حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أوجد $(f + g) (x), (f - g) (x), (f \circ g) (x), (\frac{f}{g}) (x)$ للدالتين f(x),g(x) في كل مما يأتي، وحدد مجال كل من الدوال الناتجة:

1)

$\begin{aligned} f (x) = x^{2} + 4 \\ g (x) = \sqrt{x} \end{aligned}$

$\begin{aligned} (f + g) (x) = x^{2} + \sqrt{x} + 4 المجال : {x ∣ x \geq 0, x \in R} \\ (f - g) (x) = x^{2} - \sqrt{x} + 4 المجال : {x ∣ x \geq 0, x \in R} \\ (f ○ g) (x) = \sqrt{x^{5}} + 4 \sqrt{x} المجال : {x ∣ x \geq 0, x \in R} \\ (\frac{f}{g}) (x) = \sqrt{x^{3}} + \frac{4}{\sqrt{x}} المجال : {x ∣ x > 0, x \in R} \end{aligned}$

2)

$\begin{aligned} f (x) = 8 - x^{3} \\ g (x) = x - 3 \end{aligned}$

$\begin{array}{r} (f + g) (x) = - x^{3} + x + 5 المجال : {x ∣ x \in R} \\ (f - g) (x) = - x^{3} - x + 11 المجال : {x ∣ x \in R} \\ (f ○ g) (x) = - x^{4} + 3 x^{3} + 8 x - 24 المجال : {x ∣ x \in R} \\ (\frac{f}{g}) (x) = \frac{8 - x^{5}}{x - 3} المجال : {x ∣ x \neq 3, x \in R} \end{array}$

3)

$\begin{aligned} f (x) = x^{2} + 5 x + 6 \\ g (x) = x + 2 \end{aligned}$

$\begin{array}{r} (f + g) (x) = x^{2} + 6 x + 8 \\ (f - g) (x) = x^{2} + 4 x + 4 \\ (f ○ g) (x) = x^{3} + 7 x^{2} + 16 x + 12 \end{array} المجال : {x ∣ x \in R}$

$(\frac{f}{g}) (x) = \frac{x^{2} + 5 x + 6}{x + 2} = \frac{(x + 2) (x + 3)}{x + 2} = x + 3 المجال : {x ∣ x \neq - 2, x \in R}$

4)

$\begin{aligned} f (x) = x^{2} + x \\ g (x) = 9 x \end{aligned}$

$\begin{array}{r} (f + g) (x) = x^{2} + 10 x \\ (f - g) (x) = x^{2} - 8 x \\ (f ○ g) (x) = 9 x^{3} + 9 x^{2} \end{array} المجال : {x ∣ x \in R}$

$(\frac{f}{g}) (x) = \frac{x^{2} + x}{9 x} = \frac{x (x + 1)}{9 x} = \frac{x + 1}{9} المجال : {x ∣ x \neq 0, x \in R}$

5)

$\begin{aligned} f (x) = x - 7 \\ g (x) = x + 7 \end{aligned}$

$\begin{matrix} (f + g) (x) = 2 x \\ (f - g) (x) = - 14 \\ (f ○ g) (x) = x^{2} - 29 \end{matrix} المجال : {x ∣ x \in R}$

$(\frac{f}{g}) (x) = \frac{x - 7}{x + 7} المجال : {x ∣ x \neq - 7, x \in R}$

6)

$\begin{aligned} f (x) = \frac{6}{x} \\ g (x) = x^{3} + x \end{aligned}$

$\begin{array}{r} (f + g) (x) = x^{3} + x + \frac{6}{x} \\ (f - g) (x) = - x^{3} - x + \frac{6}{x} \\ (f ○ g) (x) = 6 x^{2} + 6 \end{array} المجال : {x ∣ x \neq 0, x \in R}$

$(\frac{f}{g}) (x) = \frac{6}{x^{4} + x^{2}} المجال : {x ∣ x \neq 0, x \neq - 1, x \in R}$

7)

$\begin{aligned} f (x) = \frac{x}{4} \\ g (x) = \frac{3}{x} \end{aligned}$

$\begin{matrix} (f + g) (x) = \frac{x^{2} + 12}{4 x} \\ (f - g) (x) = \frac{x^{2} - 12}{4 x} \\ (f ○ g) (x) = \frac{3}{4} \\ (\frac{f}{g}) (x) = \frac{x^{2}}{12} \end{matrix} المجال : {x ∣ x \neq 0, x \in R}$

8)

$\begin{aligned} f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \\ g (x) = 4 \sqrt{x} \end{aligned}$

$\begin{array}{r} (f + g) (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + 4 \sqrt{x} \\ (f - g) (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - 4 \sqrt{x} \\ (f ○ g) (x) = 4 \\ (\frac{f}{g}) (x) = \frac{1}{4 x} \end{array} المجال : {x ∣ x > 0, x \in R}$

9)

$\begin{aligned} f (x) = \sqrt{x + 8} \\ g (x) = \sqrt{x + 5} - 3 \end{aligned}$

$\begin{array}{r} (f + g) (x) = \sqrt{x + 8} + \sqrt{x + 5} - 3 \\ (f - g) (x) = \sqrt{x + 8} - \sqrt{x + 5} + 3 \\ (f ○ g) (x) = \sqrt{x^{2} + 13 x + 40} - 3 \sqrt{x + 8} \end{array} المجال : {x ∣ x \geq - 5, x \in R}$

$(\frac{f}{g}) (x) = \frac{\sqrt{x + 8}}{\sqrt{x + 5} - 3} المجال : {x ∣ x \geq - 5, x \neq 4, x \in R} :$

10)

$\begin{aligned} f (x) = \sqrt{x + 6} \\ g (x) = \sqrt{x - 4} \end{aligned}$

$\begin{aligned} (f + g) (x) = \sqrt{x + 6} + \sqrt{x - 4} \\ (f - g) (x) = \sqrt{x + 6} - \sqrt{x - 4} \\ (f ○ g) (x) = \sqrt{x^{2} + 2 x - 24} \end{aligned} المجال : {x ∣ x \geq 4, x \in R}$

$(\frac{f}{g}) (x) = \frac{\sqrt{x + 6}}{\sqrt{x - 4}} المجال : {x ∣ x > 4, x \in R}$

أوجد $[f \circ g] (x), [g \circ f] (x), [f \circ g] (6)$ لكل زوج من الدوال الآتية:

11)

$\begin{aligned} f (x) = 2 x - 3 \\ g (x) = 4 x - 8 \end{aligned}$

$\begin{aligned} [f \circ g] (x) = 8 x - 19 \\ [g \circ f] (x) = 8 x - 20 \\ [f \circ g] (6) = 29 \end{aligned}$

12)

$\begin{array}{r} f (x) = - 2 x^{2} - 5 x + 1 \\ g (x) = - 5 x + 6 \end{array}$

$\begin{aligned} [f \circ g] (x) = - 50 x^{2} + 145 x - 101 \\ [g \circ f] (x) = 10 x^{2} + 25 x + 1 \\ [f \circ g] (6) = - 1031 \end{aligned}$

