حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية:

1) $co{s}^2\theta +ta{n}^2\theta co{s}^2\theta =1$

$\begin{array}{c}co{s}^2\theta +ta{n}^2\theta co{s}^2\theta =co{s}^2\theta +\frac{si{n}^2\theta }{co{s}^2\theta }\times co{s}^2\theta \\ =co{s}^2\theta +si{n}^2\theta =1\end{array}$

2) $\cot \theta (\cot \theta +\tan \theta )={\csc }^2\theta$

$\begin{array}{rl}& cot\theta (cot\theta +tan\theta )=co{t}^2\theta +cot\theta tan\theta =co{t}^2\theta +1\\ & =\frac{co{s}^2\theta }{si{n}^2\theta }+1=\frac{co{s}^2\theta +si{n}^2\theta }{si{n}^2\theta }=\frac{si{n}^2\theta }{si{n}^2\theta }=\frac{1}{si{n}^2\theta }=cs{c}^2\theta \end{array}$

3) $1+{\sec }^2\theta {\sin }^2\theta ={\sec }^2\theta$

$\begin{array}{rl}& 1+se{c}^2\theta =1+\frac{1}{co{s}^2\theta }\times si{n}^2\theta \\ =& \frac{co{s}^2\theta +si{n}^2\theta }{co{s}^2\theta }=\frac{1}{co{s}^2\theta }=se{c}^2\theta \end{array}$

4) $\sin \theta \sec \theta \cot \theta =1$

$=sin\theta \times \frac{sin\theta \times sec\theta \times cot\theta }{cos\theta }\times \frac{cos\theta }{sin\theta }=\frac{cos\theta sin\theta }{cos\theta sin\theta }=1$

5) $\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }=(\csc \theta -\cot \theta {)}^2$

$\begin{array}{c}(sec\theta -cot\theta {)}^2=se{c}^2\theta -2sec\theta cot\theta +co{t}^2\theta \\ =\frac{1}{si{n}^2\theta }-2\frac{1}{sin\theta }\times \frac{cos\theta }{sin\theta }+\frac{co{s}^2\theta }{si{n}^2\theta }=\frac{1-2cos\theta +co{s}^2\theta }{si{n}^2\theta }\\ =\frac{(1-cos\theta {)}^2}{si{n}^2\theta }=\frac{(1-cos\theta )(1-cos\theta )}{1-co{s}^2\theta }\\ =\frac{(1-cos\theta )(1-cos\theta )}{(1-cos\theta )(1+cos\theta )}=\frac{1-cos\theta }{1+cos\theta }\end{array}$

6) $\frac{1-2{\cos }^2\theta }{\sin \theta \cos \theta }=\tan \theta -\cot \theta$

$\begin{array}{rl}\frac{1-2co{s}^2\theta }{sin\theta cos\theta }& =\frac{(1-co{s}^2\theta )-co{s}^2\theta }{sin\theta cos\theta }\\ =\frac{si{n}^2\theta -co{s}^2\theta }{sin\theta cos\theta }=\frac{sin\theta }{cos\theta }-\frac{cos\theta }{sin\theta }=tan\theta cot\theta & \end{array}$

7) $\tan \theta =\frac{\sec \theta }{\csc \theta }$

$\frac{sec\theta }{csc\theta }=\frac{\frac{1}{cos\theta }}{\frac{1}{sin\theta }}=\frac{sin\theta }{cos\theta }=tan\theta$

8) $\cos \theta =\sin \theta \cot \theta$

$sin\theta cot\theta =sin\theta \times \frac{cos\theta }{sin\theta }=cos\theta$

9) $(\sin \theta -1)(\tan \theta +\sec \theta )=-\cos \theta$

$\begin{array}{c}(sin\theta -1)(tan\theta +sec\theta )\\ =sin\theta tan\theta +sin\theta sec\theta -tan\theta -sec\theta \\ =\frac{si{n}^2\theta }{cos\theta }+\frac{sin\theta }{cos\theta }-\frac{sin\theta }{cos\theta }-\frac{1}{cos\theta }\\ =\frac{si{n}^2\theta -1}{cos\theta }=\frac{co{s}^2\theta }{cos\theta }=cos\theta \end{array}$

