حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أوجد الصورة الإحداثية، وطول $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}$، المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كلّ ممَّا يأتي:

1) A(-3, 1), B(4, 5)

$⟨7,4⟩,\sqrt{65}\approx 8.1$

2) A(2, -7), B(-6, 9)

$⟨-8,16⟩,\sqrt{320}\approx 17.9$

3) A(10, -2), B(3, -5)

$⟨-7,-3⟩,\sqrt{58}\approx 7.6$

4) A(-2, 6), B(1, 10)

$⟨3,4⟩,5$

5) A(2.5, -3), B(-4, 1.5)

$⟨-6.5,4.5⟩,\sqrt{62.5}\approx 7.9$

6) $A\left(\frac{1}{2},-9\right),B\left(6,\frac{5}{2}\right)$

$⟨\frac{11}{2},\frac{23}{2}⟩,\sqrt{\frac{325}{2}}\approx 12.7$

إذا كان $\mathrm{f}=⟨8,0⟩,\mathrm{g}=⟨-3,-5⟩,\mathrm{h}=⟨-6,2⟩$ ،فأوجد كلاً مما يأتي:

7) 4h - g

$⟨-21,13⟩$

8) f + 2h

$⟨-4,4⟩$

9) 2f + g - 3h

$⟨31,-11⟩$

10) f - 2g - 2h

$⟨26,6⟩$

11) h - 4f + 5g

$⟨-53,-23⟩$

12) 4g - 3f + h

$⟨-42,-18⟩$

أوجد متجه وحدة له اتجاه المتجه v نفسه في كلّ ممَّا يأتي:

13) $\begin{array}{c}\mathrm{v}=⟨-2,7⟩\end{array}$

$\mathrm{u}=⟨-\frac{2\sqrt{53}}{53},\frac{7\sqrt{53}}{53}⟩$

14) $\begin{array}{c}\mathrm{v}=⟨9,-3⟩\end{array}$

$\mathrm{u}=⟨\frac{3\sqrt{10}}{10},-\frac{\sqrt{10}}{10}⟩$

15) $\begin{array}{c}\mathrm{v}=⟨-8,-5⟩\end{array}$

$\mathrm{u}=⟨-\frac{8\sqrt{89}}{89},-\frac{5\sqrt{89}}{89}⟩$

16) $\begin{array}{c}\mathrm{v}=⟨6,3⟩\end{array}$

$\mathrm{u}=⟨\frac{2\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{5}}{5}⟩$

17) $\mathrm{v}=⟨-1,-5⟩$

$\mathrm{u}=⟨-\frac{\sqrt{26}}{26},-\frac{5\sqrt{26}}{26}⟩$

18) $\mathrm{v}=⟨1,7⟩$

$\mathrm{u}=⟨\frac{\sqrt{2}}{10},\frac{7\sqrt{2}}{10}⟩$

اكتب $\stackrel{\rightharpoonup }{DE}$، المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كلّ ممَّا يأتي على صورة توافق خطّي لمتجهي الوحدة i,j:

19) D(4, -1), E(5, -7)

i - 6j

20) D(9, -6), E(-7, 2)

16i + 8j-

21) D(3, 11), E(-2, -8)

5i - 19j-

22) D(9.5, 1), E(0, -7.3)

9.5i - 8.3j-

23) D(-4, -6), E(9, 5)

13i + 11j

24) $D\left(\frac{1}{8},3\right),E\left(-4,\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 7}}\right)$

$-\frac{33}{8}\mathrm{i}-\frac{19}{7}\mathrm{j}$

أوجد الصورة الإحداثية للمتجه v، المعطى طوله وزاوية اتجاهه مع الاتجاه الموجب لمحور x في كل مما يأتي:

25) $\begin{array}{c}\left|\mathrm{v}\right|=12,\theta ={60}^{\circ }\end{array}$

$⟨6,6\sqrt{3}⟩$

26) $\begin{array}{c}\left|\mathrm{v}\right|=16,\theta ={330}^{\circ }\end{array}$

$⟨8\sqrt{3},-8⟩$

27) $\left|\mathrm{v}\right|=4,\theta ={135}^{\circ }$

$⟨-2\sqrt{2},2\sqrt{2}⟩$

28) $\left|\mathrm{v}\right|=15,\theta ={125}^{\circ }$

$⟨-8.6,12.3⟩$

أوجد زاوية اتجاه كلّ من المتجهات الآتية مع الاتجاه الموجب لمحور x:

29) 3i + 6j

63.4° تقريباً.