13)

$\begin{array}{r} f (x) = x^{2} - 16 \\ g (x) = x^{2} + 7 x + 11 \end{array}$

$\begin{aligned} [f \circ g] (x) = x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x \\ [g \circ f] (x) = x^{4} - 25 x^{2} + 155 \\ [f \circ g] (6) = 7905 \end{aligned}$

14)

$\begin{array}{r} f (x) = 2 + x^{4} \\ g (x) = - x^{2} \end{array}$

$\begin{aligned} [f \circ g] (x) = 8 x^{8} + 2 \\ [g \circ f] (x) = - x^{8} - 4 x^{4} - 4 \\ [f \circ g] (6) = 1679618 \end{aligned}$

حدد مجال g◦f ، ثم أوجد g◦f لكل زوج من الدوال الآتية:

15)

$\begin{matrix} f (x) = \frac{1}{x + 1} \\ g (x) = x^{2} - 4 \end{matrix}$

المجال: ${x ∣ x \neq \pm \sqrt{3}, x \in R}$

$[f \circ g] (x) = \frac{1}{x^{2} - 3}$

16)

$\begin{matrix} f (x) = \frac{2}{x - 3} \\ g (x) = x^{2} + 6 \end{matrix}$

المجال: ${x ∣ x \in R}$

$[f \circ g] (x) = \frac{2}{x^{2} + 3}$

17)

$\begin{aligned} f (x) = \sqrt{x + 4} \\ g (x) = x^{2} - 4 \end{aligned}$

المجال: ${x ∣ x \in R}$

$[f \circ g] (x) = x$

18)

$\begin{array}{r} f (x) = \frac{5}{x} \\ g (x) = \sqrt{6 - x} \end{array}$

المجال: ${x ∣ x < 6, x \in R}$

$[f \circ g] (x) = \frac{5}{\sqrt{6 - x}}$

19)

$\begin{array}{r} f (x) = - \frac{4}{x} \\ g (x) = \sqrt{x + 8} \end{array}$

المجال: ${x ∣ x > - 8, x \in R}$

$[f \circ g] (x) = \frac{- 4}{\sqrt{x + 8}}$

20)

$\begin{matrix} f (x) = \sqrt{x + 5} \\ g (x) = x^{2} + 4 x - 1 \end{matrix}$

المجال: ${x ∣ x \in R}$

$[f \circ g] (x) = x + 2$

21) النظرية النسبية: في النظرية النسبية $m (v) = \frac{100}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ حيث c سرعة الضوء وتساوي 300 مليون متر في الثانية، وm كتلة جسم يسير بسرعة v متر في الثانية، وكتلته الأصلية kg100.

a) هل توجد قيود على مجال الدالة m؟ برر إجابتك.

${v ∣ 0 \leq v < c, v \in R}$

لا يمكن أن تكون سرعة الجسم مساوية لسرعة الضوء، ولا تكون v أكبر من c لأنك ستحصل على عدد سالب تحت الجذر التربيعي وهذه كمية غير معرفة ولا يمكن أن تكون السرعة أقل من الصفر لأنها لا يمكن أن تكون سالبة.

b) أوجد m(10), m(10000), m(1000000).

$\begin{aligned} m (10) = 100 kg \\ m (10000) = 100.0000001 kg \\ m (1000000) = 100.0005556 kg \end{aligned}$

c) صف سلوك طرفي التمثيل البياني للدالة m(v) عندما تقترب v من c من اليسار.

عندما تقترب v من c من اليسار تزداد قيمة v وعندما تزداد قيمة v يكون m(v) تقترب من $\infty$

d) اكتب الدالة على صورة تركيب دالتين.

$\begin{aligned} m (v) = f (g (v)) \\ f (v) = \frac{100}{\sqrt{1 - v^{2}}}, g (v) = \frac{v}{c} \end{aligned}$

أوجد دالتين g ,f لكل مما يأتي بحيث يكون $h (x) = [f \circ g] (x)$ على ألا تكون أي منهما الدالة المحايدة l(x)=x.

22) $h (x) = \sqrt{4 x + 2} + 7$

$\begin{aligned} f (x) = \sqrt{x} + 7 \\ g (x) = 4 x + 2 \end{aligned}$

23) $h (x) = \frac{6}{x + 5} - 8$

$\begin{aligned} f (x) = \frac{6}{x} - 8 \\ g (x) = x + 5 \end{aligned}$

24) $h (x) = | 4 x + 8 | - 9$

$\begin{aligned} f (x) = | x | - 9 \\ g (x) = 4 x + 8 \end{aligned}$

25) $h (x) = [- 3 (x - 9)]$

$\begin{aligned} f (x) = [- 3 x] \\ g (x) = x - 9 \end{aligned}$

26) $h (x) = \sqrt{\frac{5 - x}{x + 2}}$

$\begin{aligned} f (x) = \sqrt{x} \\ g (x) = \frac{5 - x}{x + 2} \end{aligned}$

27) $h (x) = (\sqrt{x} + 4)^{3}$

$\begin{aligned} f (x) = x^{3} \\ g (x) = \sqrt{x} + 4 \end{aligned}$

28) $h (x) = \frac{8}{(x - 5)^{2}}$

$\begin{aligned} f (x) = \frac{8}{x^{2}} \\ g (x) = x - 5 \end{aligned}$

29) $h (x) = \frac{\sqrt{4 + x}}{x - 2}$

$\begin{aligned} f (x) = \frac{\sqrt{x^{2}}}{x - 6} \\ g (x) = x + 4 \end{aligned}$

30) ميكانيكا الكم: يعطى طول الموجة λ لجسم كتلته m kg، ويتحرك بسرعة v متر في الثانية بالدالة $λ = \frac{h}{m v}$ حيث h ثابت يساوي ^34-10×6.626.

a) أوجد دالة تمثل طول الموجة لجسم كتلته 25 kg بدلالة سرعته.

$f (v) = \frac{h}{25 v}$

b) هل توجد قيود على مجال الدالة؟ برر إجابتك.

قيمة v ليست 0. وإذا كانت تساوي الصفر فلا يوجد طول للموجة.

c) إذا تحرك الجسم بسرعة 8 أمتار في الثانية، فأوجد طول الموجة بدلالة h.

$λ = \frac{h}{200}$

d) اكتب الدالة في الفقرة a على صورة تركيب دالتين.

$\begin{matrix} f (v) = a [b (v)] = \frac{h}{25 v} \\ a (v) = \frac{h}{v} \end{matrix}$

31) وظائف: يعمل شخص في قسم المبيعات في إحدى الشركات ويتقاضى راتباً وعمولة سنوية مقدارها %4 من المبيعات التي تزيد قيمتها على 300000 ريال، افترض أن f(x)=x-300000، h(x)=0.04x.

a) إذا كانت قيمة المبيعات (x) تزيد على 300000 ريال، فهل تمثل المعلومة بالدالة f[h(x)] أم بالدالة h[f(x)]؟ برر إجابتك.

