حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كلّ مما يأتي، ثم حدّد ما إذا كانا متعامدين أم لا:

1) $\mathbf{u}=⟨3,-9,6⟩,\mathbf{v}=⟨-8,2,7⟩$

0 متعامدان.

2) $\mathbf{u}=⟨5,0,-4⟩,\mathbf{v}=⟨6,-1,4⟩$

14 غير متعامدان.

3) $\mathbf{u}=⟨-7,-3,1⟩,\mathbf{v}=⟨-4,5,-13⟩$

0 متعامدان.

4) $-15\mathrm{u}=⟨11,4,-2⟩,\mathrm{v}=⟨-1,3,8⟩$

15- غير متعامدان.

5) u=6i - 2j - 5k ,v = 3i - 2j + 6k

8- غير متعامدان.

6) u= 9i - 9j + 6k , v= 6i + 4j - 3k

0 متعامدان.

7) كيمياء: تقع إحدى ذرتي الهيدروجين في جزيء الماء عند $⟨55.5,55.5,-55.5⟩$،والأخرى عند $⟨-55.5,-55.5,-55.5⟩$، وذلك في الوقت الذي تقع فيه ذرة الأكسجين في نقطة الأصل، أوجد الزاوية بين المتجهين اللذين يكونان رابطة الأوكسجين – الهيدروجين مقرَّبة إلى أقرب جزء من عشرة.

109.5°

أوجد قياس الزاوية $\theta$ بين المتجهين u, v في كلّ مما يأتي، وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة:

8) $\mathbf{u}=⟨6,-5,1⟩,\mathbf{v}=⟨-8,-9,5⟩$

88.9°

9) $\mathrm{u}=⟨-8,1,12⟩,\mathrm{v}=⟨-6,4,2⟩$

45.4°

10) $\mathbf{u}=⟨10,0,-8⟩,\mathbf{v}=⟨3,-1,-12⟩$

37.5°

11) $\mathrm{u}=-3\mathrm{i}+2\mathrm{j}+9\mathrm{k},\mathrm{v}=4\mathrm{i}+3\mathrm{j}-10\mathrm{k}$

152.3°

أوجد الضرب الاتجاهي للمتجهين u, v في كلّ مما يأتي، ثم بيّن أن u × v عمودي على كلّ من u, v:

12) $\mathbf{u}=⟨-1,3,5⟩,\mathbf{v}=⟨2,-6,-3⟩$

$⟨21,7,0⟩$

$\begin{array}{rl}& (\mathbf{u}\times \mathbf{v})\cdot \mathbf{v}\\ & =⟨21,7,0⟩\cdot ⟨2,-6,-3⟩\\ & =21\left(2\right)+7(-6)+0(-3)\\ & =0\end{array}$

$\begin{array}{rl}& (\mathbf{u}\times \mathbf{v})\cdot \mathbf{u}\\ & =⟨21,7,0⟩\cdot ⟨-1,3,5⟩\\ & =21(-1)+7\left(3\right)+0\left(5\right)\\ & =0\end{array}$

13) $\mathbf{u}=⟨4,7,-2⟩,\mathbf{v}=⟨-5,9,1⟩$

$⟨25,6,71⟩$

$\begin{array}{rl}& (\mathbf{u}\times \mathbf{v})\cdot \mathbf{v}\\ & =⟨25,6,71⟩\cdot ⟨-5,9,1⟩\\ & =25(-5)+6\left(9\right)+71\left(1\right)\\ & =0\end{array}$

$\begin{array}{rl}& (\mathbf{u}\times \mathbf{v})\cdot \mathbf{u}\\ & =⟨25,6,71⟩\cdot ⟨4,7,-2⟩\\ & =25\left(4\right)+6\left(7\right)+71(-2)\\ & =0\end{array}$