10) $\cos \theta \cos (-\theta )-\sin \theta \sin (-\theta )=1$

$\begin{array}{c}cos\theta cos(-\theta )-sin\theta sin(-\theta )\\ =co{s}^2\theta +si{n}^2\theta =1\end{array}$

11) اختيار من متعدد: أي عبارة مما يأتي تكافئ العبارة $\frac{{\tan }^2\theta +1}{{\tan }^2\theta }$؟

• sin ² θ
• cos ² θ
• tan ² θ
• csc ² θ

أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية:

12) $\sec \theta -\tan \theta =\frac{1-\sin \theta }{\cos \theta }$

$sec\theta -tan\theta =\frac{1}{cos\theta }-\frac{sin\theta }{cos\theta }=\frac{1-sin\theta }{cos\theta }$

13) $\frac{1+\tan \theta }{\sin \theta +\cos \theta }=\sec \theta$

$\begin{array}{c}\frac{1+tan\theta }{sin\theta +cos\theta }=\frac{1+\frac{sin\theta }{cos\theta }}{sin\theta +cos\theta }=\frac{cos\theta +sin\theta }{cos\theta (sin\theta +cos\theta )}\\ \frac{1}{cos\theta }=sec\theta \end{array}$

14) $\sec \theta \csc \theta =\tan \theta +\cot \theta$

$\begin{array}{c}sec\theta csc\theta =\frac{1}{cos\theta }\times \frac{1}{sin\theta }=\frac{1}{cos\theta sin\theta }\\ tan\theta +cot\theta =\frac{sin\theta }{cos\theta }+\frac{cos\theta }{sin\theta }=\frac{si{n}^2\theta +co{s}^2\theta }{cos\theta sin\theta }=\frac{1}{cos\theta sin\theta }\end{array}$

15) $\sin \theta +\cos \theta =\frac{2{\sin }^2\theta -1}{\sin \theta -\cos \theta }$

$\begin{array}{c}\frac{2si{n}^2\theta -1}{sin\theta -cos\theta }=\frac{2si{n}^2\theta -si{n}^2\theta -co{s}^2\theta }{sin\theta -cos\theta }=\frac{si{n}^2\theta -co{s}^2\theta }{sin\theta -cos\theta }\\ =\frac{(sin\theta -cos\theta )(sin\theta +cos\theta )}{sin\theta -cos\theta }=sin\theta +cos\theta \end{array}$

16) $(\sin \theta +\cos \theta {)}^2=\frac{2+\sec \theta \csc \theta }{\sec \theta \csc \theta }$

$\begin{array}{rl}& \frac{2+sec\theta csc\theta }{sec\theta csc\theta }=\frac{2+\frac{1}{cos\theta sin\theta }}{\frac{1}{cos\theta sin\theta }}=2cos\theta sin\theta +1\\ & =2cos\theta sin\theta +si{n}^2\theta +co{s}^2\theta =(sin\theta +cos\theta {)}^2\end{array}$

17) $\frac{\cos \theta }{1-\sin \theta }=\frac{1+\sin \theta }{\cos \theta }$

$\begin{array}{rl}\frac{1+sin\theta }{cos\theta }& =\frac{1+sin\theta }{cos\theta }\times \frac{1-sin\theta }{1-sin\theta }=\frac{1-si{n}^2\theta }{cos\theta (1-sin\theta )}\\ & =\frac{co{s}^2\theta }{cos\theta (1-sin\theta )}=\frac{cos\theta }{1-sin\theta }\end{array}$

18) $\csc \theta -1=\frac{{\cot }^2\theta }{\csc \theta +1}$

$\begin{array}{c}\frac{co{t}^2\theta }{csc\theta +1}=\frac{cs{c}^2\theta -1}{csc\theta +1}=\frac{(csc\theta -1)(csc\theta +1)}{csc\theta +1}\\ =csc\theta -1\end{array}$

19) ${\csc }^2\theta -{\cot }^2\theta ={\sec }^2\theta -{\tan }^2\theta$

$\begin{array}{rl}& cs{c}^2\theta -co{t}^2\theta =1\\ & se{c}^2\theta -ta{n}^2\theta =1\end{array}$

20) $\sin \theta \cos \theta \tan \theta +{\cos }^2\theta =1$

$\begin{array}{c}sin\theta cos\theta tan\theta +co{s}^2\theta =sin\theta cos\theta \times \frac{sin\theta }{cos\theta }+cs{c}^2\theta \\ si{n}^2\theta +co{s}^2\theta =1\end{array}$