وتحسب العمولة بعد طرح الحد الأدنى المطلوب من المبيعات الفعلية.

b) أوجد قيمة العمولة التي يتقاضاها الشخص، إذا كانت مبيعاته 450000 ريال في تلك السنة.

6000 ريال.

أوجد دالتين f, g لكل مما يأتي بحيث يكون $h (x) = [f \circ g] (x)$ على ألا تكون أي من الدالتين الدالة المحايدة l(x)=x.

32) $h (x) = \sqrt{x^{3} - 4}$

$\begin{aligned} f (x) = \sqrt{x} \\ g (x) = x^{3} - 4 \end{aligned}$

33) $h (x) = \sqrt{x - 1} - \frac{4}{x}$

$\begin{aligned} f (x) = x - \frac{4}{x^{2} + 1} \\ g (x) = \sqrt{x - 1} \end{aligned}$

34) $h (x) = \frac{x}{2 x - 1} + \sqrt{\frac{4}{x}}$

$\begin{aligned} f (x) = \frac{x - 4}{2 x - 9} + \sqrt{\frac{4}{x - 4}} \\ g (x) = x + 4 \end{aligned}$

أوجد $f (0.5), f (- 6), f (x + 1)$ في كل مما يأتي مقرباً الناتج إلى أقرب جزء من عشرة إذا لزم ذلك.

35) $f (x) - g (x) = x^{2} + x - 6, g (x) = x + 4$

$\begin{aligned} f (0.5) = - 0.75 \\ f (- 6) = 22 \\ f (x + 1) = x^{2} + 4 x + 1 \end{aligned}$

36) $f (x) + g (x) = \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x} - \frac{1}{3}, g (x) = 2 x$

$\begin{aligned} f (0.5) = 8.7 \\ f (- 6) = 11.6 \\ f (x + 1) = \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{1}{x + 1} - 2 x - \frac{7}{3} \end{aligned}$

37) $g (x) = f (x) - 18 x^{2} + \frac{\sqrt{2}}{x}, g (x) = \sqrt{1 - x}$

$\begin{aligned} f (0.5) = 8.7 \\ f (- 6) = 11.6 \\ f (x + 1) = \sqrt{- x} + 18 x^{2} + 36 x + 11 \end{aligned}$

أوجد $[f \circ g \circ h] (x)$ في كل مما يأتي:

38)

$\begin{aligned} f (x) = x + 8 \\ g (x) = x^{2} - 6 \\ h (x) = \sqrt{x} + 3 \end{aligned}$

$[f \circ g \circ h] (x) = x + 6 \sqrt{x} + 11$

39)

$\begin{array}{r} f (x) = \sqrt{x + 5} \\ g (x) = x^{2} - 3 \\ h (x) = \frac{1}{x} \end{array}$

$[f \circ g \circ h] (x) = \sqrt{\frac{1}{x^{2}}} + 2$

40) إذا كانت f(x)=x+2، فأوجد g(x) في كل حالة مما يأتي:

a) $[f \circ g] (x) = | 6 x |$

g(x)=x²+4

b) $[g \circ f] (x) = 200 x + 25$

g(x)=4x+8

41) إذا كانت $f (x) = \sqrt{4 x}$ ، فأوجد g(x) في كل حالة مما يأتي:

a) $[f \circ g] (x) = | 6 x |$

g(x)=9x²

b) $[g \circ f] (x) = 200 x + 25$

g(x)=50x²+25

42) إذا كانت f(x)=4x²، فأوجد g(x) في كل حالة مما يأتي:

a) $[f \cdot g] (x) = x$

$g (x) = \frac{1}{4 x}$

b) $[f \cdot g] (x) = 4 x$

$g (x) = \sqrt{x}$

باستعمال منحنيي الدالتين f(x), g(x) الممثلين في الشكل أدناه، أوجد:

التمثيل البياني

43) f(+g)(2)

44) (f-g)(-6)

45) $(f \cdot g) (4)$

46) $(\frac{f}{g}) (- 2)$

$\frac{4}{3}$

47) $(f \circ g) (- 4)$

48) $(g \circ f) (6)$

49) كيمياء: إذا كان v(m) معدل سرعة جزيئات غاز عند درجة C°30 بالمتر لكل ثانية تعطى بالدالة $v (m) = \sqrt{\frac{(24.9435) (303)}{m}}$ ، حيث m الكتلة المولية للغاز مقاسة بالكيلوجرام لكل مول.

a) هل توجد قيود على مجال الدالة؟ فسّر معناها.

${m ∣ m > 0, m \in R}$ لا يمكن أن تكون كتبة جسم ما سالبة أو تساوي الصفر.

b) أوجد معدل سرعة جزيئات الغاز إذا كانت كتلته المولية 145 كيلوجراماً لكل مول عند درجة C°30.

7.22m/s

c) كيف يتغير معدل سرعة جزيئات غاز عندما تزداد كتلة الغاز المولية؟

تتناقص سرعتها.

d) اكتب الدالة على صورة تركيب دالتين.

$v (m) = (f \circ g) (m) \begin{matrix} f (m) = \sqrt{m} \\ g (m) = \frac{(24.9435) (303)}{m} \end{matrix}$

أوجد ثلاث دوال f, g, h بحيث يكون $a (x) = [f \circ g \circ h] (x)$ في كل مما يأتي:

50) $a (x) = (\sqrt{x - 7} + 4)^{2}$

$\begin{aligned} f (x) = x^{2} \\ g (x) = \sqrt{x} + 4 \\ h (x) = x - 7 \end{aligned}$

51) $a (x) = \sqrt{(x - 5)^{2} + 8}$

$\begin{aligned} f (x) = \sqrt{x} \\ g (x) = x^{2} + 8 \\ h (x) = x - 5 \end{aligned}$

52) $a (x) = \frac{3}{(x - 3)^{2} + 4}$

$\begin{aligned} f (x) = \frac{3}{x} \\ g (x) = x^{2} + 4 \\ h (x) = x - 3 \end{aligned}$

53) $a (x) = \frac{4}{(\sqrt{x} + 3)^{2} + 1}$

$\begin{aligned} f (x) = \frac{4}{x + 1} \\ g (x) = x^{2} \\ h (x) = \sqrt{x} + 3 \end{aligned}$

أوجد $f \circ g, g \circ f$ f لكل زوج من الدوال الآتية، وحدد أية قيود على مجال دالة التركيب في كل حالة:

54)

$\begin{aligned} f (x) = x^{2} - 6 x + 5 \\ g (x) = \sqrt{x + 4} + 3 \end{aligned}$

$\begin{aligned} [f \circ g] (x) = x \\ [g \circ f] (x) = x - 3 \end{aligned} المجال : {x ∣ x \geq - 4, x \in R}$

55)

$\begin{matrix} f (x) = \sqrt{x + 6} \\ g (x) = \sqrt{16 + x^{2}} \end{matrix}$

$\begin{aligned} [f \circ g] (x) = \sqrt{\sqrt{16 + x^{2}} + 6} \\ [g \circ f] (x) = \sqrt{x + 22} \end{aligned} المجال : {x ∣ x \geq - 6, x \in R}$

56)

$\begin{array}{r} f (x) = \sqrt{x} \\ g (x) = \sqrt{9 - x^{2}} \end{array}$

$\begin{aligned} [f \circ g] (x) = \sqrt[4]{9 - x^{2}} المجال : {x ∣ x \geq - 4, x \in R} \\ [g \circ f] (x) = \sqrt{9 - x^{2}} المجال : {x ∣ 0 \leq x \leq 9, x \in R} \end{aligned}$

57)

$\begin{matrix} f (x) = \frac{6}{2 x + 1} \\ g (x) = \frac{4}{4 - x} \end{matrix}$

$\begin{aligned} [f \circ g] (x) = \frac{6 x - 24}{x - 12} المجال : {x ∣ x \neq 4, x \neq - \frac{1}{2}, x \neq 12, x \in R} \\ [g \circ f] (x) = \frac{4 x + 2}{4 x - 1} المجال : {x ∣ x \neq 4, x \neq - \frac{1}{2}, x \neq \frac{1}{4}, x \in R} \end{aligned}$

58) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة سوف تستقصي الدالة العكسية.

