حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حل كل معادلة مما يأتي:

1) $8^{4 x + 2} = 64$

$\begin{aligned} 8^{4 x + 2} = 64 = 8^{2} \\ ∴ 4 x + 2 = 2 \\ ∴ 4 x = 0 \\ ∴ x = 0 \end{aligned}$

2) $5^{x - 6} = 125$

$\begin{aligned} 5^{x - 6} = 124 = 5^{3} \\ ∴ x - 6 = 3 \\ ∴ x = 3 + 6 \\ ∴ x = 9 \end{aligned}$

3) $3^{5 x} = 27^{2 x - 4}$

$\begin{aligned} 3^{5 x} = 27^{2 x - 4} = 3^{3 (2 x - 4)} \\ ∴ 5 x = 6 x - 12 \\ ∴ - x = - 12 \\ ∴ x = 12 \end{aligned}$

4) $16^{2 y - 3} = 4^{y + 1}$

$\begin{aligned} 16^{2 y - 3} = 4^{2 (2 y - 3)} = 4^{y + 1} \\ ∴ 4 y - 6 = y + 1 \\ ∴ 3 y = 7 \\ ∴ y = \frac{7}{3} \end{aligned}$

5) $2^{6 x} = 32^{x - 2}$

$\begin{aligned} 2^{6 x} = 32^{x - 2} = 2^{5 (x - 2)} \\ ∴ 6 x = 5 x - 10 \\ ∴ x = - 10 \end{aligned}$

6) $49^{x + 5} = 7^{8 x - 6}$

$\begin{aligned} 49^{x + 5} = 7^{2 (x + 5)} = 7^{8 x - 6} \\ ∴ 2 x + 10 = 8 x - 6 \\ ∴ 6 x = 16 \\ ∴ x = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \end{aligned}$

7) $81^{a + 2} = 3^{3 a + 1}$

$\begin{aligned} 81^{a + 2} = 3^{4 (a + 2)} = 3^{3 a + 1} \\ ∴ 4 a + 8 = 3 a + 1 \\ ∴ a = 1 - 8 \\ ∴ x = - 7 \end{aligned}$

8) $256^{b + 2} = 4^{2 - 2 b}$

$\begin{aligned} 256^{b + 2} = 4^{4 (b + 2)} = 4^{2 - 2} b \\ ∴ 4 b + 8 = 2 - 2 b \\ ∴ 6 b = - 6 \\ ∴ b = - 1 \end{aligned}$

9) $9^{3 c + 1} = 27^{3 c - 1}$

$\begin{aligned} 9^{3 c + 1} = 3^{2 (3 c + 1)} = 27^{3 c - 1} = 3^{3 (3 c - 1)} \\ ∴ 6 c + 2 = 9 c - 3 \\ ∴ 3 c = 5 \\ ∴ c = \frac{5}{3} \end{aligned}$

10) $8^{2 y + 4} = 16^{y + 1}$

$\begin{aligned} 8^{2 y + 4} = 16^{y + 1} \\ ∴ 2^{3 (2 y + 4)} = 2^{4 (y + 1)} \\ ∴ 6 y + 12 = 4 y + 4 \\ ∴ 2 y = - 8 \\ ∴ y = - 4 \end{aligned}$

11) علوم: الانقسام هو عملية حيوية يتم فيها انشطار الخلية إلى خليتين مطابقتين تماماً للخلية الأصلية، وتنقسم إحدى أنواع الخلايا البكتيرية كل 15 دقيقة.

a) اكتب دالة أسية على الصورة c=ab^t تمثل عدد الخلايا البكتيرية c المتكونة من انقسام خلية واحدة بعد t من الدقائق.

$C = 2^{\frac{t}{15}}$

b) إذا بدأت خلية بكتيرية واحدة بالانقسام، فكم خلية ستتكون بعد ساعة؟

$C = 2^{\frac{60}{15}} = 2^{4} = 16$

12) مال: ورث خالد مبلغ 100000 ريال عن والده عام 1430هـ، واستثمره في مشروع تجاري، وقدر خالد أن المبلغ المستثمر سيصبح 169588 ريالاً بحلول عام 1442هـ.

a) اكتب دالة أسية على الصورة y=ab^x تمثل المبلغ y بدلالة عدد السنوات x منذ عام 1430 هـ.

$y = 100000 (1.045)^{x}$

b) افترض أن المبلغ استمر في الزيادة بالمعدل نفسه، فكم سيصبح عام 1450 هـ إلى أقرب منزلتين عشريتين؟

$y = 100000 (1.045)^{12} = 241171.4$

13) استثمر حسن مبلغ 70000 ريال متوقعاً ربحا سنوياً نسبته %4.3، بحيث تضاف الأرباح إلى رأس المال كل شهر، ما المبلغ الكلي المتوقع بعد 7 سنوات إلى أقرب منزلتين عشريتين؟

$70000 {(1 + \frac{0.043}{12})}^{12.7} = 94533.78$

14) استثمر ماجد مبلغ 70000 ريال متوقعاً ربحا سنوياً نسبته %2.25، بحيث تضاف الأرباح إلى رأس المال كل شهر. ما المبلغ الكلي المتوقع بعد 6 سنوات إلى أقرب منزلتين عشريتين؟

