حل أسئلة تدرب وحل المسائل

استعمل التمثيل البياني لكل دالة مما يأتي؛ لتقدير قيمها المطلوبة، ثم تحقق من إجابتك جبرياً، وقرب الناتج إلى أقرب جزء من مئة إذا لزم ذلك:

1)

g (6) (a

$g\left(6\right)=-5\sqrt{6}+50=37.75$

g (12) (b

$g\left(12\right)=-5\sqrt{12}+50=32.86$

g (19) (c

$g\left(19\right)=-5\sqrt{19}+50=28.21$

2)

g (-8) (a

$g(-8)=|-8|+2=10$

g (-3) (b

$g(-3)=|-3|+2=5$

g (0) (c

$g\left(0\right)=\left|0\right|+2=2$

3)

g (-6) (a

p (-6)=-3

g (2) (b

p (2)=2-1=1

g (9) (c

p (9)=9-1=8

4)

g (-3) (a

$f(-3)=\frac{-3-1}{-3}=\frac{-4}{-3}=\frac{4}{3}$

g (0.5) (b

$f\left(0.5\right)=\frac{0.5-1}{0.5}=\frac{-0.5}{0.5}=-1$

g (1) (c

$f\left(0\right)=\frac{0-1}{0}=\frac{-1}{0}$ غير معروفة

5) مياه: إذا كانت كمية المياه المحالة في محطة الخبر (بملايين المترات المكعبة) في الفترة (1431هـ إلى 1437هـ) معطاة بالدالة: $f\left(x\right)=0.0509x^4-0.3395x^3-2.28x^2+25.35x+88.27$ حيث تمثل x رقم السنة منذ عام 1430ه.

a) قدر كمية المياه المالحة في سنة 1435 هـ باستعمال التمثيل البياني.

149 مليون بتر مكعب.

b) أوجد كمية المياه المحلاة في سنة 1435ه جبرياً، مقرباً إجابتك إلى أقرب جزء من عشرة.

$f\left(5\right)=0.0509(5{)}^4-0.3395(5{)}^3-2.2(5{)}^2+25.35\times 5+88.27$

= 149.4 مليون لتر مكعب.

c) قدر السنة التي كانت كمية المياه المحلاة فيها 130 مليون لتر مكعب باستعمال التمثيل البياني وتحقق من إجابتك جبرياً.

1422ه

التحقق جبرياً: $f\left(2\right)=0.0509(2{)}^4-0.3395(2{)}^3-2.2(2{)}^2+25.35\times 2+88.27$ =130 تقريباً.

استعمل التمثيل البياني للدالة h في كل مما يأتي لإيجاد كل من مجال الدالة ومداها.

6)

• المجال= $\{x\mid x\in R\}$
• المدى= $[-3,\mathrm{\infty })$

7)

• المجال= $(-4,4]$
• المدى= $[-1,6]$

8)

• المجال= $[-5,\mathrm{\infty })$
• المدى= $[-2,\mathrm{\infty })$

9)

• المجال= $(-\mathrm{\infty },7]$
• المدى = $\{-1\}\cup (1,\mathrm{\infty })$

10) هندسة: أُجريت اختبارات على الخصائص الفيزيائية لعينات من أربع قطع معدنية، حيث أُخضعت لدرجات حرارة سيليزية مختلفة، فإذا كانت الطاقة المخزنة أو الممتصة في العينة خلال الاختبار مقاسة بالجول (j) كما هو موضح في الشكل أدناه، فأجب عما يأتي:

a) أوجد المجال والمدى لكل دالة.

النحاس:

• المجال= $\{x\mid -150\le x\le 150,x\in R\}$
• المدى= $\{y\mid y=175\}$

الألمنيوم:

• المجال= $\{x\mid -150\le x\le 150,x\in R\}$
• المدى= $\{y\mid 0.6\le y\le 1.5,y\in R\}$

الزنك:

• المجال= $\{x\mid -150\le x\le 150,x\in R\}$
• المدى= $\{y\mid 0.5\le y\le 1.25,y\in R\}$

الفولاذ:

• المجال= $\{x\mid -150\le x\le 150,x\in R\}$
• المدى= $\{y\mid 0.2\le y\le 1.75,y\in R\}$

b) استعمل التخزين البياني لتقدير الطاقة المخزنة في كل معدن عند الصفر السيليزي.