30) 2i + 5j-

111.8° تقريباً.

31) 4i - 3j-

216.9° تقريباً.

32) $⟨-5,9⟩$

119.1° تقريباً.

33) ملاحة جوية: تطير طائرة جهة الشرق بسرعة مقدارها 600mi/h، وتهب الرياح بسرعة مقدارها 85mi/h باتجاه S 59° E.

a) أوجد محصِّلة سرعة الطائرة.

674mi/h

b) أوجد زاوية اتجاه مسار الطائرة.

S86°E

34) تجديف: يجدف شخص بقاربه في نهر باتجاه عمودي على ويؤثّر فيه تيار مائي باتجاه مجرى النهر الشاطئ بسرعة 5mi/h، سرعته 3mi/h.

a) أوجد السرعة التي يتحرك بها القارب إلى أقرب جزء من عشرة.

5.8mi/h تقريباً.

b) أوجد زاوية اتجاه حركة القارب بالنسبة للشاطئ إلى أقرب درجة.

$°$59 تقريباً.

35) ملاحة جوية: تطير طائرة بسرعة مقدارها 480mi/h بالاتجاه N 82° E، وبسبب الرياح، فإن محصلة سرعة الطائرة بالنسبة لسطح الأرض أصبحت 518mi/h باتجاه N 79° E، ارسم شكلاً يمثل هذا الموقف.

بين ما إذا كان $\stackrel{\rightharpoonup }{AB},\stackrel{\rightharpoonup }{CD}$ المعطاة نقطتا البداية والنهاية لكلّ منهما فيما يأتي متكافئين أو لا، وإذا كانا غير متكافئتين فأثبت أن $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}=\stackrel{\rightharpoonup }{CD}$ وإذا كانا غير ذلك فاذكر السبب.

36) A(3, 5), B(6, 9), C(-4, -4), D(-2, 0)

إجابة ممكنة: يختلف المقدار والاتجاه في كلّ من المتجهين؛ لذا فالمتجهان غير متكافئين.

37) A(1, -3), B(0, -10), C(11, 8), D(10, 1)

نعم؛ إجابة ممكنة: للمتجهين كلٌّ من المقدار والاتجاه نفسه؛ لذا فهما متكافئان.

38) انسحاب: يمكنك سحب شكل هندسي باستعمال المتجه $⟨a,b⟩$ وذلك بإضافة a إلى الإحداثي x، وإضافة b إلى الإحداثي y.

a) حدد المتجه الذي يستعمل لسحب FGH$∆$ إلى 'F'G'H$∆$ في الشكل المجاور.

$⟨2,5⟩$

b) إذا استعمل المتجه $⟨-3,-6⟩$ لسحب 'F'G'H$∆$، فمثل بيانياً كلاً من 'F'G'H$∆$ وصورته ''F''G''H$∆$.

c) حدد المتجه الذي يستعمل لسحب FGH$∆$ إلى ''F''G''H$∆$.

(–1, –1)

أوجد نقطة نهاية ممكنة لكل متجه مما يأتي، إذا علمت طوله ونقطة بدايته:

39) $\sqrt{37},(-1,4)$

إجابة ممكنة: ( 2- , 0)

40) (7-, 3-), 10

إجابة ممكنة: ( 1- , 5)

41) آلة تصوير: علّقت آلة تصوير معدة لمتابعة حدث رياضي بثلاثة حبال كما في الشكل المجاور، كل حبل يمثّل متجهاً، فأجب إذا كان الشد في عما يأتي:

a) أوجد الصورة الإحداثية لكل متجه لأقرب عدد صحيح.

$⟨-755,933⟩;⟨899,438⟩;⟨544,-441⟩$

b) أوجد الصورة الإحداثية لمتجه المحصلة المؤثر على آلة التصوير.

$⟨688,930⟩$

c) أوجد مقدار واتجاه محصلة القوى.

1157N; 54°

42) قوة: تؤثّر قوة الجاذبية g وقوة الاحتكاك على صندوق في وضع السكون موضوع على سطح مائل، ويبين الشكل أدناه المركبتين المتعامدتين للجاذبية الأرضية (الموازية للسطح والعمودية عليه)، ما الوصف الصحيح لقوة الاحتكاك ليكون هذا الوضع ممكناً.

يجب أن تكون قوة الاحتكاك مساوية لمركبة الجاذبية الموازية للسطح المائل.