$50000 {(1 + \frac{0.0225}{24})}^{24.6} = 57223.22$

حل كل متباينة مما يأتي:

15) $4^{2 x + 6} \leq 64^{2 x - 4}$

$\begin{aligned} 4^{2 x + 6} \geq 64^{2 x - 4} \\ ∴ 4^{2 x + 6} \geq 4^{3 (2 x - 4)} \\ ∴ 2 x + 6 \geq 6 x - 12 \\ ∴ 18 \geq 4 x \\ ∴ 4 .5 \geq x \end{aligned}$

16) $25^{y - 3} \leq {(\frac{1}{125})}^{y + 3}$

$\begin{aligned} ∴ 25^{y - 3} \leq 25^{- 2 (y + 3)} \\ ∴ y - 3 \leq - 2 y - 6 \\ ∴ 3 y \leq - 3 \\ ∴ y \leq - 1 \end{aligned}$

17) $625 \geq 5^{a + 8}$

$\begin{aligned} 5^{4} \geq 5^{a + 8} \\ ∴ 4 \geq a + 8 \\ ∴ - 4 \geq a \end{aligned}$

18) $10^{5 b + 2} > 1000$

$\begin{aligned} 10^{5 b + 2} > 10^{3} \\ ∴ 5 b + 2 > 3 \\ ∴ 5 b > 1 \\ ∴ b > \frac{1}{5} \end{aligned}$

19) ${(\frac{1}{64})}^{c - 2} < 32^{2 c}$

$\begin{aligned} ∴ 2^{- 6 (c - 2)} < 2^{5 (2 c)} \\ ∴ - 6 c + 12 < 10 c \\ ∴ 12 < 16 c \\ ∴ \frac{12}{16} < c \\ ∴ \frac{3}{4} < c \end{aligned}$

20) ${(\frac{1}{9})}^{3 t + 5} \geq {(\frac{1}{243})}^{t - 6}$

$\begin{aligned} ∴ {(\frac{1}{3})}^{2 (3 t + 5)} \geq {(\frac{1}{3})}^{5 (t - 6)} \\ ∴ 6 t + 10 \geq 5 t - 30 \\ ∴ t \geq - 40 \end{aligned}$

اكتب دالة أسية على الصورة y=ab^x للتمثيل البياني المار بكل زوج من النقاط فيما يأتي:

21) (3,100), (0, 6.4)

$y = 6.4 (2.5)^{x}$

22) (4, 81), (0, 256)

$y = 256 (0.75)^{x}$

23) (5,371293), (0, 128)

$y = 128 (4.926)^{x}$

24) (4, 21609), (0, 144)

$y = 144 (3.5)^{x}$

25) علوم: وضع كوب من الشاي درجة حرارته °90C في وسط درجة حرارته ثابتة وتساوي °20C، فتناقصت درجة حرارة الشاي، ويمكن تمثيل درجة حرارة الشاي بعد t دقيقة بالدالة: $\cdot y (t) = 20 + 70 (1.071)^{- t}$

a) أوجد درجة حرارة الشاي بعد 15 دقيقة.

$\begin{aligned} y (15) & = 20 + 70 (1 .071)^{- 15} \\ = 45 .02 \dot{c} \end{aligned}$

b) أوجد درجة حرارة الشاي بعد 30 دقيقة.

$\begin{aligned} y (30) & = 20 + 70 (1 .071)^{- 30} \\ = 28 .942 \dot{c} \end{aligned}$

c) إذا كانت درجة الحرارة المناسبة لشرب الشاي هي °60C، فهل ستكون درجة حرارة الشاي مساوية لها أم أقل منها بعد 10 دقائق؟

أقل منهما

26) أشجار: يتناسب قطر قاعدة جذع شجرة بالسنتمترات طردياً مع ارتفاعها بالأمتار مرفوعاً للأس $\frac{3}{2}$ ، إذا بلغ ارتفاع شجرة 6m، وقطر قاعدة جذعها 19.1cm، فاكتب معادلة القطر d لقاعدة جذع الشجرة عندما يكون ارتفاعها h متر.

$d = 1.3 h^{1.5}$

حل كل معادلة أسية مما يأتي:

27) ${(\frac{1}{2})}^{4 x + 1} = 8^{2 x + 1}$

$\begin{aligned} 2^{- 4 x - 1} = 8^{2 x + 1} = 2^{3 (2 x + 1)} \\ ∴ - 4 x - 1 = 6 x + 3 \\ ∴ 10 x = - 4 \\ ∴ x = - \frac{4}{10} = - \frac{2}{5} \end{aligned}$

28) ${(\frac{1}{5})}^{x - 5} = 25^{3 x + 2}$

$\begin{aligned} 5^{- x + 5} = 25^{3 x + 2} = 5^{2 (3 x + 2)} \\ ∴ - x + 5 = 6 x + 4 \\ ∴ 7 x = 1 \\ ∴ x = \frac{1}{7} \end{aligned}$

29) $216 = {(\frac{1}{6})}^{x + 3}$

$\begin{aligned} ∴ 6^{3} = 6^{- x - 3} \\ ∴ 3 = - x - 3 \\ ∴ x = - 6 \end{aligned}$