14) $\mathbf{u}=⟨3,-6,2⟩,\mathbf{v}=⟨1,5,-8⟩$

$⟨38,26,21⟩$

$\begin{array}{rl}& (\mathbf{u}\times \mathbf{v})\cdot \mathbf{v}\\ & =⟨38,26,21⟩\cdot ⟨1,5,-8⟩\\ & =38\left(1\right)+26\left(5\right)+21(-8)\\ & =0\end{array}$

$\begin{array}{rl}& (\mathbf{u}\times \mathbf{v})\cdot \mathbf{u}\\ & =⟨38,26,21⟩\cdot ⟨3,-6,2⟩\\ & =38\left(3\right)+26(-6)+21\left(2\right)\\ & =0\end{array}$

15) u=-2i - 2j + 5k, v=7i + j - 6k

$⟨7,23,12⟩$

$\begin{array}{rl}& (\mathbf{u}\times \mathbf{v})\cdot \mathbf{v}\\ & =⟨7,23,12⟩\cdot ⟨7,1,-6⟩\\ & =7\left(7\right)+23\left(1\right)+12(-6)\\ & =0\end{array}$

$\begin{array}{rl}& (\mathbf{u}\times \mathbf{v})\cdot \mathbf{u}\\ & =⟨7,23,12⟩\cdot ⟨-2,-2,5⟩\\ & =7(-2)+23(-2)+12\left(5\right)\\ & =0\end{array}$

أوجد مساحة متوازي الأضلاع الذي فيه u, v ضلعان متجاوران في كلّ مما يأتي:

16) $\mathrm{u}=⟨-9,1,2⟩,\mathrm{v}=⟨6,-5,3⟩$

$13\sqrt{19}$ أو 56.7 وحدة مربعة تقريباً.

17) $\mathrm{u}=⟨4,3,-1⟩,\mathrm{v}=⟨7,2,-2⟩$

$\sqrt{186}$ أو 13.6 وحدة مربعة تقريباً.

18) u=6i - 2j + 5k, v=5i - 4j - 8k

$\sqrt{6821}$ أو 82.6 وحدة مربعة تقريباً.

19) u=i + 4j - 8k ,v=-2i + 3j - 7k

$3\sqrt{74}$ أو 25.8 وحدة مربعة تقريباً.

أوجد حجم متوازي السطوح الذي فيه t,u,v أحرف متجاورة في كلّ مما يأتي:

20) $\mathbf{t}=⟨-1,-9,2⟩,\mathbf{u}=⟨4,-7,-5⟩,\mathbf{v}=⟨3,-2,6⟩$

429 وحدة مكعبة.

21) $\mathrm{t}=⟨2,-3,-1⟩,\mathrm{u}=⟨4,-6,3⟩,\mathrm{v}=⟨-9,5,-4⟩$

85 وحدة مكعبة.

22) t=i +j - 4k, u= -3i + 2j + 7k, v= 2i - 6j + 8k

40 وحدة مكعبة.

23) t= 5i - 2j + 6k, u= 3i - 5j + 7k, v= 8i - j + 4k

69 وحدة مكعبة.

أوجد متجهاً غير صفري يعامد المتجه المُعطى في كلٍّ ممَّا يأتي:

24) $⟨3,-8,4⟩$

إجابة ممكنة: $⟨4,3,3⟩$

25) $⟨-1,-2,5⟩$

إجابة ممكنة: $⟨5,5,3⟩$

26) $⟨6,-\frac{1}{3},-3⟩$

إجابة ممكنة: $⟨1,9,1⟩$

27) $⟨7,0,8⟩$

إجابة ممكنة: $⟨-8,0,7⟩$

إذا علم كلّ من v, u · v، فأوجد حالة ممكنة للمتجه u في كلّ مما يأتي:

28) $\mathrm{v}=⟨2,-4,-6⟩,\mathrm{u}\cdot \mathrm{v}=-22$

إجابة ممكنة: $⟨3,4,2⟩$

29) $\mathbf{v}=⟨\frac{1}{2},0,4⟩,\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\frac{31}{2}$

إجابة ممكنة: $⟨-1,-3,4⟩$

30) $\mathrm{v}=⟨-2,-6,-5⟩,\mathrm{u}\cdot \mathrm{v}=35$

إجابة ممكنة: $⟨-3,1,-7⟩$

حدد ما إذا كانت النقاط المعطاة واقعة على استقامة واحدة أم لا؟

31) (1,7,7-), (3,9,11-), (5,11,13-)

ليست على استقامة واحدة.

