تدرب وحل المسائل

ارسم كل مثلث من المثلثات الآتية في المستوى الإحداثي، وحدّد إحداثيات رؤوسه:

7) $△ABC$ المتطابق الضلعين الذي طول قاعدته $\overline{AB}$ يساوي a وحدة.

8) $△XYZ$ القائم الزاوية الذي وتره $\overline{YZ}$، وطول الضلع $\overline{XY}$ يساوي b وحدة، وطول $\overline{XZ}$ ثلاثة أمثال طول $\overline{XY}$.

أوجد الإحداثيات المجهولة في كل مثلث مما يأتي:

9)

C(a, a), Y(a, 0)

10)

P(a, 0), B(0, b)

11)

H(2b, c), N(0, 0), D(4b, 0)

برهان: اكتب برهاناً إحداثياً لكل عبارة من العبارات الآتية:

12) القطع المستقيمة الثلاث الواصلة بين نقاط منتصفات أضلاع مثلث متطابق الضلعين تشكل مثلثاً متطابق الضلعين أيضاً.

المعطيات:

• $△ABC$ مثلث متطابق الضلعين فيه $\overline{BC}\cong \overline{AC}$.
• R,S,T نقاط منتصفات الأضلاع على الترتيب.

• المطلوب: $△RST$ متطابق الضلعين.

البرهان:

• إحداثيات R هي: $\left(\frac{a+0}{2},\frac{b+0}{2}\right)=\left(\frac{{\displaystyle a}}{{\displaystyle 2}},\frac{{\displaystyle b}}{{\displaystyle 2}}\right)$
• إحداثيات S هي: $\left(\frac{a+2a}{2},\frac{b+0}{2}\right)=\left(\frac{{\displaystyle 3a}}{{\displaystyle 2}},\frac{{\displaystyle b}}{{\displaystyle 2}}\right)$
• إحداثيات T هي: $\left(\frac{2a+0}{2},\frac{0+0}{2}\right)=(a,0)$

$\begin{array}{r}RT=\sqrt{{\left(\frac{a}{2}-a\right)}^2+{\left(\frac{b}{2}-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2}\\ ST=\sqrt{{\left(\frac{3a}{2}-a\right)}^2+{\left(\frac{b}{2}-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2}\end{array}$

لاحظ أن RT=ST وهذا يعني أن $\overline{RT}\cong \overline{ST}$ لذا المثلث $△RST$ متطابق الضلعين.

13) طول القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في المثلث يساوي نصف طول الضلع الثالث.

المعطيات:

• $△ABC$ فيه S نقطة منتصف $\overline{AC}$.
• T نقطة منتصف $\overline{BC}$.

• المطلوب: $ST=\frac{1}{2}AB$
• البرهان: إحداثيات S هي: $\left(\frac{{\displaystyle b}}{{\displaystyle 2}},\frac{{\displaystyle c}}{{\displaystyle 2}}\right)$

إحداثيات T هي: $\left(\frac{{\displaystyle a+b}}{{\displaystyle 2}},\frac{{\displaystyle c}}{{\displaystyle 2}}\right)$

$\begin{array}{r}ST=\sqrt{{\left(\frac{a+b}{2}-\frac{b}{2}\right)}^2+{\left(\frac{c}{2}-\frac{c}{2}\right)}^2}=\frac{a}{2}\\ AB=\sqrt{(a-0{)}^2+(0-0{)}^2}=a\end{array}$

إذاً $ST=\frac{1}{2}AB$

14) جغرافيا: إذا علمت أن الإحداثيات التقريبية لمواقع مدن جيزان ونجران وخميس مشيط هي: جيزان ${16.9}^{\circ }\mathrm{N}{42.58}^{\circ }\mathrm{E}$، خميس مشيط ${18.3}^{\circ }\mathrm{N}{42.8}^{\circ }\mathrm{E}$، فبين أن المثلث الذي رؤوسه هي هذه المدن الثلاث مختلف الأضلاع.

المسافة بين جيزان ونجران:

$\sqrt{(17.5-16.9{)}^2+(44.16-42.58{)}^2}\approx 1.69$

المسافة بين جيزان وخميس مشيط:

$\sqrt{(18.3-16.9{)}^2+(42.8-42.58{)}^2}\approx 1.42$

المسافة بين نجران وخميس مشيط:

$\sqrt{(18.3-17.5{)}^2+(42.8-44.16{)}^2}\approx 1.58$

وبما أن هذه المسافات مختلفة، فإن المثلث الذي رؤوسه هي هذه المدن الثلاث مختلف الأضلاع.

في $△XYZ$، أوجد ميل كل ضلع من أضلاعه، ثم حدد ما إذا كان المثلث قائم الزاوية أم لا، ووضّح إجابتك.

15) X(0, 0), Y (2h, 2h), Z(4h, 0)

ميل $\overline{XY}$ يساوي 1 وميل $\overline{YZ}$ يساوي 1- وميل $\overline{ZX}$ يساوي صفر، وبما أن ناتج ضرب ميلي ضلعين في المثلث XYZ يساوي 1-، فإنه قائم الزاوية.

