العلاقتين الآتيتين، حدد ما إذا كانت y تمثل دالة في x أم لا؟ برر إجابتك.

50) $x=\left|y\right|$

ليست دالة: لأن لكل قيمة x في المجال يوجد قيمتان ل y في المدى وعليه فإن y لا تمثل دالة في x.

51) x=y³

دالة: لأن لكل قيمة x يوجد قيمة واحدة y في المدى وعليه فإن y تمثل دالة في x.

52) تمثيلات متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة مدى الدالة $f\left(x\right)=x^{\mathrm{n}}$، حيث $,\mathrm{n}\in \mathrm{N}$.

a) بيانياً: استعمل الحاسبة البيانية لتمثل الدالة $f\left(x\right)=x^{\mathrm{n}}$ بيانياً لقيم n الصحيحة من 1 إلى 6.

b) جدولياً: تنبأ بمدى كل دالة من الدوال التي مثلتها في الفرع a، واعرضه في جدول يتضمن قيم n، والمدى المرتبط في كل منها.

c) خمن مدى الدالة f(x)، عندما يكون n زوجياً.

$[0,\mathrm{\infty })$

d) خمن مدى الدالة f(x)، عندما يكون n فردياً.

$(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$