30) ${(\frac{1}{8})}^{3 x + 4} = {(\frac{1}{4})}^{- 2 x + 4}$

$\begin{aligned} ∴ {(\frac{1}{2})}^{3 (3 x + 4)} = {(\frac{1}{2})}^{2 (- 2 x + 4)} \\ ∴ 9 x + 12 = - 4 x + 8 \\ ∴ 13 x = - 4 \\ ∴ x = - \frac{4}{13} \end{aligned}$

31) ${(\frac{2}{3})}^{5 x + 1} = {(\frac{27}{8})}^{x - 4}$

$\begin{aligned} ∴ {(\frac{2}{3})}^{5 x + 1} = {(\frac{2}{3})}^{- 3 (x - 4)} \\ ∴ 5 x + 1 = - 3 x + 12 \\ ∴ 8 x = 11 \\ ∴ x = \frac{11}{8} \end{aligned}$

32) ${(\frac{25}{81})}^{2 x + 1} = (\frac{729}{125}) - 3 x + 1$

$\begin{aligned} ∴ {(\frac{5}{9})}^{2 (2 x + 1)} = {(\frac{5}{9})}^{- 3 (- 3 x + 1)} \\ ∴ 4 x + 2 = 9 x - 3 \\ ∴ 5 x = 5 \\ ∴ x = 1 \end{aligned}$

33) سكان: بلغ عدد سكان العالم عام 1950م، 2.556 مليار نسمة، وبحلول عام 1980م أصبح 4.458 مليارات نسمة.

a) اكتب دالة أسية على صورة y=ab^x يمكن أن تمثل تزايد عدد سكان العالم من عام 1950م إلى عام 1980م بالمليار، حيث x عدد السنوات منذ عام 1950م (قرب قيمة b إلى أقرب جزء من عشرة آلاف).

$y = 2.556 (1.0187)^{x}$

b) افترض أن تزايد عدد السكان استمر بالمعدل نفسه، فقدر عدد سكان العالم عام 2000.

تقريباً 6.445 مليار

c) إذا كان عدد سكان العالم عام 2000م هو 6.08 مليارات نسمة تقريباً، فقارن بين تقديرك والعدد الحقيقي للسكان.

التقدير أكبر من العدد الحقيقي للسان بمقدار 375 مليون

d) استعمل الدالة التي توصلت إليها في فرع a لتقدير عدد سكان العالم عام 2020م. ما دقة تقديرك؟ وضح إجابتك.

التقدير 9.3498 مليار وبما أن التنبؤ بعدد السكان عام 200 كان أكبر من العدد الحقيقي، فقد يكون هذا التنبؤ أكبر مما يكون عليه في الواقع في ذلك الوقت.

34) ثقافة مالية: يفاضل سعيد بين خيارين للاستثمار الطويل الأمد، ويريد أن يختار أحدهما.

ثقافة مالية

a) اكتب دالة كل من الخيار الأول والخيار الثاني للاستثمار.

$A = 50000 {(\frac{4.065}{4})}^{4 t}$

$B = 50000 [(1.0035)^{12 t} + (1.0004423)^{52 t}]$

b) مثل بالحاسبة البيانية منحنى يوضح المبلغ الكلي من كل استثمار بعد t سنة.

التمثيل البياني

c) أي الخيارين أفضل في الاستثمار الخيار الأول أم الثاني؟ فسر إجابتك؟

خلال أول 22 سنة يكون الخيار الثاني أفضل لأن المبلغ المتجمع منه أكبر من المبلغ المتجمع من الخيار الأول.

35) تمثيلات متعددة: ستستكشف في هذا التمرين الزيادة المتسارعة في الدوال الأسية. قص ورقة إلى نصفين، وضع بعضهما وق بعض، ثم قصهما معا إلى نصفين وضع بعضهما فوق بعض، وكرر هذه العملية عدة مرات.

a) حسياً: عد قطع الورق الناتجة بعد القص الأول، ثم بعد القص الثاني، والثالث، والرابع.

بعد القص الأول 2

بعد القص الثاني 4

بعد القص الثالث 8

بعد القص الرابع 16

b) جدولياً: دون نتائجك في جدول.

عدد القص	1	2	3	4
عدد القطع	2	4	8	16

c) رمزياً: استعمل النمط في الجدول لكتابة معادلة تمثل عدد قطع الورق بعد القص x مرة.

$y = 2^{x}$

d) تحليلياً: يقدر سمك الورقة الاعتيادية 0.003in، اكتب معادلة تمثل سمك رزمة الورق بعد قصها x مرة.

$y = 0.003 (2)^{x}$

e) تحليلياً: ما سمك رزمة من الورق بعد قصها 30 مرة؟

$3221225.47 in$

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

فيديو حل اسئلة تدرب وحل المسائل

النقاشات

لايوجد نقاشات

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حل كل معادلة مما يأتي:

1) $8^{4 x + 2} = 64$

$\begin{aligned} 8^{4 x + 2} = 64 = 8^{2} \\ ∴ 4 x + 2 = 2 \\ ∴ 4 x = 0 \\ ∴ x = 0 \end{aligned}$

2) $5^{x - 6} = 125$

$\begin{aligned} 5^{x - 6} = 124 = 5^{3} \\ ∴ x - 6 = 3 \\ ∴ x = 3 + 6 \\ ∴ x = 9 \end{aligned}$