21) $\sec \theta -\cos \theta =\tan \theta \sin \theta$

$\begin{array}{c}sec\theta -cos\theta =\frac{1}{sin\theta }-cos\theta =\frac{1-co{s}^2\theta }{cos\theta }=\frac{si{n}^2\theta }{cos\theta }\\ sec\theta -cos\theta =\frac{sin\theta }{cos\theta }\times sin\theta =\frac{si{n}^2\theta }{cos\theta }\end{array}$

22) ${\csc }^2\theta ={\cot }^2\theta +\sin \theta \csc \theta$

$\begin{array}{c}co{t}^2\theta +sin\theta csc\theta =co{t}^2\theta +sin\theta \frac{1}{sin\theta }\\ =co{t}^2\theta +1=cs{c}^2\theta \end{array}$

23) $\frac{\sec \theta -\csc \theta }{\csc \theta \sec \theta }=\sin \theta -\cos \theta$

$\frac{sec\theta -csc\theta }{sec\theta csc\theta }=\frac{1}{csc\theta }-\frac{1}{sec\theta }=sin\theta -cos\theta$

24) ألعاب: يبين الشكل المجاور إحدى الألعاب، فعندما تدور الكرة حول العمود بسرعة زاوية ω (الإزاحة الزاوي مقسومة على الزمن المستغرق)، فإنها تكون مع الحبل L الذي طرفاه s, p، والزاوية المحصورة شكلاً مخروطياً، إذا علمت أن العلاقة بين طول الحبل L والزاوية المحصورة بين الحبل والعمود θ تعطى بالصيغة $L=\frac{g\sec \theta }{{\omega }^2}$، حيث g تسارع الجاذبية الأرضية ويساوي 9.8m/s²، فهل الصيغة $L=\frac{g\tan \theta }{{\omega }^2\sin \theta }$ هي أيضاً تمثل العلاقة بين θ , L؟ وضح إجابتك.

$L=\frac{g\tan \theta }{w^2\sin \theta }=\frac{g\frac{\sin \theta }{\cos \theta }}{w^2\sin \theta }=\frac{g\frac{1}{\cos \theta }}{w^2}=\frac{g\sec \theta }{w^2}$

نعم الصيغة $\mathit{L}=\frac{g\tan \theta }{{\mathit{w}}^2\sin \theta }$ مثل علاقة بين θ , L.

25) جري: مضمار سباق نصف قطره 16.7m، إذا ركض أحد العدائين في هذا المضمار، وكان جيب زاوية ميله θ يساوي $\frac{1}{4}$، فأوجد سرعة العداء.

إرشاد: أوجد cos θ أولاً، ثم استعمل صيغة زاوية الميل الواردة في فقرة "لماذا؟".

$\begin{array}{c}{\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta =1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}\\ \therefore \cos \theta =0.968\therefore \tan \theta =0.258\\ v^2=g\tan \theta =9.8\times 16.7\times 0.258=42.22\\ \therefore v=6.5\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$

بسط كلاً من العبارات الآتية، لتحصل على الناتج 1 أو 1-؟

26) $\cot (-\theta )\tan (-\theta )$

1

27) $\sin \theta \csc (-\theta )$

1-

28) ${\sin }^2(-\theta )+{\cos }^2(-\theta )$

1

29) $\sec (-\theta )\cos (-\theta )$

1

30) ${\sec }^2(-\theta )-{\tan }^2(-\theta )$

1

31) $\cot (-\theta )\cot \left(\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 2}}-\theta \right)$

1-

32) $\cos (-\theta )\sec \theta$

1

33) $\sin (-\theta )\csc \theta$

1

بسط كلاً مما يأتي إلى قيمة عددية، أو إلى دالة مثلثية أساسية:

34) $\frac{\tan \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)\csc \theta }{{\csc }^2\theta }$

$=\frac{cot\theta }{csc\theta }=\frac{\frac{cos\theta }{sin\theta }}{\frac{1}{sin\theta }}=cos\theta$

35) $\frac{1+\tan \theta }{1+\cot \theta }$

$\frac{1+tan\theta }{1+cot\theta }=\frac{1+\frac{sin\theta }{cos\theta }}{1+\frac{cos\theta }{sin\theta }}=\frac{\frac{cos\theta +sin\theta }{cos\theta }}{\frac{sin\theta +cos\theta }{sin\theta }}=\frac{sin\theta }{cos\theta }=tan\theta$