جدول القيم

a) جبرياً: أوجد f ◦ g لكل زوج من الدوال في الجدول المجاور.

$[f \circ g] (x) = x$

b) لفظياً: صف العلاقة بين تركيب كل زوج من الدوال.

لكل زوج من الدوال تختصر الأعداد بعضها البعض على ألا يكون للترتيب أية معاملات غير الواحد، ولا يبقى ثوابت.

c) بيانياً: مثل كل زوج من الدوال في المستوى الإحداثي نفسه، ثم ارسم محور الانعكاس بإيجاد منتصف القطعة المستقيمة الواصلة بين النقاط المتناظرة.

التمثيل البياني

d) لفظياً: خمن معادلة محور الانعكاس.

محور الانعكاس بين كل زوج من الدوال هو المستقيم y=x.

e) تحليلياً: ما الدالة الرئيسة (الأم) التي تساوي كل من $[f \circ g] (x), [\begin{array}{ll} g \circ f \end{array}) (x)$ ؟

يكافئ كل من التركيبين $[g \circ f] (x), [f \circ g] (x)$ الدالة المحايدة.

f) تحليلياً: أوجد g(x) بحيث يكون $[f \circ g] (x) = [\begin{array}{ll} g \circ f \end{array}] (x) = x$ في كل مما يأتي:

a) f(x)=x-6

g(x)=x+6

b) f(x)=x⁵

g(x)=5x

c) $f (x) = \frac{x}{3}$

$g (x) = \sqrt[4]{x}$

d) f(x)=2x-3

$g (x) = \frac{x + 3}{2}$

مثل كل من الدوال الآتية بيانياً باستعمال الشكل المجاور، ففي السؤال 59 مثل الدوال f, h, f+h في المستوى الإحداثي نفسه وهكذا في الأسئلة 62-60.

التمثيل البياني

59) ( f + h)(x)

التمثيل البياني

60) (h - f )(x)

التمثيل البياني

61) ( f + g)(x)

التمثيل البياني

62) (h + g)(x)

التمثيل البياني

حدد مجال كل من دالتي التركيب الآتيتين، باستعمال الشكل الآتي:

التمثيل البياني

63) ( f ◦ g)(x)

$[- 10, - 4] \cup [2, 8] = {x ∣ - 10 \leq x \leq - 4 R 2 \leq 8, x \in x}$

64) ( g ◦ f )(x)

${x ∣ - 4 \leq x \leq 10, x \in R}$

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

فيديو حل اسئلة تدرب وحل المسائل

النقاشات

لايوجد نقاشات

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أوجد $(f + g) (x), (f - g) (x), (f \circ g) (x), (\frac{f}{g}) (x)$ للدالتين f(x),g(x) في كل مما يأتي، وحدد مجال كل من الدوال الناتجة:

1)

$\begin{aligned} f (x) = x^{2} + 4 \\ g (x) = \sqrt{x} \end{aligned}$

2)

$\begin{aligned} f (x) = 8 - x^{3} \\ g (x) = x - 3 \end{aligned}$

3)

$\begin{aligned} f (x) = x^{2} + 5 x + 6 \\ g (x) = x + 2 \end{aligned}$

$\begin{array}{r} (f + g) (x) = x^{2} + 6 x + 8 \\ (f - g) (x) = x^{2} + 4 x + 4 \\ (f ○ g) (x) = x^{3} + 7 x^{2} + 16 x + 12 \end{array} المجال : {x ∣ x \in R}$

$(\frac{f}{g}) (x) = \frac{x^{2} + 5 x + 6}{x + 2} = \frac{(x + 2) (x + 3)}{x + 2} = x + 3 المجال : {x ∣ x \neq - 2, x \in R}$

4)

$\begin{aligned} f (x) = x^{2} + x \\ g (x) = 9 x \end{aligned}$

$\begin{array}{r} (f + g) (x) = x^{2} + 10 x \\ (f - g) (x) = x^{2} - 8 x \\ (f ○ g) (x) = 9 x^{3} + 9 x^{2} \end{array} المجال : {x ∣ x \in R}$

$(\frac{f}{g}) (x) = \frac{x^{2} + x}{9 x} = \frac{x (x + 1)}{9 x} = \frac{x + 1}{9} المجال : {x ∣ x \neq 0, x \in R}$

5)

$\begin{aligned} f (x) = x - 7 \\ g (x) = x + 7 \end{aligned}$

$\begin{matrix} (f + g) (x) = 2 x \\ (f - g) (x) = - 14 \\ (f ○ g) (x) = x^{2} - 29 \end{matrix} المجال : {x ∣ x \in R}$

$(\frac{f}{g}) (x) = \frac{x - 7}{x + 7} المجال : {x ∣ x \neq - 7, x \in R}$

6)

$\begin{aligned} f (x) = \frac{6}{x} \\ g (x) = x^{3} + x \end{aligned}$

$\begin{array}{r} (f + g) (x) = x^{3} + x + \frac{6}{x} \\ (f - g) (x) = - x^{3} - x + \frac{6}{x} \\ (f ○ g) (x) = 6 x^{2} + 6 \end{array} المجال : {x ∣ x \neq 0, x \in R}$

$(\frac{f}{g}) (x) = \frac{6}{x^{4} + x^{2}} المجال : {x ∣ x \neq 0, x \neq - 1, x \in R}$

7)

$\begin{aligned} f (x) = \frac{x}{4} \\ g (x) = \frac{3}{x} \end{aligned}$

8)

$\begin{aligned} f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \\ g (x) = 4 \sqrt{x} \end{aligned}$

9)

$\begin{aligned} f (x) = \sqrt{x + 8} \\ g (x) = \sqrt{x + 5} - 3 \end{aligned}$

$(\frac{f}{g}) (x) = \frac{\sqrt{x + 8}}{\sqrt{x + 5} - 3} المجال : {x ∣ x \geq - 5, x \neq 4, x \in R} :$

10)