3) $3^{5 x} = 27^{2 x - 4}$

$\begin{aligned} 3^{5 x} = 27^{2 x - 4} = 3^{3 (2 x - 4)} \\ ∴ 5 x = 6 x - 12 \\ ∴ - x = - 12 \\ ∴ x = 12 \end{aligned}$

4) $16^{2 y - 3} = 4^{y + 1}$

$\begin{aligned} 16^{2 y - 3} = 4^{2 (2 y - 3)} = 4^{y + 1} \\ ∴ 4 y - 6 = y + 1 \\ ∴ 3 y = 7 \\ ∴ y = \frac{7}{3} \end{aligned}$

5) $2^{6 x} = 32^{x - 2}$

$\begin{aligned} 2^{6 x} = 32^{x - 2} = 2^{5 (x - 2)} \\ ∴ 6 x = 5 x - 10 \\ ∴ x = - 10 \end{aligned}$

6) $49^{x + 5} = 7^{8 x - 6}$

$\begin{aligned} 49^{x + 5} = 7^{2 (x + 5)} = 7^{8 x - 6} \\ ∴ 2 x + 10 = 8 x - 6 \\ ∴ 6 x = 16 \\ ∴ x = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \end{aligned}$

7) $81^{a + 2} = 3^{3 a + 1}$

$\begin{aligned} 81^{a + 2} = 3^{4 (a + 2)} = 3^{3 a + 1} \\ ∴ 4 a + 8 = 3 a + 1 \\ ∴ a = 1 - 8 \\ ∴ x = - 7 \end{aligned}$

8) $256^{b + 2} = 4^{2 - 2 b}$

$\begin{aligned} 256^{b + 2} = 4^{4 (b + 2)} = 4^{2 - 2} b \\ ∴ 4 b + 8 = 2 - 2 b \\ ∴ 6 b = - 6 \\ ∴ b = - 1 \end{aligned}$

9) $9^{3 c + 1} = 27^{3 c - 1}$

$\begin{aligned} 9^{3 c + 1} = 3^{2 (3 c + 1)} = 27^{3 c - 1} = 3^{3 (3 c - 1)} \\ ∴ 6 c + 2 = 9 c - 3 \\ ∴ 3 c = 5 \\ ∴ c = \frac{5}{3} \end{aligned}$

10) $8^{2 y + 4} = 16^{y + 1}$

$\begin{aligned} 8^{2 y + 4} = 16^{y + 1} \\ ∴ 2^{3 (2 y + 4)} = 2^{4 (y + 1)} \\ ∴ 6 y + 12 = 4 y + 4 \\ ∴ 2 y = - 8 \\ ∴ y = - 4 \end{aligned}$

11) علوم: الانقسام هو عملية حيوية يتم فيها انشطار الخلية إلى خليتين مطابقتين تماماً للخلية الأصلية، وتنقسم إحدى أنواع الخلايا البكتيرية كل 15 دقيقة.

a) اكتب دالة أسية على الصورة c=ab^t تمثل عدد الخلايا البكتيرية c المتكونة من انقسام خلية واحدة بعد t من الدقائق.

$C = 2^{\frac{t}{15}}$

b) إذا بدأت خلية بكتيرية واحدة بالانقسام، فكم خلية ستتكون بعد ساعة؟

$C = 2^{\frac{60}{15}} = 2^{4} = 16$

12) مال: ورث خالد مبلغ 100000 ريال عن والده عام 1430هـ، واستثمره في مشروع تجاري، وقدر خالد أن المبلغ المستثمر سيصبح 169588 ريالاً بحلول عام 1442هـ.

a) اكتب دالة أسية على الصورة y=ab^x تمثل المبلغ y بدلالة عدد السنوات x منذ عام 1430 هـ.

$y = 100000 (1.045)^{x}$

b) افترض أن المبلغ استمر في الزيادة بالمعدل نفسه، فكم سيصبح عام 1450 هـ إلى أقرب منزلتين عشريتين؟

$y = 100000 (1.045)^{12} = 241171.4$

13) استثمر حسن مبلغ 70000 ريال متوقعاً ربحا سنوياً نسبته %4.3، بحيث تضاف الأرباح إلى رأس المال كل شهر، ما المبلغ الكلي المتوقع بعد 7 سنوات إلى أقرب منزلتين عشريتين؟

$70000 {(1 + \frac{0.043}{12})}^{12.7} = 94533.78$

14) استثمر ماجد مبلغ 70000 ريال متوقعاً ربحا سنوياً نسبته %2.25، بحيث تضاف الأرباح إلى رأس المال كل شهر. ما المبلغ الكلي المتوقع بعد 6 سنوات إلى أقرب منزلتين عشريتين؟

$50000 {(1 + \frac{0.0225}{24})}^{24.6} = 57223.22$

حل كل متباينة مما يأتي:

15) $4^{2 x + 6} \leq 64^{2 x - 4}$

$\begin{aligned} 4^{2 x + 6} \geq 64^{2 x - 4} \\ ∴ 4^{2 x + 6} \geq 4^{3 (2 x - 4)} \\ ∴ 2 x + 6 \geq 6 x - 12 \\ ∴ 18 \geq 4 x \\ ∴ 4 .5 \geq x \end{aligned}$