32) (-11,8,1), (-17,5,7), (-8,11,5)

ليست على استقامة واحدة.

حدد ما إذا كان كل متجهين مما يأتي متوازيين أم لا:

33) $\mathrm{m}=⟨2,-10,6⟩,\mathrm{n}=⟨3,-15,9⟩$

متوازيان.

34) $a=⟨6,3,-7⟩,b=⟨-4,-2,3⟩$

غير متوازيين.

35) اكتب الصورة الإحداثية للمتجه u الذي يقع في المستوى y z، وطوله 8، ويصنع زاوية قياسها °60 فوق الاتجاه الموجب للمحور y.

$⟨0,4,4\sqrt{3}⟩$

حدد ما إذا كان الشكل الرباعي ABCD المعطاة إحداثيات رؤوسه متوازي أضلاع أم لا، وإذا كان كذلك، فأوجد مساحته، وحدّد ما إذا كان مستطيلاً أم لا:

36) A(3, 0, -2), B(0, 4, -1), C(0, 2, 5), D(3, 2, 4)

ليس متوازي أضلاع.

37) A(7, 5, 5), B(4, 4, 4), C(4, 6, 2), D(7, 7, 3)

متوازي أضلاع؛ 9.4 وحدات مربعة تقريباً، مستطيل.

38) عرض جوي: أقلعت طائرتان معاً في عرض جوي، فأقلعت الأولى من موقع إحداثياته (0, 2- , 0)، وبعد 3 ثوان وصلت موقعاً إحداثياته (15 , 10 - , 6)، في حين أقلعت الثانية من موقع إحداثياته (0 , 2 , 0)، ثوان وصلت موقعاً إحداثياته (15 , 10 , 6) هل يتوازى خطَّا سير الطائرتين؟ وضّح إجابتك.

إجابة ممكنة: لا؛ لأن الزاوية بين المتجهين لا تساوي ° 0 ولا ° 180، وعليه فالمتجهان غير متوازيين.

إذا كان $\mathbf{u}=⟨3,2,-2⟩,\mathbf{v}=⟨-4,4,5⟩$، فأوجد كلاً مما يأتي إن أمكن:

39) $\mathbf{u}\cdot (\mathbf{u}\times \mathbf{v})$

0

40) $v\times (u\cdot v)$

ليس ممكناً؛ لأن u.v كمية قياسية وليست متجهاً، والضرب الاتجاهي يكون لمتجهين.

41) إذا كانت v, w, u تمثّل ثلاثة أحرف متجاورة لمتوازي السطوح في الشكل المجاور، وكان حجمه 7 وحدات مكعبة، فما قيمة c؟

حجم متوازي السطوح يساوي:

$\begin{array}{c}|\mathrm{u}\cdot (\mathrm{v}\times \mathrm{w}\left)\right|\\ \mathrm{v}\times \mathrm{w}= \left|\begin{array}{rrr}\mathrm{i}& \mathrm{j}& \mathrm{k}\\ -2& -1& 4\\ 1& 0& -2\end{array}\right|=2\mathrm{i}+\mathrm{k}\\ \mathrm{u}.(\mathrm{V}\times \mathrm{W})=⟨\mathrm{c},-3,1⟩\cdot ⟨2,0,1⟩\\ =2\mathrm{c}+1\\ |2\mathrm{c}+1|=7\\ \mathrm{c}=-4\text{و}\mathrm{أ} \mathrm{c}=3\text{إذن}\end{array}$