$\begin{aligned} f (x) = \sqrt{x + 6} \\ g (x) = \sqrt{x - 4} \end{aligned}$

$(\frac{f}{g}) (x) = \frac{\sqrt{x + 6}}{\sqrt{x - 4}} المجال : {x ∣ x > 4, x \in R}$

أوجد $[f \circ g] (x), [g \circ f] (x), [f \circ g] (6)$ لكل زوج من الدوال الآتية:

11)

$\begin{aligned} f (x) = 2 x - 3 \\ g (x) = 4 x - 8 \end{aligned}$

$\begin{aligned} [f \circ g] (x) = 8 x - 19 \\ [g \circ f] (x) = 8 x - 20 \\ [f \circ g] (6) = 29 \end{aligned}$

12)

$\begin{array}{r} f (x) = - 2 x^{2} - 5 x + 1 \\ g (x) = - 5 x + 6 \end{array}$

$\begin{aligned} [f \circ g] (x) = - 50 x^{2} + 145 x - 101 \\ [g \circ f] (x) = 10 x^{2} + 25 x + 1 \\ [f \circ g] (6) = - 1031 \end{aligned}$

13)

$\begin{array}{r} f (x) = x^{2} - 16 \\ g (x) = x^{2} + 7 x + 11 \end{array}$

$\begin{aligned} [f \circ g] (x) = x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x \\ [g \circ f] (x) = x^{4} - 25 x^{2} + 155 \\ [f \circ g] (6) = 7905 \end{aligned}$

14)

$\begin{array}{r} f (x) = 2 + x^{4} \\ g (x) = - x^{2} \end{array}$

$\begin{aligned} [f \circ g] (x) = 8 x^{8} + 2 \\ [g \circ f] (x) = - x^{8} - 4 x^{4} - 4 \\ [f \circ g] (6) = 1679618 \end{aligned}$

حدد مجال g◦f ، ثم أوجد g◦f لكل زوج من الدوال الآتية:

15)

$\begin{matrix} f (x) = \frac{1}{x + 1} \\ g (x) = x^{2} - 4 \end{matrix}$

المجال: ${x ∣ x \neq \pm \sqrt{3}, x \in R}$

$[f \circ g] (x) = \frac{1}{x^{2} - 3}$

16)

$\begin{matrix} f (x) = \frac{2}{x - 3} \\ g (x) = x^{2} + 6 \end{matrix}$

المجال: ${x ∣ x \in R}$

$[f \circ g] (x) = \frac{2}{x^{2} + 3}$

17)

$\begin{aligned} f (x) = \sqrt{x + 4} \\ g (x) = x^{2} - 4 \end{aligned}$

المجال: ${x ∣ x \in R}$

$[f \circ g] (x) = x$

18)

$\begin{array}{r} f (x) = \frac{5}{x} \\ g (x) = \sqrt{6 - x} \end{array}$

المجال: ${x ∣ x < 6, x \in R}$

$[f \circ g] (x) = \frac{5}{\sqrt{6 - x}}$

19)

$\begin{array}{r} f (x) = - \frac{4}{x} \\ g (x) = \sqrt{x + 8} \end{array}$

المجال: ${x ∣ x > - 8, x \in R}$

$[f \circ g] (x) = \frac{- 4}{\sqrt{x + 8}}$

20)

$\begin{matrix} f (x) = \sqrt{x + 5} \\ g (x) = x^{2} + 4 x - 1 \end{matrix}$

المجال: ${x ∣ x \in R}$

$[f \circ g] (x) = x + 2$

21) النظرية النسبية: في النظرية النسبية $m (v) = \frac{100}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ حيث c سرعة الضوء وتساوي 300 مليون متر في الثانية، وm كتلة جسم يسير بسرعة v متر في الثانية، وكتلته الأصلية kg100.

a) هل توجد قيود على مجال الدالة m؟ برر إجابتك.

${v ∣ 0 \leq v < c, v \in R}$

b) أوجد m(10), m(10000), m(1000000).

$\begin{aligned} m (10) = 100 kg \\ m (10000) = 100.0000001 kg \\ m (1000000) = 100.0005556 kg \end{aligned}$

c) صف سلوك طرفي التمثيل البياني للدالة m(v) عندما تقترب v من c من اليسار.

عندما تقترب v من c من اليسار تزداد قيمة v وعندما تزداد قيمة v يكون m(v) تقترب من $\infty$

d) اكتب الدالة على صورة تركيب دالتين.

$\begin{aligned} m (v) = f (g (v)) \\ f (v) = \frac{100}{\sqrt{1 - v^{2}}}, g (v) = \frac{v}{c} \end{aligned}$

أوجد دالتين g ,f لكل مما يأتي بحيث يكون $h (x) = [f \circ g] (x)$ على ألا تكون أي منهما الدالة المحايدة l(x)=x.

22) $h (x) = \sqrt{4 x + 2} + 7$

$\begin{aligned} f (x) = \sqrt{x} + 7 \\ g (x) = 4 x + 2 \end{aligned}$

23) $h (x) = \frac{6}{x + 5} - 8$

$\begin{aligned} f (x) = \frac{6}{x} - 8 \\ g (x) = x + 5 \end{aligned}$

24) $h (x) = | 4 x + 8 | - 9$

$\begin{aligned} f (x) = | x | - 9 \\ g (x) = 4 x + 8 \end{aligned}$

25) $h (x) = [- 3 (x - 9)]$

$\begin{aligned} f (x) = [- 3 x] \\ g (x) = x - 9 \end{aligned}$

26) $h (x) = \sqrt{\frac{5 - x}{x + 2}}$

$\begin{aligned} f (x) = \sqrt{x} \\ g (x) = \frac{5 - x}{x + 2} \end{aligned}$

27) $h (x) = (\sqrt{x} + 4)^{3}$

$\begin{aligned} f (x) = x^{3} \\ g (x) = \sqrt{x} + 4 \end{aligned}$

28) $h (x) = \frac{8}{(x - 5)^{2}}$

$\begin{aligned} f (x) = \frac{8}{x^{2}} \\ g (x) = x - 5 \end{aligned}$

29) $h (x) = \frac{\sqrt{4 + x}}{x - 2}$

$\begin{aligned} f (x) = \frac{\sqrt{x^{2}}}{x - 6} \\ g (x) = x + 4 \end{aligned}$

30) ميكانيكا الكم: يعطى طول الموجة λ لجسم كتلته m kg، ويتحرك بسرعة v متر في الثانية بالدالة $λ = \frac{h}{m v}$ حيث h ثابت يساوي ^34-10×6.626.

a) أوجد دالة تمثل طول الموجة لجسم كتلته 25 kg بدلالة سرعته.

$f (v) = \frac{h}{25 v}$

b) هل توجد قيود على مجال الدالة؟ برر إجابتك.

قيمة v ليست 0. وإذا كانت تساوي الصفر فلا يوجد طول للموجة.

c) إذا تحرك الجسم بسرعة 8 أمتار في الثانية، فأوجد طول الموجة بدلالة h.

$λ = \frac{h}{200}$

d) اكتب الدالة في الفقرة a على صورة تركيب دالتين.