16) $25^{y - 3} \leq {(\frac{1}{125})}^{y + 3}$

$\begin{aligned} ∴ 25^{y - 3} \leq 25^{- 2 (y + 3)} \\ ∴ y - 3 \leq - 2 y - 6 \\ ∴ 3 y \leq - 3 \\ ∴ y \leq - 1 \end{aligned}$

17) $625 \geq 5^{a + 8}$

$\begin{aligned} 5^{4} \geq 5^{a + 8} \\ ∴ 4 \geq a + 8 \\ ∴ - 4 \geq a \end{aligned}$

18) $10^{5 b + 2} > 1000$

$\begin{aligned} 10^{5 b + 2} > 10^{3} \\ ∴ 5 b + 2 > 3 \\ ∴ 5 b > 1 \\ ∴ b > \frac{1}{5} \end{aligned}$

19) ${(\frac{1}{64})}^{c - 2} < 32^{2 c}$

$\begin{aligned} ∴ 2^{- 6 (c - 2)} < 2^{5 (2 c)} \\ ∴ - 6 c + 12 < 10 c \\ ∴ 12 < 16 c \\ ∴ \frac{12}{16} < c \\ ∴ \frac{3}{4} < c \end{aligned}$

20) ${(\frac{1}{9})}^{3 t + 5} \geq {(\frac{1}{243})}^{t - 6}$

$\begin{aligned} ∴ {(\frac{1}{3})}^{2 (3 t + 5)} \geq {(\frac{1}{3})}^{5 (t - 6)} \\ ∴ 6 t + 10 \geq 5 t - 30 \\ ∴ t \geq - 40 \end{aligned}$

اكتب دالة أسية على الصورة y=ab^x للتمثيل البياني المار بكل زوج من النقاط فيما يأتي:

21) (3,100), (0, 6.4)

$y = 6.4 (2.5)^{x}$

22) (4, 81), (0, 256)

$y = 256 (0.75)^{x}$

23) (5,371293), (0, 128)

$y = 128 (4.926)^{x}$

24) (4, 21609), (0, 144)

$y = 144 (3.5)^{x}$

25) علوم: وضع كوب من الشاي درجة حرارته °90C في وسط درجة حرارته ثابتة وتساوي °20C، فتناقصت درجة حرارة الشاي، ويمكن تمثيل درجة حرارة الشاي بعد t دقيقة بالدالة: $\cdot y (t) = 20 + 70 (1.071)^{- t}$

a) أوجد درجة حرارة الشاي بعد 15 دقيقة.

$\begin{aligned} y (15) & = 20 + 70 (1 .071)^{- 15} \\ = 45 .02 \dot{c} \end{aligned}$

b) أوجد درجة حرارة الشاي بعد 30 دقيقة.

$\begin{aligned} y (30) & = 20 + 70 (1 .071)^{- 30} \\ = 28 .942 \dot{c} \end{aligned}$

c) إذا كانت درجة الحرارة المناسبة لشرب الشاي هي °60C، فهل ستكون درجة حرارة الشاي مساوية لها أم أقل منها بعد 10 دقائق؟

أقل منهما

26) أشجار: يتناسب قطر قاعدة جذع شجرة بالسنتمترات طردياً مع ارتفاعها بالأمتار مرفوعاً للأس $\frac{3}{2}$ ، إذا بلغ ارتفاع شجرة 6m، وقطر قاعدة جذعها 19.1cm، فاكتب معادلة القطر d لقاعدة جذع الشجرة عندما يكون ارتفاعها h متر.

$d = 1.3 h^{1.5}$

حل كل معادلة أسية مما يأتي:

27) ${(\frac{1}{2})}^{4 x + 1} = 8^{2 x + 1}$

$\begin{aligned} 2^{- 4 x - 1} = 8^{2 x + 1} = 2^{3 (2 x + 1)} \\ ∴ - 4 x - 1 = 6 x + 3 \\ ∴ 10 x = - 4 \\ ∴ x = - \frac{4}{10} = - \frac{2}{5} \end{aligned}$

28) ${(\frac{1}{5})}^{x - 5} = 25^{3 x + 2}$

$\begin{aligned} 5^{- x + 5} = 25^{3 x + 2} = 5^{2 (3 x + 2)} \\ ∴ - x + 5 = 6 x + 4 \\ ∴ 7 x = 1 \\ ∴ x = \frac{1}{7} \end{aligned}$

29) $216 = {(\frac{1}{6})}^{x + 3}$

$\begin{aligned} ∴ 6^{3} = 6^{- x - 3} \\ ∴ 3 = - x - 3 \\ ∴ x = - 6 \end{aligned}$

30) ${(\frac{1}{8})}^{3 x + 4} = {(\frac{1}{4})}^{- 2 x + 4}$

$\begin{aligned} ∴ {(\frac{1}{2})}^{3 (3 x + 4)} = {(\frac{1}{2})}^{2 (- 2 x + 4)} \\ ∴ 9 x + 12 = - 4 x + 8 \\ ∴ 13 x = - 4 \\ ∴ x = - \frac{4}{13} \end{aligned}$

31) ${(\frac{2}{3})}^{5 x + 1} = {(\frac{27}{8})}^{x - 4}$

$\begin{aligned} ∴ {(\frac{2}{3})}^{5 x + 1} = {(\frac{2}{3})}^{- 3 (x - 4)} \\ ∴ 5 x + 1 = - 3 x + 12 \\ ∴ 8 x = 11 \\ ∴ x = \frac{11}{8} \end{aligned}$

