حل أسئلة تحقق من فهمك

حدد ما إذا كانت كل من الدالتين الآتيتين متصلتين عند x=0، برر إجابتك باستعمال اختبار الاتصال.

f(x)=x³ (1A

$f\left(0\right)=0^3=0$ اي أن الدالة معرفة عند x=0

يبين الجدول أن $\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)=0$

تقدر قيمة $\underset{x\to 0}{lim}\left(x^3\right)$ بالعدد 0 وبما أن f(0)=0 نستنتج أن f(x) متصلة عند x=0.

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x}},& x<0\\ x,& x\ge \mathrm{0\; <span\; style="color:\#ffffff;"><span\; style="background-color:\#e74c3c;">(1B</span></span>}\end{array}\right\}$

f(0)=x=0 أي أن الدالة معرفة عند x=0

يبين الجدول أن $\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)=0$

تقدر قيمة $\underset{x\to 0}{lim}\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}\\ x\end{array}\right\}$ بالعدد 0 وبما أن f(0)=0 نستنتج أن f(x) متصلة عند x=0.

حدد ما إذا كانت كل من الدالتين الآتيتين متصلة عند قيم x المعطاةK برر إجابتك باستعمال اختبار الاتصال، وإذا كانت الدالة غير متصلة، فحدد نوع عدم الاتصال: لانهائي، قفزي، قابل للإزالة.

2A) $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}$ عند x=0

f(0) غير موجودة.

يتبين من الجدول أن: $\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)=1.245$

f(x) غير متصلة عند x=0 لأن f(0) غير موجودة وبما أن $\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)$ موجودة فإن عدم الاتصال يكون قابل للإزالة عند x=0.

2B) $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{rr}5x+4,& x>2\\ 2-x,& x\le 2\end{array}\right\}$ عند x=2.

f(2)=2-2=0

يتبين من الجدول أن $\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)$ غير موجودة.

بما أن $\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)$ غير موجودة: f(x) غير متصلة عدم اتصال غير قابل للإزالة عند x=2.

3) أعد تعريف الدالة $f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x-1}$ لتصبح متصلة عن x=1.

$f\left(1\right)=\frac{0}{0}$

ابحث عن قيم الدالة عندما تقترب x من ال 1

يظهر في الجدول أعلاه أن قيم f(x) تقترب من 2 عندما تقترب x من 1 من الجهتين أي أن: $\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)=2$

f(x) غير متصلة عند x=1 لأن f(1) غير موجودة وبما أن $\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)$ موجودة فإن عدم الاتصال قابل للإزالة عند x=1.

حدد الأعداد الصحيحة المتتالية التي تنحصر بينها الأصفار الحقيقية لكل دالة في الفترات الزمنية المعطاة في كل مما يأتي:

4A) $[-6,4],f\left(x\right)=x^3+2x^2-8x+3$

بما أن F(-5) سالبة و f(-4) موجبة، يوجد صفر للدالة f(x) في الفترة [-4,-5] وكذلك يوجد صفر للدالة f(x) في الفترة [0,1] والفترة [1,2].

4B) $[-3,4]\cdot f\left(x\right)=\frac{x^2-6}{x+4}$

بما أن f(-3) موجبة و f(-2) سالبة عندئذِ يوجد صفر للدالة f(x) في الفترة [-2,-3] وكذلك يوجد صفر للدالة f(x) في الفترة [2,3].

حدد الأعداد الصحيحة المتتالية التي تنحصر بينها الأصفار الحقيقية لكل دالة في الفترات الزمنية المعطاة في كل مما يأتي:

5A) $[-5,5],f\left(x\right)=8x^3-2x^2-5x-1$

من الرسم يتضح وجود صفرين حقيقيين للدالة في الفترة [0,-1] وكذلك يوجد صفر للدالة عند x=1.

5B) $[0,4]\cdot f\left(x\right)=x^3-7x^2+18x-14$

بما أن f(1) سالبة و f(2) موجبة عندئذِ يوجد صفر للدالة f(x) في الفترة [1,2].

استعمل التمثيل البياني للدوال الآتية لوصف سلوك طرفي التمثيل البياني، ثم عزز إجابتك عددياً.

6A)

يتضح من التمثيل البياني أن ${\mathrm{Lim}}_{x\to \mathrm{\infty }}g\left(x\right)=\mathrm{\infty }$ وأن ${\mathrm{Lim}}_{{}_{x\to -\mathrm{\infty }}}g\left(x\right)=-\mathrm{\infty }$

التعزيز العددي:

لاحظ أنه عندما $x\to \mathrm{\infty }$ فإن $g\left(x\right)\to \mathrm{\infty }$ وبالمثل عندما $x\to -\mathrm{\infty }$ فإن $g\left(x\right)\to -\mathrm{\infty }$.

6B)

يتضح من التمثيل البياني أن ${\mathrm{Lim}}_{x\to \mathrm{\infty }}g\left(x\right)=-\mathrm{\infty }$ وأن ${\mathrm{Lim}}_{{}_{x\to -\mathrm{\infty }}}g\left(x\right)=+\mathrm{\infty }$

التعزيز العددي:

لاحظ أنه عندما $x\to \mathrm{\infty }$ فإن $f\left(x\right)\to -\mathrm{\infty }$ وبالمثل عندما $x\to -\mathrm{\infty }$ فإن $g\left(x\right)\to \mathrm{\infty }$

7A)

يتضح من التمثيل البياني أن ${\mathrm{Lim}}_{x\to \mathrm{\infty }}f\left(x\right)=3$ و أن ${\mathrm{Lim}}_{x\to -\mathrm{\infty }}f\left(x\right)=3$

التعزيز العددي:

لاحظ أنه عندما $x\to \mathrm{\infty }$ فإن $f\left(x\right)\to 3$ وبالمثل عندما $x\to -\mathrm{\infty }$ فإن $f\left(x\right)\to 3$​​​​​​​

7B)

يتضح من التمثيل البياني أن ${\mathrm{Lim}}_{x\to \mathrm{\infty }}f\left(x\right)=-3$ و أن ${\mathrm{Lim}}_{x\to -\mathrm{\infty }}f\left(x\right)=-3$
التعزيز العددي:

لاحظ أنه عندما $x\to \mathrm{\infty }$ فإن $f\left(x\right)\to -3$ وبالمثل عندما $x\to -\mathrm{\infty }$ فإن $f\left(x\right)\to -3$​​​​​​​

8) فيزياء: الضغط الديناميكي هو قياس الضغط الناتج عن حركة جزيئات الغاز ويعطى بالقاعدة $q\left(v\right)=\frac{\rho v^2}{2}$، حيث ρ (ويقرأ روه) كثافة الغاز، و v السرعة التي يتحرك بها الجزيء، ماذا يحدث للضغط الديناميكي؟

$q\left(v\right)=\frac{\rho v^2}{2}$

حيث أن p ثابت يتضح من التمثيل البياني أنه عندما $v\to \mathrm{\infty }$ فإن $q\left(v\right)\to \mathrm{\infty }$ وعندما v=0 فإن q(v)=0.