$\begin{matrix} f (v) = a [b (v)] = \frac{h}{25 v} \\ a (v) = \frac{h}{v} \end{matrix}$

31) وظائف: يعمل شخص في قسم المبيعات في إحدى الشركات ويتقاضى راتباً وعمولة سنوية مقدارها %4 من المبيعات التي تزيد قيمتها على 300000 ريال، افترض أن f(x)=x-300000، h(x)=0.04x.

a) إذا كانت قيمة المبيعات (x) تزيد على 300000 ريال، فهل تمثل المعلومة بالدالة f[h(x)] أم بالدالة h[f(x)]؟ برر إجابتك.

وتحسب العمولة بعد طرح الحد الأدنى المطلوب من المبيعات الفعلية.

b) أوجد قيمة العمولة التي يتقاضاها الشخص، إذا كانت مبيعاته 450000 ريال في تلك السنة.

6000 ريال.

أوجد دالتين f, g لكل مما يأتي بحيث يكون $h (x) = [f \circ g] (x)$ على ألا تكون أي من الدالتين الدالة المحايدة l(x)=x.

32) $h (x) = \sqrt{x^{3} - 4}$

$\begin{aligned} f (x) = \sqrt{x} \\ g (x) = x^{3} - 4 \end{aligned}$

33) $h (x) = \sqrt{x - 1} - \frac{4}{x}$

$\begin{aligned} f (x) = x - \frac{4}{x^{2} + 1} \\ g (x) = \sqrt{x - 1} \end{aligned}$

34) $h (x) = \frac{x}{2 x - 1} + \sqrt{\frac{4}{x}}$

$\begin{aligned} f (x) = \frac{x - 4}{2 x - 9} + \sqrt{\frac{4}{x - 4}} \\ g (x) = x + 4 \end{aligned}$

أوجد $f (0.5), f (- 6), f (x + 1)$ في كل مما يأتي مقرباً الناتج إلى أقرب جزء من عشرة إذا لزم ذلك.

35) $f (x) - g (x) = x^{2} + x - 6, g (x) = x + 4$

$\begin{aligned} f (0.5) = - 0.75 \\ f (- 6) = 22 \\ f (x + 1) = x^{2} + 4 x + 1 \end{aligned}$

36) $f (x) + g (x) = \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x} - \frac{1}{3}, g (x) = 2 x$

$\begin{aligned} f (0.5) = 8.7 \\ f (- 6) = 11.6 \\ f (x + 1) = \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} + \frac{1}{x + 1} - 2 x - \frac{7}{3} \end{aligned}$

37) $g (x) = f (x) - 18 x^{2} + \frac{\sqrt{2}}{x}, g (x) = \sqrt{1 - x}$

$\begin{aligned} f (0.5) = 8.7 \\ f (- 6) = 11.6 \\ f (x + 1) = \sqrt{- x} + 18 x^{2} + 36 x + 11 \end{aligned}$

أوجد $[f \circ g \circ h] (x)$ في كل مما يأتي:

38)

$\begin{aligned} f (x) = x + 8 \\ g (x) = x^{2} - 6 \\ h (x) = \sqrt{x} + 3 \end{aligned}$

$[f \circ g \circ h] (x) = x + 6 \sqrt{x} + 11$

39)

$\begin{array}{r} f (x) = \sqrt{x + 5} \\ g (x) = x^{2} - 3 \\ h (x) = \frac{1}{x} \end{array}$

$[f \circ g \circ h] (x) = \sqrt{\frac{1}{x^{2}}} + 2$

40) إذا كانت f(x)=x+2، فأوجد g(x) في كل حالة مما يأتي:

a) $[f \circ g] (x) = | 6 x |$

g(x)=x²+4

b) $[g \circ f] (x) = 200 x + 25$

g(x)=4x+8

41) إذا كانت $f (x) = \sqrt{4 x}$ ، فأوجد g(x) في كل حالة مما يأتي:

a) $[f \circ g] (x) = | 6 x |$

g(x)=9x²

b) $[g \circ f] (x) = 200 x + 25$

g(x)=50x²+25

42) إذا كانت f(x)=4x²، فأوجد g(x) في كل حالة مما يأتي:

a) $[f \cdot g] (x) = x$

$g (x) = \frac{1}{4 x}$

b) $[f \cdot g] (x) = 4 x$

$g (x) = \sqrt{x}$

باستعمال منحنيي الدالتين f(x), g(x) الممثلين في الشكل أدناه، أوجد:

التمثيل البياني

43) f(+g)(2)

44) (f-g)(-6)

45) $(f \cdot g) (4)$

46) $(\frac{f}{g}) (- 2)$

$\frac{4}{3}$

47) $(f \circ g) (- 4)$

48) $(g \circ f) (6)$

49) كيمياء: إذا كان v(m) معدل سرعة جزيئات غاز عند درجة C°30 بالمتر لكل ثانية تعطى بالدالة $v (m) = \sqrt{\frac{(24.9435) (303)}{m}}$ ، حيث m الكتلة المولية للغاز مقاسة بالكيلوجرام لكل مول.

a) هل توجد قيود على مجال الدالة؟ فسّر معناها.

${m ∣ m > 0, m \in R}$ لا يمكن أن تكون كتبة جسم ما سالبة أو تساوي الصفر.

b) أوجد معدل سرعة جزيئات الغاز إذا كانت كتلته المولية 145 كيلوجراماً لكل مول عند درجة C°30.

7.22m/s

c) كيف يتغير معدل سرعة جزيئات غاز عندما تزداد كتلة الغاز المولية؟

تتناقص سرعتها.

d) اكتب الدالة على صورة تركيب دالتين.

$v (m) = (f \circ g) (m) \begin{matrix} f (m) = \sqrt{m} \\ g (m) = \frac{(24.9435) (303)}{m} \end{matrix}$

أوجد ثلاث دوال f, g, h بحيث يكون $a (x) = [f \circ g \circ h] (x)$ في كل مما يأتي:

50) $a (x) = (\sqrt{x - 7} + 4)^{2}$

$\begin{aligned} f (x) = x^{2} \\ g (x) = \sqrt{x} + 4 \\ h (x) = x - 7 \end{aligned}$

51) $a (x) = \sqrt{(x - 5)^{2} + 8}$

$\begin{aligned} f (x) = \sqrt{x} \\ g (x) = x^{2} + 8 \\ h (x) = x - 5 \end{aligned}$

52) $a (x) = \frac{3}{(x - 3)^{2} + 4}$

$\begin{aligned} f (x) = \frac{3}{x} \\ g (x) = x^{2} + 4 \\ h (x) = x - 3 \end{aligned}$

53) $a (x) = \frac{4}{(\sqrt{x} + 3)^{2} + 1}$

$\begin{aligned} f (x) = \frac{4}{x + 1} \\ g (x) = x^{2} \\ h (x) = \sqrt{x} + 3 \end{aligned}$

أوجد $f \circ g, g \circ f$ f لكل زوج من الدوال الآتية، وحدد أية قيود على مجال دالة التركيب في كل حالة:

54)

$\begin{aligned} f (x) = x^{2} - 6 x + 5 \\ g (x) = \sqrt{x + 4} + 3 \end{aligned}$