32) ${(\frac{25}{81})}^{2 x + 1} = (\frac{729}{125}) - 3 x + 1$

$\begin{aligned} ∴ {(\frac{5}{9})}^{2 (2 x + 1)} = {(\frac{5}{9})}^{- 3 (- 3 x + 1)} \\ ∴ 4 x + 2 = 9 x - 3 \\ ∴ 5 x = 5 \\ ∴ x = 1 \end{aligned}$

33) سكان: بلغ عدد سكان العالم عام 1950م، 2.556 مليار نسمة، وبحلول عام 1980م أصبح 4.458 مليارات نسمة.

a) اكتب دالة أسية على صورة y=ab^x يمكن أن تمثل تزايد عدد سكان العالم من عام 1950م إلى عام 1980م بالمليار، حيث x عدد السنوات منذ عام 1950م (قرب قيمة b إلى أقرب جزء من عشرة آلاف).

$y = 2.556 (1.0187)^{x}$

b) افترض أن تزايد عدد السكان استمر بالمعدل نفسه، فقدر عدد سكان العالم عام 2000.

تقريباً 6.445 مليار

c) إذا كان عدد سكان العالم عام 2000م هو 6.08 مليارات نسمة تقريباً، فقارن بين تقديرك والعدد الحقيقي للسكان.

التقدير أكبر من العدد الحقيقي للسان بمقدار 375 مليون

d) استعمل الدالة التي توصلت إليها في فرع a لتقدير عدد سكان العالم عام 2020م. ما دقة تقديرك؟ وضح إجابتك.

34) ثقافة مالية: يفاضل سعيد بين خيارين للاستثمار الطويل الأمد، ويريد أن يختار أحدهما.

ثقافة مالية

a) اكتب دالة كل من الخيار الأول والخيار الثاني للاستثمار.

$A = 50000 {(\frac{4.065}{4})}^{4 t}$

$B = 50000 [(1.0035)^{12 t} + (1.0004423)^{52 t}]$

b) مثل بالحاسبة البيانية منحنى يوضح المبلغ الكلي من كل استثمار بعد t سنة.

التمثيل البياني

c) أي الخيارين أفضل في الاستثمار الخيار الأول أم الثاني؟ فسر إجابتك؟

خلال أول 22 سنة يكون الخيار الثاني أفضل لأن المبلغ المتجمع منه أكبر من المبلغ المتجمع من الخيار الأول.

35) تمثيلات متعددة: ستستكشف في هذا التمرين الزيادة المتسارعة في الدوال الأسية. قص ورقة إلى نصفين، وضع بعضهما وق بعض، ثم قصهما معا إلى نصفين وضع بعضهما فوق بعض، وكرر هذه العملية عدة مرات.

a) حسياً: عد قطع الورق الناتجة بعد القص الأول، ثم بعد القص الثاني، والثالث، والرابع.

بعد القص الأول 2

بعد القص الثاني 4

بعد القص الثالث 8

بعد القص الرابع 16

b) جدولياً: دون نتائجك في جدول.

عدد القص	1	2	3	4
عدد القطع	2	4	8	16

c) رمزياً: استعمل النمط في الجدول لكتابة معادلة تمثل عدد قطع الورق بعد القص x مرة.

$y = 2^{x}$

d) تحليلياً: يقدر سمك الورقة الاعتيادية 0.003in، اكتب معادلة تمثل سمك رزمة الورق بعد قصها x مرة.

$y = 0.003 (2)^{x}$

e) تحليلياً: ما سمك رزمة من الورق بعد قصها 30 مرة؟

$3221225.47 in$

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حل كل معادلة مما يأتي:

1) 84x+2=64

2) 5x−6=125

3) 35x=272x−4

4) 162y−3=4y+1

5) 26x=32x−2

6) 49x+5=78x−6

7) 81a+2=33a+1

8) 256b+2=42−2b

9) 93c+1=273c−1

10) 82y+4=16y+1

11) علوم: الانقسام هو عملية حيوية يتم فيها انشطار الخلية إلى خليتين مطابقتين تماماً للخلية الأصلية، وتنقسم إحدى أنواع الخلايا البكتيرية كل 15 دقيقة.

a) اكتب دالة أسية على الصورة c=abt تمثل عدد الخلايا البكتيرية c المتكونة من انقسام خلية واحدة بعد t من الدقائق.

b) إذا بدأت خلية بكتيرية واحدة بالانقسام، فكم خلية ستتكون بعد ساعة؟

12) مال: ورث خالد مبلغ 100000 ريال عن والده عام 1430هـ، واستثمره في مشروع تجاري، وقدر خالد أن المبلغ المستثمر سيصبح 169588 ريالاً بحلول عام 1442هـ.

a) اكتب دالة أسية على الصورة y=abx تمثل المبلغ y بدلالة عدد السنوات x منذ عام 1430 هـ.

b) افترض أن المبلغ استمر في الزيادة بالمعدل نفسه، فكم سيصبح عام 1450 هـ إلى أقرب منزلتين عشريتين؟

