حل أسئلة تحقق من فهمك

استعمل التمثيل البياني لكل من الدالتين الآتيتين لتقدير الفترات التي تكون فيها الدالة متزايدة، أو متناقصة، أو ثابتة مقربة إلى أقرب 5.0 وحدة، ثم عزز إجابتك عددياً.

1A)

يبين الرسم البياني أن الدالة f متناقصة في الفترة $(-\mathrm{\infty },2)$ ومتزايدة في الفترة $(2,\mathrm{\infty })$.

1B)

يبين الرسم البياني أن الدالة h متزايدة في الفترة $(-\mathrm{\infty },-3)$ وثابتة على الفترة $(-3,\mathrm{\infty })$.

استعمل التمثيل البياني لتقدير قيم x التي يكون للدالة f(x) عندها قيم قصوى مقربة إلى أقرب 5.0 وحدة، وأوجد قيم الدالة عندها، وبين نوع القيم القصوى، ثم عزز إجابتك عددياً.

2A)

يوضح التمثيل البياني أن للدالة f(x) قيمة عظمى محلية عند x=-1.5 ومقدارها 2 كما توجد قيمة صغرى محلية عند x=-0.5 ومقدارها -0.3 كما توجد قيمة عظمى مطلقة عند x=1 ومقدارها 3.

2B)

يوضح التمثيل البياني أن للدالة f(x) قيمة عظمى محلية عند x=-1.5 ومقدارها 2 كما توجد قيمة صغرى محلية عند x=-0.5 ومقدارها -0.3 كما توجد قيمة عظمى مطلقة عند x=1 ومقدارها 3.

استعمل الحاسبة البيانية لتجد القيم القصوى المحلية والمطلقة لكل دالة مما يأتي مقربة إلى أقرب جزء من مئة، وحدد قيم x التي تكون عندها هذه القيم.

h(x)= 7-5x-6x² (3A

من الرسم البياني يتضح أنه يوجد للدالة قيمة عظمى مطلقة عند النقطة (8.04, 0.42-).

g(x)= 2x³-4x²-x+5 (3B

من الرسم البياني يتضح أنه يوجد للدالة قيمة عظمى محلية عند (5.06, 0.12-) وقيمة صغرى محلية عند (1,3)

4) صناعة: يرغب صاحب مصنع زجاج في إنتاج كأس أُسطوانية الشكل مفتوحة من أعلى مساحتها الكلية $10\pi {\text{in}}^2$، أوجد طول نصف قطر الكأس وارتفاعه اللذين يجعلن حجمها أكبر ما يمكن.

• نصف القطر= 1.83in تقريباً.
• الارتفاع= 1.83in تقريباً.

أوجد متوسط معدل التغير لكل دالة من الدوال الآتية:

5A) $f\left(x\right)=x^3-2x^2-3x+2,[2,3]$

$\begin{array}{rl}{m}_{\sec }& =\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}\\ & =\frac{f\left(3\right)-f\left(2\right)}{3-2}\\ & =\frac{(3{)}^3-2(3{)}^2-3\left(3\right)+2-(2{)}^3+2(2{)}^2+3\left(2\right)-2}{1}\\ & =\frac{6}{1}=6\end{array}$

5B) $f\left(x\right)=x^4-6x^2+4x,[-5,-3]$

$\begin{array}{rl}{m}_{\sec }& =\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}\\ & =\frac{f(-3)-f(-5)}{-3+5}\\ & =\frac{(-3{)}^4-6(-3{)}^2+4(-3)-(-5{)}^4+6(-5{)}^2-4(-5)}{2}\\ & =\frac{-440}{2}=-220\end{array}$

6) فيزياء: قذف جسم إلى أعلى من ارتفاع ft4 عن سطح الأرض، فإذا كان ارتفاعه عن سطح الأرض يعطى بالدالة $d\left(t\right)=-16t^2+20t+4$ حيث t الزمن بالثواني بعد قذفه وd(t) المسافة التي يقطعها، إذا أهملت مقاومة الهواء، فأوجد السرعة المتوسطة للجسم في الفترة من 5.0 إلى 1 ثانية.

$\begin{array}{rl}{m}_{\sec }& =\frac{d\left(t_2\right)-d\left(t_1\right)}{t_2-t_1}\\ & =\frac{d\left(1\right)-d\left(0.5\right)}{1-0.5}\\ & =\frac{-16(1{)}^2+20(1)+4+16(0.5{)}^2-20\left(0.5\right)-4}{0.5}\\ & =\frac{-2}{0.5}=-4\mathrm{ft}/\sec \end{array}$

سرعة الجسم تتناقص في الفترة من 0.5 إلى 1 ثانية.