حل أسئلة تحقق من فهمك

دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:

1A) $\sin {15}^{\circ }$

$\begin{array}{rl}sin\left(15\right)=& sin(60-45)=sin60cos45-cos60sin45\\ =& \frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\end{array}$

1B) $\cos (-{15}^{\circ })$

$\begin{array}{rl}cos(-15)=& cos(45-60)=cos60cos45+sin60sin45\\ =& \frac{1}{2}\times \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\end{array}$

إذا كانت شدة التيار c تعطى بالصيغة $c=2\sin {285}^{\circ }t$، فأجب عما يأتي:

2A) أعد كتابة الصيغة، باستعمال الفرق بين زاويتين.

$2\sin \left(245t\right)=2\sin (315t-30t)$

2B) ستعمل المتطابقة المثلثية للفرق بين زاويتين؛ لإيجاد القيمة الدقيقة لشدة التيار بعد ثانية واحدة.

$\begin{array}{rl}2\sin \left(245\right)=2\sin (315-30)& =2(\sin 315\cos 30-\cos 315\sin 30)\\ =& \frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\end{array}$

أثبت صحة كل من المتطابقتين الآتيتين:

3A) $\sin ({90}^{\circ }-\theta )=\cos \theta$

$\begin{array}{rl}sin(90-\theta )& =sin90cos\theta -cos90sin\theta \\ =& 1\times cos\theta =cos\theta \end{array}$

3B) $\tan \left(\frac{\pi }{4}+\theta \right)=\frac{1+\tan \theta }{1-\tan \theta }$

$tan\left(\frac{\pi }{4}+\theta \right)\frac{tan\frac{\pi }{4}+tan\theta }{1-tan\frac{\pi }{4}tan\theta }=\frac{1+tan\theta }{1-tan\theta }$