مراجعة الدرس الرابع: البرهان غير المباشر

اكتب الافتراض الضروري الذي تبدأ به برهاناً غير مباشر لكل عبارة مما يأتي:

19) $m\mathrm{\angle }A\ge m\mathrm{\angle }B$.

$m\mathrm{\angle }A<m\mathrm{\angle }B$

20) $\mathrm{△}FGH\cong \mathrm{△}MNO$.

$\mathrm{△}MNO\not\equiv \mathrm{△}FGH$

21) $△KLM$ قائم الزاوية.

$△KLM$ ليس قائم الزاوية.

22) إذا كان $3y<12$، فإن $y<4$.

$y\ge 4$

23) اكتب برهاناً غير مباشر لتبين أنه إذا كانت الزاويتان متتامتين، فإنه لا يمكن أن تكون أيٌّ منهما قائمة.

1. المعطيات: $\mathrm{\angle }A,\mathrm{\angle }B$ متتامتان.
2. المطلوب: $\mathrm{\angle }A,\mathrm{\angle }B$ ليست زوايا قائمة.
3. البرهان: افترض أن $m\mathrm{\angle }A$ هو x و$m\mathrm{\angle }\mathrm{B}$ هو y، ومن تعريف الزوايا المتتامة يكون x + y = 90°

• الخطوة1: افترض أن $\angle A$ زاوية قائمة، فيكون °x=90.
• الخطوة2: بما أن °x=90 إذن $x+y>{90}^{\circ }$ وهذا تناقض لأننا نعلم أن x + y = 90°.
• الخطوة3: بما أن الفرض بأن إحدى الزاويتين قائمة أدى إلى تناقض، إذن هذا الفرض خطأ، لذا فالنتيجة بأن كلاً من الزاويتين ليست قائمة هي نتيجة صحيحة بالتأكيد.

24) مطالعة: اشترى محمود كتابين بأكثر من 180 ريالاً، استعمل البرهان غير المباشر لتبيّن أن ثمن أحدهما على الأقل أكثر من
90 ريالاً.

أفترض أن ثمن أحد الكتابين هو x، وثمن الآخر هو y.

المعطيات: $x+y>180$

المطلوب: إثبات أن $x>90$ أو $y>90$.

برهان غير مباشر:

• الخطوة1: افترض أن $x\le 90$ و $y\le 90$
• الخطوة2: إذا كانت $x\le 90$ و $y\le 90$ ، فإن $x+y\le 90+90$ أو $x+y\le 180$ وهذا تناقض لأننا نعلم أن $x+y>180$
• الخطوة3: بما أن الفرض $x\le 90$ و $y\le 90$ أدى إلى تناقض مع حقيقة معطاة فإن هذا الفرض خطأ وبذلك تكون النتيجة بأن $y>90\text{أو}4>90$ نتيجة صحيحة أي أن ثمن كتاب واحد على الأقل يزيد عن 90 ريالاً.