13) استثمر حسن مبلغ 70000 ريال متوقعاً ربحا سنوياً نسبته %4.3، بحيث تضاف الأرباح إلى رأس المال كل شهر، ما المبلغ الكلي المتوقع بعد 7 سنوات إلى أقرب منزلتين عشريتين؟

700001+0.0431212.7=94533.78

14) استثمر ماجد مبلغ 70000 ريال متوقعاً ربحا سنوياً نسبته %2.25، بحيث تضاف الأرباح إلى رأس المال كل شهر. ما المبلغ الكلي المتوقع بعد 6 سنوات إلى أقرب منزلتين عشريتين؟

حل كل متباينة مما يأتي:

15) 42x+6≤642x−4

16) 25y−3≤1125y+3

17) 625≥5a+8

18) 105b+2>1000

19) 164c-2<322c

20) 193t+5≥1243t-6

اكتب دالة أسية على الصورة y=abx للتمثيل البياني المار بكل زوج من النقاط فيما يأتي:

21) (3,100), (0, 6.4)

22) (4, 81), (0, 256)

23) (5,371293), (0, 128)

24) (4, 21609), (0, 144)

25) علوم: وضع كوب من الشاي درجة حرارته °90C في وسط درجة حرارته ثابتة وتساوي °20C، فتناقصت درجة حرارة الشاي، ويمكن تمثيل درجة حرارة الشاي بعد t دقيقة بالدالة: ⋅y(t)=20+70(1.071)−t

a) أوجد درجة حرارة الشاي بعد 15 دقيقة.

b) أوجد درجة حرارة الشاي بعد 30 دقيقة.

c) إذا كانت درجة الحرارة المناسبة لشرب الشاي هي °60C، فهل ستكون درجة حرارة الشاي مساوية لها أم أقل منها بعد 10 دقائق؟

حل كل معادلة أسية مما يأتي:

27) 124x+1=82x+1

28) 15x−5=253x+2

29) 216=16x+3

30) 183x+4=14-2x+4

31) 235x+1=278x−4

32) 25812x+1=729125−3x+1

33) سكان: بلغ عدد سكان العالم عام 1950م، 2.556 مليار نسمة، وبحلول عام 1980م أصبح 4.458 مليارات نسمة.

a) اكتب دالة أسية على صورة y=abx يمكن أن تمثل تزايد عدد سكان العالم من عام 1950م إلى عام 1980م بالمليار، حيث x عدد السنوات منذ عام 1950م (قرب قيمة b إلى أقرب جزء من عشرة آلاف).

b) افترض أن تزايد عدد السكان استمر بالمعدل نفسه، فقدر عدد سكان العالم عام 2000.

c) إذا كان عدد سكان العالم عام 2000م هو 6.08 مليارات نسمة تقريباً، فقارن بين تقديرك والعدد الحقيقي للسكان.

d) استعمل الدالة التي توصلت إليها في فرع a لتقدير عدد سكان العالم عام 2020م. ما دقة تقديرك؟ وضح إجابتك.

34) ثقافة مالية: يفاضل سعيد بين خيارين للاستثمار الطويل الأمد، ويريد أن يختار أحدهما.

a) اكتب دالة كل من الخيار الأول والخيار الثاني للاستثمار.

b) مثل بالحاسبة البيانية منحنى يوضح المبلغ الكلي من كل استثمار بعد t سنة.

c) أي الخيارين أفضل في الاستثمار الخيار الأول أم الثاني؟ فسر إجابتك؟

a) حسياً: عد قطع الورق الناتجة بعد القص الأول، ثم بعد القص الثاني، والثالث، والرابع.

b) جدولياً: دون نتائجك في جدول.

c) رمزياً: استعمل النمط في الجدول لكتابة معادلة تمثل عدد قطع الورق بعد القص x مرة.

d) تحليلياً: يقدر سمك الورقة الاعتيادية 0.003in، اكتب معادلة تمثل سمك رزمة الورق بعد قصها x مرة.

e) تحليلياً: ما سمك رزمة من الورق بعد قصها 30 مرة؟

مشاركة الدرس

شرح فيديو

فيديو حل اسئلة تدرب وحل المسائل

النقاشات

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حل كل معادلة مما يأتي:

1) 84x+2=64

2) 5x−6=125

3) 35x=272x−4

4) 162y−3=4y+1

5) 26x=32x−2

6) 49x+5=78x−6

7) 81a+2=33a+1

8) 256b+2=42−2b

9) 93c+1=273c−1

10) 82y+4=16y+1

11) علوم: الانقسام هو عملية حيوية يتم فيها انشطار الخلية إلى خليتين مطابقتين تماماً للخلية الأصلية، وتنقسم إحدى أنواع الخلايا البكتيرية كل 15 دقيقة.

a) اكتب دالة أسية على الصورة c=abt تمثل عدد الخلايا البكتيرية c المتكونة من انقسام خلية واحدة بعد t من الدقائق.

b) إذا بدأت خلية بكتيرية واحدة بالانقسام، فكم خلية ستتكون بعد ساعة؟

12) مال: ورث خالد مبلغ 100000 ريال عن والده عام 1430هـ، واستثمره في مشروع تجاري، وقدر خالد أن المبلغ المستثمر سيصبح 169588 ريالاً بحلول عام 1442هـ.

