تدرب وحل المسائل

حدد ما إذا كانت كل من القياسات الآتية تمثل أطوال أضلاع مثلث في كل مما يأتي، وإن لم يكن ذلك ممكناً فوضح السبب.

4ft, 9ft, 15ft (6

.لا ،$4+9\ngtr 15$

11mm, 21mm, 16mm (7

.نعم ،$11+21>16,11+16>21,16+21>11$

9.9cm, 1.1cm, 8.2cm (8

.لا ،$1.1+8.2\ngtr 9.9$

$2\frac{1}{2}\mathrm{m},1\frac{3}{4}\mathrm{m},5\frac{1}{8}\mathrm{m}$ (9

.لا ،$2\frac{1}{2}+1\frac{3}{4}\ngtr 5\frac{1}{8}$

اكتب متباينة تمثل مدى طول الضلع الثالث في مثلث علم طولا ضلعين من أضلاعه في كلّ مما يأتي:

4ft, 8ft (10

$4\mathrm{ft}<n<12\mathrm{ft}$

5m, 11m (11

$6\mathrm{m}<n<16\mathrm{m}$

2.7cm, 4.2cm (12

$1.5\mathrm{cm}<n<6.9\mathrm{cm}$

$\frac{1}{2}\mathrm{km},3\frac{1}{4}\mathrm{km}$ (13

$2\frac{3}{4}\mathrm{km}<n<3\frac{3}{4}\mathrm{km}$

برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين لكل مما يأتي:

14) المعطيات: $\mathrm{\angle }BCD\cong \mathrm{\angle }CDB$

المطلوب: $AB+AD>BC$

البرهان:

15) المعطيات: $\overline{JL}\cong \overline{LM}$

المطلوب: $KJ+KL>LM$

البرهان:

جبر: جد القيم الممكنة ل x في كل من السؤالين الآتيين:

16)

متباينات المثلث الثلاث:

$\left\{\begin{array}{l}x+5<2x+22+5x-7 و\\ 2x+22<x+5+5x-7 و\\ 5x-7<x+5+2x+22\end{array}\right\}$

أو $-10<6x,24<4x,2x<34$

أي $-\frac{5}{3}<x,6<x,x<17$

إذن $6<x<17$

17)

$\left\{\begin{array}{rl}& 4x-1<x+13+2x+7 و\\ & x+13<4x-1+2x+7 و\\ & 2x+7<4x-1+x+13\end{array}\right\}$

أو $x<21,7<5x,-5<3x$

اي $x<21,\frac{7}{5}<x,-\frac{5}{3}<x$

إذن $\frac{7}{5}<x<21$

18) قيادة: يريد توفيق أن يسلك المسار الأقصر من بيته إلى المجمع الرياضي، ويمكنه أن يسلك الطريق 1 أو الطريق 2 ثم الطريق 3.

a) أيُّ المسارين أقصر من بيت توفيق إلى المجمع الرياضي؟ وضح إجابتك.

الطريق 1؛ إجابة ممكنة: في أي مثلث يكون مجموع طولي أي ضلعين أكبر من طول الضلع الثالث؛ لذلك فمجموع المسافتين على الطريق 2 والطريق 3 أكبر من المسافة على الطريق 1.

b) افترض أن توفيقاً يقود سيارته بسرعة قريبة جداً من السرعة القصوى المسموح بها ولا تتعداها، إذا كانت السرعة القصوى على الطريق 1 تساوي 60km/h، وعلى كل من الطريقين 2 و3 تساوي 100km/h، فأيُّ المسارين سيستغرق وقتاً أقل؟ وضح إجابتك.

الطريق 2 ثم الطريق 3؛ إجابة ممكنة: بما أنه يمكن لتوفيق أن يقود سيارته بسرعة 60km/h على الطريق 1 الذي طول 60km فإنه يستغرق ساعة تقريباً للوصول إلى المجمع أو أن يقود سيارته بسرعة 100km/h على الطريق 2 ثم الطريق 3 اللذين مجموع طوليهما 85km لذلك يستغرق 0.85 من الساعة أو 51 دقيقة تقريباً للوصول إلى المجمع، إذن استعمال الطريق 2 ثم الطريق 3 يستغرق وقتاً أقل من الطريق 1.

19) برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين.

• المعطيات: $△ABC$
• المطلوب: $AC+BC>AB$ (نظرية متباينة المثلث).