• النحاس: 1.75 جول
• الألمنيوم: 1.2 جول
• الزنك: 0.5 جول
• الفولاذ: 1.5 جول

استعمل التمثيل البياني لكل دالة مما يأتي، لإيجاد مقطع المحور y، وأصفار الدالة ثم أوجد أصفار الدالة جبرياً.

11)

$f\left(x\right)=\sqrt{x-1}$

لإيجاد مقطع y:

$f\left(0\right)=\sqrt{0-1}=\sqrt{-1}\notin R$ لا يوجد مقطع y

لإيجاد مقطع x:

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\sqrt{x-1}=0\\ & \therefore x-1=0\therefore x=1\end{array}$ أصفار الدالة هي 1

12)

$f\left(x\right)=2x^3-x^2-3x$

لإيجاد مقطع y:

$f\left(0\right)=2(0{)}^3-(0{)}^2-3\left(0\right)=0$ مقطع y هو 0

لإيجاد مقطع x:

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=2x^3-x^2-3x=0\\ & \therefore x(2x^2-x-3)=0\therefore x(2x-3)(x+1)=0\\ & \therefore x=0,x=\frac{3}{2}\text{or}x=-1\end{array}$

أصفار الدالة هي: 1-, $\frac{3}{2}$, 0

13)

$f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$

لإيجاد مقطع x:

$f\left(0\right)=\sqrt[3]{0}=0$ مقطع y هو 0

لإيجاد مقطع y:

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}=0\\ & \therefore x=0\end{array}$

أصفار الدالة هي 0

14)

$f\left(x\right)=6x^2-x-2$

لإيجاد مقطع y:

$f\left(0\right)=6(0{)}^2-(0)-2=-2$ مقطع y هو 2-

لإيجاد مقطع x:

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=6x^2-x-2=0\\ & \therefore (3x-2)(2x+1)=0\\ & x=\frac{2}{3}\text{or}x=-\frac{1}{2}\end{array}$

أصفار الدالة هي: $\frac{2}{3},-\frac{1}{2}$

15)

$f\left(x\right)=x^3-3x+2$

لإيجاد مقطع y: $f\left(0\right)=(0{)}^3-3(0)+2=2$

مقطع y هو 2

يتضح من التمثيل البياني أن أصفار الدالة هو 1 و 2-

الحل جبرياً:

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=x^3-3x+2+x-x\\ & (x^3-4x)+x+2\\ & x(x^2-4)+(x+2)\\ & x(x-2)(x+2)+(x+2)\\ & (x+2)\left\{x\right(x-2)+1\mid \}\\ & (x+2)(x^2-2x+1)=0\\ & x=-2\text{نإ}x+2=0\\ & x^2-2x+1=0\\ & (x-1)(x-1)\end{array}$

x-1=0 إذن x=1

أي صفري الدالة هما 1 و 2-

16)

$f\left(x\right)=x^2+5x+6$

لإيجاد مقطع y:

$f\left(0\right)=(0{)}^2+5(0)+6=6$ مقطع y هو 6

لإيجاد مقطع x:

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=x^2+5x+6=0\\ & \therefore (x+2)(x+3)=0\\ & x=-2\text{or}x=-3\end{array}$

أصفار الدالة هي: 3- و 2-

استعمل التمثيل البياني لكل معادلة مما يأتي لاختبار التماثل حول المحور x والمحور y ونقطة الأصل، عزز إجابتك عددياً، ثم تحقق منها جبرياً.

17)

يتضح من التمثيل البياني ان المنحنى متماثل حول المحور x والمحور y ونقطة الأصل.

18)

يتضح من التمثيل البياني أن المنحنى متماثل حول المحور x

19)

يتضح من التمثيل البياني أن المنحنى متماثل حول نقطة الأصل.

