حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حدّد الكميات المتجهة والكميات القياسية في كلّ مما يأتي:

1) طول محمد 125 cm. قياسية

2) مساحة مربع 20 m². قياسية

3) يركض غزال بسرعة 15m/s باتجاه الغرب. متجهة

4) المسافة التي قطعتها كرة قدم 5 m. قياسية

5) إطار سيارة وزنه 7 kg معلق بحبل. متجهة

6) رمي حجر رأسياُ إلى أعلى بسرعة 50 ft/s. متجهة

استعمل المسطرة والمنقلة؛ لرسم متجه لكلّ من الكميات الآتية، ثم اكتب مقياس الرسم في كل حالة.

7) h=13 in/s، باتجاه ° 205.

8) g=6 km/h، باتجاه N 70° W.

9) j=5 ft/s، وبزاوية قياسها °300 مع الأفقي.

10) d=28 km، وبزاوية قياسها °35 مع الأفقي.

11) R=40 m، باتجاه S 55° E.

12) n=32 m/s، باتجاه °030.

أوجد محصلة كل زوج من المتجهات الآتية باستعمال قاعدة المثلث، قرّب المحصلة إلى أقرب جزء من عشرة ثم حدد اتجاهها بالنسبة للأفقي مستعملاً المسطرة، أو قاعدة متوازي الأضلاع، من السنتمتر، والمنقلة:

13)

1.4cm, 45°

14)

1.0cm, 58°

15)

1.1cm, 301°

16)

2.3cm, 188°

17) ركوب الزوارق: غادر زورق أحد الموانئ باتجاه، N 60° W ميلاً بحرياً، فقطع مسافة 12 ميلاً بحرياً، أوجد بُعد الزورق واتجاه ثم غير قائد الزورق اتجاه حركته إلى N 25° E، فقطع مسافة 15 حركته في موقعه الحالي بالنسبة إلى الميناء.

20 ميلاً بحرياً، N 11.7˚ W

حدد مقدار المحصلة الناتجة عن جمع المتجهين، واتجاهها في كلّ مما يأتي:

18) 18N للأمام، ثم 20N للخلف.

2N للخلف.

19) 100 m للشمال، ثم 350 m للجنوب.

250 m إلى الجنوب.

20) 17 mi شرقاً، ثم 16 mi جنوباً.

23mi تقريباً باتجاه S 47° E

21) 15m/ s ²باتجاه زاوية قياسها °60 مع الأفقي، ثم 9.8m/ s ² إلى الأسفل.

8m/ s ² تقريباً، °23 مع الأفقي.

استعمل المتجهات الآتية؛ لرسم متجه يمثّل كل عبارة مما يأتي:

22) m - 2n

23) $4n+\frac{4}{5}p$

24) p + 2n -2 m

25) $m-3n+\frac{1}{4}p$

ارسم شكلاً يوضّح تحليل كل متجه مما يأتي إلى مركبتيه المتعامدتين، ثم أوجد مقدار كلّ منهما:

26) $2\frac{1}{8}\mathrm{in}/\mathrm{s}$، باتجاه °310 مع الأفقي.

27) 1.5cm، باتجاه N 49° E.

28) $\frac{3}{4}\text{in/min}$، باتجاه °255.

29) يدفع حسن عصا مكنسة التنظيف بقوة مقدارها 190N، وبزاوية قياسها $°$33 مع سطح الأرض كما في الشكل المجاور.

a) ارسم شكلاً يوضّح تحليل هذه القوة إلى مركبتيها المتعامدتين.

b) أوجد مقدار كلٌّ من المركبة الأفقية والمركبة الرأسية.

المركبة الأفقية: 159.3Nوالمركبة الرأسية 103.5N

30) لعب أطفال: يدفع محمد عربة أخته بقوة مقدارها 100 N، وباتجاه $°$31 مع الأفقي، أوجد مقدار المركبة الرأسية للقوة إلى أقرب عدد صحيح.

25N تقريباً.

31) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة ستستقصي ضرب متجه في عدد حقيقي.

a) بيانياً: ارسم المتجه a على المستوي الإحداثي، بحيث تكون نقطة بدايته عند نقطة الأصل، واختر قيمة عددية ل k، ثم ارسم متجهاً ناتجاً عن ضرب k في المتجه الأصلي على المستوي الإحداثي نفسه، وكرر العملية مع أربع متجهات أخرى b, c, d, e، واستعمل قيمة k نفسها في كل مرة.

b) جدولياً: انسخ الجدول أدناه في دفترك، ثم اكتب البيانات المناسبة داخله لكل متجه رسمته في الفرع a.

c) تحليلياً: إذا كانت (a, b) نقطة النهاية للمتجه a، فما إحداثيات نقطة النهاية للمتجه ka؟

(Ka,kB)

المتجه المتوازن هو متجه يساوي متجه المحصلة في المقدار ويعاكسه في الاتجاه، بحيث إن ناتج جمع متجه المحصلة مع المتجه الموازن يساوي المتجه الصفري، والمتجه الموازن للمتجه a + b هو (a +b)-

20.77mi/ h، باتجاه 270˚

32) أوجد طول واتجاه المتجه الموازن للمتجهين:

a=15 mi/h، باتجاه °125.

b=12 mi/h، باتجاه °045.

20.77mi / h، باتجاه ° 270

33) كرة حديدية: علّقت كرة حديدية بحبلين متساويين في الطول كما في الشكل أدناه.

a) إذا كانت T1, T 2 تمثلان قوتي الشدّ في الحبلين، وكانت T1 = T2، فارسم شكلاً يمثل وضع التوازن للكرة.

b) أعد رسم الشكل باستعمال قاعدة المثلث لتجد T1 + T2.

c) استعمل الشكل في الفقرة b وحقيقة أن محصلة T1 + T2 هي المتجه الموازن لوزن الكرة؛ لحساب مقدار كلٌّ من T1, T2.

${\mathrm{T}}_1\approx 23.18\mathrm{lb},{\mathrm{T}}_2\approx 23.18\mathrm{lb}$

أوجد طول كل متجه واتجاهه مما يأتي بمعلومية مركبتيه الأفقية والرأسية، والمدى الممكن لزاوية كل منها.

34) الأفقية 0.32in، الرأسية in2.28،180° > $\theta$ > 90°.

° 98، 2.3in

35) الأفقية 3.1ft، الرأسية ft 4.2 ، 90° > $\theta$ > 0°.

° 54، 5.2ft

36) الأفقية 2.6 cm، الرأسية cm9.7 ، 360° > $\theta$ > 270°.

° 285، 10cm

ارسم ثلاث متجهات a, b, c؛ لتوضح صحة كل خاصية من الخصائص الآتية هندسياً:

37) الخاصية الإبدالية a + b = b + a

38) الخاصية التجميعية $(a+b)+c=a+(b+c)$.

39) الخاصية التوزيعية k(a + b) = ka + kb، حيث 2- , 0.5, k=2.