(إرشاد: ارسم قطعة مستقيمة مساعدة $\overline{CD}$ على أن تكون C بين B,D ويكون $\overline{CD}\cong \overline{AC}$).

البرهان:

إذا كانت كل مجموعة تمثل أطوال أضلاع مثلث، فاكتب متباينة تمثل مدى القيم الممكنة ل x في كل من الأسئلة الآتية:

20) x, 4, 6

$2<x<10$

21) 8, x, 12

$4<x<20$

22) x+1, 5 ,7

$1<x<11$

23) x+2, x+4, x+6

$x>0$

24) مسرح: يصمم عبد الرحمن وخليل منحدراً للصعود إلى منصة المسرح، فخطَّط عبد الرحمن المنحدر كما في الشكل أدناه، ولكن خليلاً كان قلقاً بشأن القياسات ويريد أن يتحقق منها قبل البدء في قص الخشب، فهل يوجد ما يبرر هذا القلق؟ وضح إجابتك.

نعم؛ إجابة ممكنة: القياسات الظاهرة على الرسم لا تشكِّل مثلثاً، وبحسب نظرية متباينة المثلث، مجموع طولي أي ضلعين لمثلث يكون أكبر من طول الضلع الثالث، والأطوال في الرسم هي:

$.1\mathrm{ft},3\frac{7}{8}\mathrm{ft},6\frac{3}{4}\mathrm{ft}$ وبما أن $1+3\frac{7}{8}\ngtr 6\frac{3}{4}$ إذن هذه الأطوال لا تمثل أطوال أضلاع لمثلث، وعليهما أن يعيدا حساب القياسات قبل قصّ الخشب.

تقدير: حدد ما إذا كانت القياسات المعطاة يمكن أن تمثل أطوال أضلاع مثلث في كلّ مما يأتي، وذلك دون استعمال الآلة الحاسبة، وضّح إجابتك.

25) $\sqrt{8}\mathrm{ft},\sqrt{2}\mathrm{ft},\sqrt{35}\mathrm{ft}$

لا، $\sqrt{8}\approx 2.9$ لأن $\sqrt{9}=3$ و $\sqrt{2}\approx 1.5$ لأنه يقع بين $\sqrt{1},\sqrt{4}$ و $\sqrt{35}\approx 5.9$ لأن $\sqrt{36}=6$ لذا فإن $2.9+1.5\ngtr 5.9$.

26) $\sqrt{99}\mathrm{cm},\sqrt{48}\mathrm{cm},\sqrt{65}\mathrm{cm}$

نعم، $\sqrt{99}\approx 9.9$ لأن

$\begin{array}{rl}& \mathrm{لأن} \sqrt{48}\approx 6.9 و \sqrt{100}=10\\ & \mathrm{لأن} \sqrt{65}\approx 8.1 و \sqrt{49}=7\end{array}$

$\sqrt{64}=8$ لذا فإن

$\begin{array}{r}6.9+8.1>9.9\\ 8.1+9.9>6.9\\ 9.9+6.9>8.19\end{array}$

27) حدد ما إذا كانت النقاط X (1, -3) , Y (6, 1) , Z (2,2) تمثل رؤوس مثلث، وضح إجابتك.

نعم،

$\begin{array}{r}XY+YZ>XZ,XY+XZ>YZ,\\ XZ+YZ>XY\end{array}$

28) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة ستكتشف العلاقة بين أضلاع مثلثين وزواياهما.

a) هندسياً: ارسم ثلاثة أزواج من المثلثات في كل مثلثين منها زوجان من الأضلاع المتطابقة فقط، وضع إشارات على كل ضلعين متطابقين، وصمم كل زوج من المثلثات ABC,DEF حيث $\overline{AB}\cong \overline{DE},\overline{AC}\cong \overline{DF}$.

b) جدولياً: انسخ الجدول أدناه في دفترك، ثم أوجد بالقياس قيمة كل من $BC,m\mathrm{\angle }A,EF,m\mathrm{\angle }D$، وسجلها في الجدول.

c) لفظياً: خمن العلاقة بين الزاويتين المقابلتين للضلعين غير المتطابقين في كل زوج من المثلثات التي فيها زوجان من الأضلاع المتطابقة.

إجابة ممكنة: قياس الزاوية التي تقابل الضلع الأطول من الضلعين غير المتطابقين أكبر من قياس الزاوية التي تقابل الضلع الأقصر منهما.