a) اكتب دالة أسية على الصورة y=abx تمثل المبلغ y بدلالة عدد السنوات x منذ عام 1430 هـ.

b) افترض أن المبلغ استمر في الزيادة بالمعدل نفسه، فكم سيصبح عام 1450 هـ إلى أقرب منزلتين عشريتين؟

1) $8^{4 x + 2} = 64$

2) $5^{x - 6} = 125$

3) $3^{5 x} = 27^{2 x - 4}$

4) $16^{2 y - 3} = 4^{y + 1}$

5) $2^{6 x} = 32^{x - 2}$

6) $49^{x + 5} = 7^{8 x - 6}$

7) $81^{a + 2} = 3^{3 a + 1}$

8) $256^{b + 2} = 4^{2 - 2 b}$

9) $9^{3 c + 1} = 27^{3 c - 1}$

10) $8^{2 y + 4} = 16^{y + 1}$

a) اكتب دالة أسية على الصورة c=ab^t تمثل عدد الخلايا البكتيرية c المتكونة من انقسام خلية واحدة بعد t من الدقائق.

a) اكتب دالة أسية على الصورة y=ab^x تمثل المبلغ y بدلالة عدد السنوات x منذ عام 1430 هـ.

$70000 {(1 + \frac{0.043}{12})}^{12.7} = 94533.78$

15) $4^{2 x + 6} \leq 64^{2 x - 4}$

16) $25^{y - 3} \leq {(\frac{1}{125})}^{y + 3}$

17) $625 \geq 5^{a + 8}$

18) $10^{5 b + 2} > 1000$

19) ${(\frac{1}{64})}^{c - 2} < 32^{2 c}$

20) ${(\frac{1}{9})}^{3 t + 5} \geq {(\frac{1}{243})}^{t - 6}$

اكتب دالة أسية على الصورة y=ab^x للتمثيل البياني المار بكل زوج من النقاط فيما يأتي:

27) ${(\frac{1}{2})}^{4 x + 1} = 8^{2 x + 1}$

28) ${(\frac{1}{5})}^{x - 5} = 25^{3 x + 2}$

29) $216 = {(\frac{1}{6})}^{x + 3}$

30) ${(\frac{1}{8})}^{3 x + 4} = {(\frac{1}{4})}^{- 2 x + 4}$

31) ${(\frac{2}{3})}^{5 x + 1} = {(\frac{27}{8})}^{x - 4}$

32) ${(\frac{25}{81})}^{2 x + 1} = (\frac{729}{125}) - 3 x + 1$

a) اكتب دالة أسية على صورة y=ab^x يمكن أن تمثل تزايد عدد سكان العالم من عام 1950م إلى عام 1980م بالمليار، حيث x عدد السنوات منذ عام 1950م (قرب قيمة b إلى أقرب جزء من عشرة آلاف).

1) $8^{4 x + 2} = 64$

2) $5^{x - 6} = 125$

3) $3^{5 x} = 27^{2 x - 4}$

4) $16^{2 y - 3} = 4^{y + 1}$

5) $2^{6 x} = 32^{x - 2}$

6) $49^{x + 5} = 7^{8 x - 6}$

7) $81^{a + 2} = 3^{3 a + 1}$

8) $256^{b + 2} = 4^{2 - 2 b}$

9) $9^{3 c + 1} = 27^{3 c - 1}$

10) $8^{2 y + 4} = 16^{y + 1}$

a) اكتب دالة أسية على الصورة c=ab^t تمثل عدد الخلايا البكتيرية c المتكونة من انقسام خلية واحدة بعد t من الدقائق.

a) اكتب دالة أسية على الصورة y=ab^x تمثل المبلغ y بدلالة عدد السنوات x منذ عام 1430 هـ.

$70000 {(1 + \frac{0.043}{12})}^{12.7} = 94533.78$

15) $4^{2 x + 6} \leq 64^{2 x - 4}$

16) $25^{y - 3} \leq {(\frac{1}{125})}^{y + 3}$

17) $625 \geq 5^{a + 8}$

18) $10^{5 b + 2} > 1000$

19) ${(\frac{1}{64})}^{c - 2} < 32^{2 c}$

20) ${(\frac{1}{9})}^{3 t + 5} \geq {(\frac{1}{243})}^{t - 6}$

اكتب دالة أسية على الصورة y=ab^x للتمثيل البياني المار بكل زوج من النقاط فيما يأتي:

27) ${(\frac{1}{2})}^{4 x + 1} = 8^{2 x + 1}$

28) ${(\frac{1}{5})}^{x - 5} = 25^{3 x + 2}$

29) $216 = {(\frac{1}{6})}^{x + 3}$

30) ${(\frac{1}{8})}^{3 x + 4} = {(\frac{1}{4})}^{- 2 x + 4}$

31) ${(\frac{2}{3})}^{5 x + 1} = {(\frac{27}{8})}^{x - 4}$

32) ${(\frac{25}{81})}^{2 x + 1} = (\frac{729}{125}) - 3 x + 1$

a) اكتب دالة أسية على صورة y=ab^x يمكن أن تمثل تزايد عدد سكان العالم من عام 1950م إلى عام 1980م بالمليار، حيث x عدد السنوات منذ عام 1950م (قرب قيمة b إلى أقرب جزء من عشرة آلاف).