20)

يتضح من التمثيل البياني أن المنحنى متماثل حول المحور x والمحور y ونقطة الأصل.

21)

يتضح من التمثيل البياني أن المنحنى متماثل حول نقطة الأصل.

22)

يتضح من التمثيل البياني أن المنحنى متماثل حول نقطة الأصل.

23)

يتضح من التمثيل البياني أن المنحنى متماثل حول المحور y

24)

لا يوجد تماثل.

الحاسبة البيانية: استعمل الحاسبة البيانية لتمثل كل دالة مما يأتي بيانياً، ثم حلل منحناها لتحدد إذا كانت الدالة زوجية أم فردية أم غير ذلك، ثم تحقق من إجابتك جبرياً، وإذا كانت الدالة زوجية أو فردية فصف تماثل منحناها.

25) $f\left(x\right)=x^2+6x+10$

ليست فردية وليست زوجية.

التحقق جبرياً: $f(-x)=x^2-6x+10\ne f\left(x\right)$

26) $f\left(x\right)=-2x^3+5x-4$

ليست فردية وليست زوجية.

التحقق جبرياً: $f(-x)=2x^3-5x-4\ne f\left(x\right)$

27) $g\left(x\right)=\sqrt{x+6}$

ليست فردية وليست زوجية.

التحقق جبرياً: $g(-x)=\sqrt{-x+6}\ne g\left(x\right)$

28) $h\left(x\right)=|8-2x|$

ليست فردية وليست زوجية.

التحقق جبرياً: $h(-x)=|8+2x|\ne h\left(x\right)$

29) $f\left(x\right)=\left|x^3\right|$

دالة زوجية لتماثلها حول المحور y.

التحقق جبرياً: $f(-x)=\left|\right(-x{)}^3|=\left|x^3\right|=f\left(x\right)$

30) $g\left(x\right)=\frac{x^2}{x+1}$

ليست فردية وليست زوجية.

التحقق جبرياً: $g(-x)=\frac{x^2}{-x+1}\ne g\left(x\right)$

31) استعمل التمثيل البياني للدالة f لتقدير قيمها المطلوبة:

f (-2) (a

f(-2)=-2

f (-4) (b

-5

f (2) (c

6

32) مبيعات: إذا كان عدد أجهزة التبريد التي باعها محل للأجهزة الكهربائية مقدراً بالآلاف خلال الفترة من 1432ه إلى 1436ه يعطى بالدالة $h\left(x\right)=0.5x^2+0.5x+1.2$ حيث x رقم السنة منذ 1432ه.

a) اكتب مجال الدالة ثم قرب مداها.

• المجال= $\{x\mid 0\le x\le 4,x\in W\}$
• المدى= $\{y\mid 1200\le y\le 11200,y\in R\}$

b) استعمل المنحنى لتقدير عدد الأجهزة المبيعة سنة 1434هـ، ثم أوجد ذلك جبرياً.

حوالي 4200 جهاز.

التحقق جبرياً: $h\left(2\right)=0.5(2{)}^2+0.5\times 2+1.2=4.2\times 1000=4200$

c) استعمل المنحنى لتقدير قيمة المقطع y للدالة ثم أوجده جبرياً، ماذا يمثل المقطع y؟

1200 ويمثل المقطع y عدد الأجهزة المبيعة منه سنة 1422هـ.

التحقق جبرياً: $h\left(0\right)=0.5(0{)}^2+0.5\times 0+1.2=1.2\times 1000=1200$

d) هل لهذه الدالة أصفار؟ إذا كانت الإجابة نعم، فأوجد قيمة تقريبية لهذه الأصفار، وفسر معناها، وإذا كانت الإجابة لا، فوضح السبب.

لا يوجد لهذه الدالة أصفار، لأنه لكل سنة من سنوات المجال يوجد عدد من الأجهزة المبيعة.