16) X (0, 0), Y (1, h), Z(2h, 0)

ميل $\overline{XY}$ يساوي h وميل $\overline{YZ}$ يساوي $\frac{h}{1-2h}$ وميل $\overline{ZX}$ يساوي صفر، ولا يوجد ميلان ناتج ضربهما يساوي 1- ، إذاً المثلث XYZ ليس قائم الزاوية.

17) نزهة: أقامت عائلتان خيمتين في متنزَّه كبير، إذا اعتبرنا أن موقع إدارة المتنزَّه تقع عند النقطة (0,0) وأن إحداثيات موقعي الخيمتين هما (12,9)، (0,25)، فاكتب برهاناً إحداثياً لإثبات أن الشكل المتكون من مواقع إدارة المتنزَّه والخيمتين هو مثلث قائم الزاوية.

ميل الطريق الواصل بين الخيمتين يساوي $-\frac{4}{3}$، وميل الطريق بين موقع الإدارة والخيمة الواقعة عند (9,12) يساوي $\frac{3}{4}$.

وبما أن $-\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{4}=-1$، فإن المثلث المتكوّن من الخيمتين وإدارة المنتزه مثلث قائم الزاوية.

18) رياضة مائية: انطلقت ثلاثة قوارب مائية من الرصيف نفسه، فاتجه الأول نحو الشمال الشرقي، واتجه الثاني نحو الشمال الغربي، أما الثالث فاتجه نحو الشمال.

توقف القاربان (الأول والثاني) على بعد 300m تقريباً من الرصيف، بينما توقف الثالث على بعد 212m من الرصيف.

a) إذا اعتبرنا أن الرصيف يمثل النقطة (0,0)، فمثِّل هذا الوضع بيانياً، وأوجد معادلة خط سير القارب الأول، ومعادلة خط سير القارب الثاني، وفسر إجابتك.

معادلة المستقيم الذي يسير عليه القارب الأول هي y=x، وميل هذا المستقيم يساوي 1؛ لأن القارب أثناء سيره يقطع عدداً متساوياً من الوحدات من جهة الشمال ومن جهة الشرق، انطلاقاً من نقطة الأصل، ومعادلة المستقيم الذي يسير عليه القارب الثاني هي y=-x وميل هذا المستقيم يساوي 1- ؛ لأن القارب أثناء سيره يقطع عدداً متساوياً من الوحدات من جهة الشمال ومن جهة الغرب، انطلاقاً من نقطة الأصل، والمقطع y لخطي سير القاربين يساوي 0.

b) اكتب برهاناً حراً لإثبات أن الرصيف والقاربين (الأول والثاني) تشكل مثلثاً قائم الزاوية متطابق الضلعين.

المسافة بين الرصيف وكلّ من القاربين (الأول والثاني) هي 300 m، لذا فإن هذين الضلعين متطابقان، والمثلث المتكوّن من الرصيف وكلّ من القاربين الأول والثاني يكون متطابق الضلعين بحسب تعريف المثلث المتطابق الضلعين، وكذلك قياس الزاوية عند الرصيف تساوي 45°+45°=90° بحسب مسلمة جمع قياسات الزوايا، إذن المثلث قائم الزاوية.

c) أوجد إحداثيات مواقع هذه القوارب الثلاثة، وفسر إجابتك.

القارب الأول سيقع عند النقطة (a, a)، لأنه يقع على المستقيم الذي معادلته x=y، إذن المسافة بين القارب الأول والرصيف (0,0) تعطى بالمعادلة:

$\begin{array}{c}\sqrt{(a-0{)}^2+(a-0{)}^2}=300\\ \sqrt{2a^2}=300\\ 2a^2=90000\\ a=\mp \sqrt{45000} ن\text{إذ }{a}^2=45000\end{array}$

أو $a=\pm 150\sqrt{2}$، لكن بما أن القارب يقع في الربع الأول، إذن إحداثياه موجبان و $a=150\sqrt{2}$، أو موقع القارب الأول هو: $(150\sqrt{2},150\sqrt{2})$ وبالطريقة نفسها يكون موقع القارب الثاني: $(-150\sqrt{2},150\sqrt{2})$، وموقع القارب الثالث (0,212).

d) اكتب برهاناً إحداثياً لإثبات أن القوارب الثلاثة تقع على خط مستقيم واحد تقريباً، وأن القارب الثالث يقع في منتصف المسافة بين القاربين الأول والثاني.

الإحداثي y لكلٍّ من القاربين (الأول والثاني) يساوي $2\sqrt{150}\simeq 212.13$، في حين أن الإحداثي y للقارب الثالث يساوي 212، وبما أن للقوارب الثلاثة الإحداثي y نفسه تقريباً، فإنها تقع على المستقيم نفسه تقريباً، ونقطة المنتصف بين القاربين (الأول والثاني) هي:

$\left(\frac{{\displaystyle 150\sqrt{2}-150\sqrt{2}}}{{\displaystyle 2}},\frac{{\displaystyle 212+212}}{{\displaystyle 2}}\right)$ أو (0,212) وهذه هي إحداثيات موقع القارب الثالث.