36) $\frac{{\sec }^2\theta -{\tan }^2\theta }{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}$

$\frac{se{c}^2\theta -ta{n}^2\theta }{co{s}^2\theta +si{n}^2\theta }=\frac{1}{1}=1$

37) $\tan \theta \cos \theta$

$tan\theta cos\theta =\frac{sin\theta }{cos\theta }\times cos\theta =sin\theta$

38) $\cot \theta \tan \theta$

1

39) $\sec \theta \sin \left(\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 2}}-\theta \right)$

$=\frac{1}{cos\theta }\times cos\theta =1$

40) $({\sec }^2\theta +{\csc }^2\theta )-({\tan }^2\theta +{\cot }^2\theta )$

$\begin{array}{c}(se{c}^2\theta +cs{c}^2\theta )-(ta{n}^2\theta +co{t}^2\theta )\\ =(se{c}^2-ta{n}^2\theta )+(cs{c}^2\theta -co{t}^2\theta )=1+1=2\end{array}$

41) فيزياء: عند إطلاق الألعاب النارية من سطح الأرض، فإن ارتفاع الألعاب y والإزاحة الأفقية x ترتبطان بالعلاقة: $y=\frac{-g{x}^2}{2v_0^2{\cos }^2\theta }+\frac{x\sin \theta }{\cos \theta }$، حيث v₀ هي السرعة الابتدائية للمقذوفات، θ زاوية الإطلاق، g تسارع الجاذبية الأرضية، أعد كتابة هذه العلاقة بحيث لا تظهر فيها نسب مثلثية سوى tan θ.

$y=\frac{-g{x}^2}{2w^2}(1+{\tan }^2\theta )+x\tan \theta$

42) إلكترونيات: عند مرور تيار متردد من خلال مقاومة R، فإن القدرة p بعد t من الثواني تعطى بالصيغة: $P=I_0^{2}R{\sin }^{2}2\pi ft$ حيث f التردد، I₀ أعلى قيمة للتيار.

a) اكتب صيغة للقدرة بدلالة ${\cos }^{2}2\pi ft$.

$P=I_{\circ }^{2}R(1-{\cos }^{2}2\pi ft)$

b) اكتب صيغة للقدرة بدلالة ${\csc }^{2}2\pi ft$.

$P=\frac{I_{\circ }^{2}R}{{\csc }^{2}2\pi ft}$

43) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة، ستكتشف طريقة حل معادلة مثل 1=2sin x.

a) جبرياً: أعد كتابة المعادلة السابقة بحيث تكون sin x فقط في أحد الطرفين.

sin x=0.5

b) بيانياً: مستعملاً الحاسبة البيانية، مثل كلاً من طرفي المعادلة التي أوجدتها في الفرع (a) بيانياً كدلة في المجال $0\le x<2\pi$ وفي المستوى الإحداثي نفسه، ثم حدد جميع نقاط التقاطع بينهما، وأوجد قيم x بالراديان.

يتقاطع التمثيل البياني للدالتين y=sin x , y=0.5 عند النقاط $x=\frac{\pi }{6}\cdot x=\frac{5\pi }{6}$ على الفترة $[0,2\pi )$.

c) بيانياً: مستعملاً الحاسبة البيانية، مثل كلاً من طرفي المعادلة التي أوجدتها في الفرع (a) بيانياً كدلة في المجال $-2\pi <x<2\pi$ وفي المستوى الإحداثي نفسه، ثم حدد جميع نقاط التقاطع بينهما، وأوجد قيم x بالراديان.

يتقاطع التمثيل البياني للدالتين y=sin x , y=0.5 عند النقاط $\frac{-11\pi }{6}\cdot \frac{-7\pi }{6}\cdot \frac{\pi }{6}\cdot \frac{5\pi }{6}$ على الفترة $[-2\pi ,2\pi )$

d) لفظياً: خمن الصيغة العامة لحلول المعادلة، وضح إجابتك.

بما أن الجيب دالة دورية تكون حلول المعادلة هي $x=\frac{5\pi }{6}+2n\pi \cdot x=\frac{\pi }{6}+2n\pi$