33) دوال: إذا كانت $f\left(x\right)=x^n$، حيث $n\in \mathrm{N}$ فأجب عن الأسئلة التالية:

a) استعمل الحاسبة البيانية لتمثيل f(x) بيانياً لكل قيمة من قيم n في الفترة $.1\le n\le 6$

b) اكتب المجال والمدى لكل دالة.

f(x)=x

• المجال = $\{x\mid x\in R\}$
• الدالة = $\{y\mid y\in R\}$

f(x)=x²

• المجال= $\{x\mid x\in R\}$
• الدالة= $\{y\mid y\ge 0,y\in R\}$

f(x)=x³

• المجال= $\{x\mid x\in R\}$
• الدالة= $\{y\mid y\in R\}$

f(x)=x⁴

• المجال= $\{x\mid x\in R\}$
• الدالة= $\{y\mid y\ge 0,y\in R\}$

f(x)=x⁵

• المجال= $\{x\mid x\in R\}$
• الدالة= $\{y\mid y\in R\}$

f(x)=x⁶

• المجال= $\{x\mid x\in R\}$
• الدالة= $\{y\mid y\ge 0,y\in R\}$

c) صف التماثل لكل دالة.

• f(x)=x متماثلة حول نقطة الأصل.
• f(x)=x² متماثلة حول المحور y.
• f(x)=x³ متماثلة حول نقطة الأصل.
• f(x)=x⁴ متماثلة حول المحور y.
• f(x)=x⁵ متماثلة حول نقطة الأصل.
• f(x)=x⁶ متماثلة حول المحور y.

d) تنبأ بمجال الدالة f(x)=x³⁵، ومداها وتماثلها، ثم برر إجابتك.

• المجال= $\{x\mid x\in R\}$
• الدالة= $\{y\mid y\in R\}$

34) صيدلة: إذا كان عدد مليجرامات الدواء في دم مريض بعد x ساعة من تناوله الدواء يعطى بالعلاقة: $f\left(x\right)=0.5x^4+3.45x^3-96.65x^2+347.7x$.

a) استعمل الحاسبة البيانية لتمثيل الدالة بيانياً.

$0.5x^4+3.45x^3-96.65x^2+347.7x$

الحاسبة البيانية:

b) اكتب المجال المناسب للدالة، وفسر إجابتك.

المجال: $\{x\mid 0\le x\le 6,x\in W\}$، يبقى مسكن الألم في الدم من الصفر إلى 6 ساعات.

c) ما أكبر عدد من مليجرامات الدواء يكون موجوداً في دم المريض وفق هذه الدالة؟

346 مليجرام تقريباً.

الحاسبة البيانية: مثل كلاً من الدوال بيانياً، وحدد أصفارها ثم تحقق من أصفار الدالة جبرياً.

35) $f\left(x\right)=\frac{4x-1}{x}$

x=0.25

التحقق جبرياً:

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\frac{4x-1}{x}=0\\ & \therefore 4x-1=0\\ & \therefore 4x=1\therefore x=\frac{1}{4}\end{array}$

36) $f\left(x\right)=\frac{x^2+9}{x+3}$

لا يوجد أصفار الدالة.

37) $h\left(x\right)=2\sqrt{x+12}-8$

x=4

جبرياً:

$\begin{array}{rl}& h\left(x\right)=2\sqrt{x+12}-8=0\\ & \therefore \sqrt{x+12}=\frac{8}{2}=4\\ & \therefore x+12=16\therefore x=16-12=4\end{array}$

38) $g\left(x\right)=-12+\frac{4}{x}$

x=0.33

جبرياً:

$\begin{array}{rl}& g\left(x\right)=-12+\frac{4}{x}=0\\ & \therefore \frac{4}{x}=12\therefore 12x=4\\ & \therefore x=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\end{array}$

استخدم التمثيل البياني للدالة f لتحدد مجالها ومداها في كل مما يأتي:

39)

• المجال= $(-8,-4]\cup (-2,\mathrm{\infty })$
• المدى= $(-6,\mathrm{\infty })$

40)

• المجال= $(-\mathrm{\infty },-6]\cup (0,5)\cup (8,10)$
• المدى= $(-\mathrm{\infty },8)\cup \left\{10\right\}$

41) فيزياء: إذا كان مسار أحد المذنبات حول الشمس يعطى بالعلاقة: $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{10}=1$

a) صف تماثل منحنى المذنب.