$\begin{aligned} [f \circ g] (x) = x \\ [g \circ f] (x) = x - 3 \end{aligned} المجال : {x ∣ x \geq - 4, x \in R}$

55)

$\begin{matrix} f (x) = \sqrt{x + 6} \\ g (x) = \sqrt{16 + x^{2}} \end{matrix}$

$\begin{aligned} [f \circ g] (x) = \sqrt{\sqrt{16 + x^{2}} + 6} \\ [g \circ f] (x) = \sqrt{x + 22} \end{aligned} المجال : {x ∣ x \geq - 6, x \in R}$

56)

$\begin{array}{r} f (x) = \sqrt{x} \\ g (x) = \sqrt{9 - x^{2}} \end{array}$

$\begin{aligned} [f \circ g] (x) = \sqrt[4]{9 - x^{2}} المجال : {x ∣ x \geq - 4, x \in R} \\ [g \circ f] (x) = \sqrt{9 - x^{2}} المجال : {x ∣ 0 \leq x \leq 9, x \in R} \end{aligned}$

57)

$\begin{matrix} f (x) = \frac{6}{2 x + 1} \\ g (x) = \frac{4}{4 - x} \end{matrix}$

58) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة سوف تستقصي الدالة العكسية.

جدول القيم

a) جبرياً: أوجد f ◦ g لكل زوج من الدوال في الجدول المجاور.

$[f \circ g] (x) = x$

b) لفظياً: صف العلاقة بين تركيب كل زوج من الدوال.

لكل زوج من الدوال تختصر الأعداد بعضها البعض على ألا يكون للترتيب أية معاملات غير الواحد، ولا يبقى ثوابت.

c) بيانياً: مثل كل زوج من الدوال في المستوى الإحداثي نفسه، ثم ارسم محور الانعكاس بإيجاد منتصف القطعة المستقيمة الواصلة بين النقاط المتناظرة.

التمثيل البياني

d) لفظياً: خمن معادلة محور الانعكاس.

محور الانعكاس بين كل زوج من الدوال هو المستقيم y=x.

e) تحليلياً: ما الدالة الرئيسة (الأم) التي تساوي كل من $[f \circ g] (x), [\begin{array}{ll} g \circ f \end{array}) (x)$ ؟

يكافئ كل من التركيبين $[g \circ f] (x), [f \circ g] (x)$ الدالة المحايدة.

f) تحليلياً: أوجد g(x) بحيث يكون $[f \circ g] (x) = [\begin{array}{ll} g \circ f \end{array}] (x) = x$ في كل مما يأتي:

a) f(x)=x-6

g(x)=x+6

b) f(x)=x⁵

g(x)=5x

c) $f (x) = \frac{x}{3}$

$g (x) = \sqrt[4]{x}$

d) f(x)=2x-3

$g (x) = \frac{x + 3}{2}$

مثل كل من الدوال الآتية بيانياً باستعمال الشكل المجاور، ففي السؤال 59 مثل الدوال f, h, f+h في المستوى الإحداثي نفسه وهكذا في الأسئلة 62-60.

التمثيل البياني

59) ( f + h)(x)

التمثيل البياني

60) (h - f )(x)

التمثيل البياني

61) ( f + g)(x)

التمثيل البياني

62) (h + g)(x)

التمثيل البياني

حدد مجال كل من دالتي التركيب الآتيتين، باستعمال الشكل الآتي:

التمثيل البياني

63) ( f ◦ g)(x)

$[- 10, - 4] \cup [2, 8] = {x ∣ - 10 \leq x \leq - 4 R 2 \leq 8, x \in x}$

64) ( g ◦ f )(x)

${x ∣ - 4 \leq x \leq 10, x \in R}$

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أوجد (f+g)(x),(f−g)(x),(f∘g)(x),(fg)(x) للدالتين f(x),g(x) في كل مما يأتي، وحدد مجال كل من الدوال الناتجة:

1)

f(x)=x2+4g(x)=x

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

أوجد [f∘g](x),[g∘f](x),[f∘g](6) لكل زوج من الدوال الآتية:

11)

12)

13)

14)

حدد مجال g◦f ، ثم أوجد g◦f لكل زوج من الدوال الآتية:

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21) النظرية النسبية: في النظرية النسبية m(v)=1001−v2c2 حيث c سرعة الضوء وتساوي 300 مليون متر في الثانية، وm كتلة جسم يسير بسرعة v متر في الثانية، وكتلته الأصلية kg100.

a) هل توجد قيود على مجال الدالة m؟ برر إجابتك.

b) أوجد m(10), m(10000), m(1000000).

c) صف سلوك طرفي التمثيل البياني للدالة m(v) عندما تقترب v من c من اليسار.

d) اكتب الدالة على صورة تركيب دالتين.

أوجد دالتين g ,f لكل مما يأتي بحيث يكون h(x)=[f∘g](x) على ألا تكون أي منهما الدالة المحايدة l(x)=x.

22) h(x)=4x+2+7

23) h(x)=6x+5−8

24) h(x)=|4x+8|−9

25) h(x)=[−3(x−9)]

26) h(x)=5−xx+2

27) h(x)=(x+4)3

28) h(x)=8(x−5)2

29) h(x)=4+xx−2

30) ميكانيكا الكم: يعطى طول الموجة λ لجسم كتلته m kg، ويتحرك بسرعة v متر في الثانية بالدالة λ=hmv حيث h ثابت يساوي 34-10×6.626.

a) أوجد دالة تمثل طول الموجة لجسم كتلته 25 kg بدلالة سرعته.

b) هل توجد قيود على مجال الدالة؟ برر إجابتك.

c) إذا تحرك الجسم بسرعة 8 أمتار في الثانية، فأوجد طول الموجة بدلالة h.

d) اكتب الدالة في الفقرة a على صورة تركيب دالتين.

31) وظائف: يعمل شخص في قسم المبيعات في إحدى الشركات ويتقاضى راتباً وعمولة سنوية مقدارها %4 من المبيعات التي تزيد قيمتها على 300000 ريال، افترض أن f(x)=x-300000، h(x)=0.04x.

a) إذا كانت قيمة المبيعات (x) تزيد على 300000 ريال، فهل تمثل المعلومة بالدالة f[h(x)] أم بالدالة h[f(x)]؟ برر إجابتك.

b) أوجد قيمة العمولة التي يتقاضاها الشخص، إذا كانت مبيعاته 450000 ريال في تلك السنة.

أوجد دالتين f, g لكل مما يأتي بحيث يكون h(x)=[f∘g](x) على ألا تكون أي من الدالتين الدالة المحايدة l(x)=x.

32) h(x)=x3−4

33) h(x)=x−1−4x

34) h(x)=x2x−1+4x

أوجد f(0.5),f(−6),f(x+1) في كل مما يأتي مقرباً الناتج إلى أقرب جزء من عشرة إذا لزم ذلك.