المنحنى متماثل حول المحور x والمحور y ونقطة الأصل.

b) استعمل التماثل لتمثيل منحنى العلاقة.

c) إذا مر المذنب بالنقطة $(2,\sqrt{5})$، فعين ثلاث نقاط أخرى يجب أن يمر بها المذنب.

$(2,-\sqrt{5}),(-2,\sqrt{5}),(-2,-\sqrt{5})$

42) أسهم: افترض أن النسبة المئوية للتغير في سعر سهم خلال سنة واحدة تعطى بالدالة: $p\left(x\right)=0.0005x^4-0.0193x^3+0.243x^2-1.014x+1.04$ حيث x رقم الشهر بدءاً من يناير.

a) استعمل الحاسبة البيانية لتمثل الدالة بيانياً.

b) وجد مجال الدالة، ثم قدر مداها.

• المجال= $\{x\mid 0\le x\le 11,x\in W\}$
• المدى= $\{y\mid -0.5\le y\le 1,y\in R\}$

c) استعمل المنحنى لتقريب قيمة المقطع y، وماذا يمثل؟

قيمة المقطع y=1.04 ويمثل نسبة التغير المئوية الابتدائية في الأسعار.

d) أوجد أصفار الدالة، ووضح معناها.

أصفار الدالة 1.5,5.2 وتمثل خط الأساس أو الوقت الذي يكون فيه نسبة التغير صفر.

43) تمثيلات متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة مدى قيم الدالة $f\left(x\right)=\frac{1}{x-2}$ عندما تقترب x من العدد 2.

a) جدولياً: انقل الجدول الآتي إلى دفترك، وأضف قيماً أخرى للمتغير x إلى يمين العدد 2 وإلى يساره، ثم أكمل الجدول.

b) تحليلياً: معتمداً على جدولك، ما القيمة أو القيم التي تقترب منها الدالة عندما تقترب x من العدد 2؟

• عندما تقترب x من 2 من اليسار تقترب الدالة من $-\infty$
• عندما تقترب x من 2 من اليمين تقترب الدالة من $\infty$

c) بيانياً: مثل الدالة بيانياً، وهل يؤكد التمثيل البياني تخمينك في الفرع b؟ وضح إجابتك.

عندما تقترب الدالة من 2 من جهة اليسار تتناقص قيم الدالة بلا حدود، وعندما تقترب الدالة من 2 من جهة اليمين تتزايد قيم الدالة بلا حدود.

d) لفظياً: خمن القيمة التي تقترب منها الدالة من خلال التمثيل البياني في الفرع c ووضح إجابتك.

عندما تزايد x بشكل كبير وتكون $x>3$ يتزايد مقام الكسر بشكل كبير وهذا يؤدي إلى تناقص قيمة الكسر لكنه لا يصل إلى الصفر وعليه لا يقطع المنحني المحور x.

الحاسبة البيانية: مثل كلاً من الدوال الآتية بيانياً، ثم حلل منحناها لنحدد ما إذا كانت الدالة زوجية أم فردية أم غير ذلك.

44) $h\left(x\right)=x^5-17x^3+16x$

الدالة فردية متماثلة حول نقطة الأصل.

45) $f\left(x\right)=x^2-x-6$

الدالة ليست زوجية وليست فردية.

46) $h\left(x\right)=x^6+4$

الدالة زوجية متماثلة حول المحور y.

47) $f\left(g\right)=g^9$

الدالة فردية متماثلة حول نقطة الأصل.

48) $g\left(x\right)=x^4+8x^2+81$

الدالة زوجية متماثلة حول المحور y.

49) $f\left(z\right)=z^3-4z^2+4z$

الدالة ليست زوجية وليست فردية.