35) f(x)−g(x)=x2+x−6,g(x)=x+4

36) f(x)+g(x)=2x2+1x−13,g(x)=2x

37) g(x)=f(x)−18x2+2x,g(x)=1−x

أوجد [f∘g∘h](x) في كل مما يأتي:

38)

39)

40) إذا كانت f(x)=x+2، فأوجد g(x) في كل حالة مما يأتي:

a) [f∘g](x)=|6x|

b) [g∘f](x)=200x+25

41) إذا كانت f(x)=4x، فأوجد g(x) في كل حالة مما يأتي:

a) [f∘g](x)=|6x|

b) [g∘f](x)=200x+25

42) إذا كانت f(x)=4x2، فأوجد g(x) في كل حالة مما يأتي:

a) [f⋅g](x)=x

b) [f⋅g](x)=4x

باستعمال منحنيي الدالتين f(x), g(x) الممثلين في الشكل أدناه، أوجد:

43) f(+g)(2)

44) (f-g)(-6)

45) (f⋅g)(4)

46) (fg)(−2)

47) (f∘g)(−4)

48) (g∘f)(6)

49) كيمياء: إذا كان v(m) معدل سرعة جزيئات غاز عند درجة C°30 بالمتر لكل ثانية تعطى بالدالة v(m)=(24.9435)(303)m، حيث m الكتلة المولية للغاز مقاسة بالكيلوجرام لكل مول.

a) هل توجد قيود على مجال الدالة؟ فسّر معناها.

b) أوجد معدل سرعة جزيئات الغاز إذا كانت كتلته المولية 145 كيلوجراماً لكل مول عند درجة C°30.

c) كيف يتغير معدل سرعة جزيئات غاز عندما تزداد كتلة الغاز المولية؟

d) اكتب الدالة على صورة تركيب دالتين.

أوجد ثلاث دوال f, g, h بحيث يكون a(x)=[f∘g∘h](x) في كل مما يأتي:

أوجد $(f + g) (x), (f - g) (x), (f \circ g) (x), (\frac{f}{g}) (x)$ للدالتين f(x),g(x) في كل مما يأتي، وحدد مجال كل من الدوال الناتجة:

$\begin{aligned} f (x) = x^{2} + 4 \\ g (x) = \sqrt{x} \end{aligned}$

أوجد $[f \circ g] (x), [g \circ f] (x), [f \circ g] (6)$ لكل زوج من الدوال الآتية:

أوجد دالتين g ,f لكل مما يأتي بحيث يكون $h (x) = [f \circ g] (x)$ على ألا تكون أي منهما الدالة المحايدة l(x)=x.

22) $h (x) = \sqrt{4 x + 2} + 7$

23) $h (x) = \frac{6}{x + 5} - 8$

24) $h (x) = | 4 x + 8 | - 9$

25) $h (x) = [- 3 (x - 9)]$

26) $h (x) = \sqrt{\frac{5 - x}{x + 2}}$

27) $h (x) = (\sqrt{x} + 4)^{3}$

28) $h (x) = \frac{8}{(x - 5)^{2}}$

29) $h (x) = \frac{\sqrt{4 + x}}{x - 2}$

30) ميكانيكا الكم: يعطى طول الموجة λ لجسم كتلته m kg، ويتحرك بسرعة v متر في الثانية بالدالة $λ = \frac{h}{m v}$ حيث h ثابت يساوي ^34-10×6.626.

أوجد دالتين f, g لكل مما يأتي بحيث يكون $h (x) = [f \circ g] (x)$ على ألا تكون أي من الدالتين الدالة المحايدة l(x)=x.

32) $h (x) = \sqrt{x^{3} - 4}$

33) $h (x) = \sqrt{x - 1} - \frac{4}{x}$

34) $h (x) = \frac{x}{2 x - 1} + \sqrt{\frac{4}{x}}$

أوجد $f (0.5), f (- 6), f (x + 1)$ في كل مما يأتي مقرباً الناتج إلى أقرب جزء من عشرة إذا لزم ذلك.

35) $f (x) - g (x) = x^{2} + x - 6, g (x) = x + 4$

36) $f (x) + g (x) = \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x} - \frac{1}{3}, g (x) = 2 x$

37) $g (x) = f (x) - 18 x^{2} + \frac{\sqrt{2}}{x}, g (x) = \sqrt{1 - x}$

أوجد $[f \circ g \circ h] (x)$ في كل مما يأتي:

a) $[f \circ g] (x) = | 6 x |$

b) $[g \circ f] (x) = 200 x + 25$

41) إذا كانت $f (x) = \sqrt{4 x}$ ، فأوجد g(x) في كل حالة مما يأتي:

a) $[f \circ g] (x) = | 6 x |$

b) $[g \circ f] (x) = 200 x + 25$

42) إذا كانت f(x)=4x²، فأوجد g(x) في كل حالة مما يأتي:

a) $[f \cdot g] (x) = x$

b) $[f \cdot g] (x) = 4 x$

45) $(f \cdot g) (4)$

46) $(\frac{f}{g}) (- 2)$

47) $(f \circ g) (- 4)$

48) $(g \circ f) (6)$

49) كيمياء: إذا كان v(m) معدل سرعة جزيئات غاز عند درجة C°30 بالمتر لكل ثانية تعطى بالدالة $v (m) = \sqrt{\frac{(24.9435) (303)}{m}}$ ، حيث m الكتلة المولية للغاز مقاسة بالكيلوجرام لكل مول.

أوجد ثلاث دوال f, g, h بحيث يكون $a (x) = [f \circ g \circ h] (x)$ في كل مما يأتي:

50) $a (x) = (\sqrt{x - 7} + 4)^{2}$

51) $a (x) = \sqrt{(x - 5)^{2} + 8}$

52) $a (x) = \frac{3}{(x - 3)^{2} + 4}$

53) $a (x) = \frac{4}{(\sqrt{x} + 3)^{2} + 1}$

أوجد $f \circ g, g \circ f$ f لكل زوج من الدوال الآتية، وحدد أية قيود على مجال دالة التركيب في كل حالة:

e) تحليلياً: ما الدالة الرئيسة (الأم) التي تساوي كل من $[f \circ g] (x), [\begin{array}{ll} g \circ f \end{array}) (x)$ ؟

f) تحليلياً: أوجد g(x) بحيث يكون $[f \circ g] (x) = [\begin{array}{ll} g \circ f \end{array}] (x) = x$ في كل مما يأتي:

b) f(x)=x⁵

c) $f (x) = \frac{x}{3}$

أوجد $(f + g) (x), (f - g) (x), (f \circ g) (x), (\frac{f}{g}) (x)$ للدالتين f(x),g(x) في كل مما يأتي، وحدد مجال كل من الدوال الناتجة:

$\begin{aligned} f (x) = x^{2} + 4 \\ g (x) = \sqrt{x} \end{aligned}$

أوجد $[f \circ g] (x), [g \circ f] (x), [f \circ g] (6)$ لكل زوج من الدوال الآتية:

أوجد دالتين g ,f لكل مما يأتي بحيث يكون $h (x) = [f \circ g] (x)$ على ألا تكون أي منهما الدالة المحايدة l(x)=x.

22) $h (x) = \sqrt{4 x + 2} + 7$