حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حدد خصائص القطع المكافئ المعطاة معادلته في كل مما يأتي، ثم مثل منحناه بيانياً:

1) $(x - 3)^{2} = 12 (y - 7)$

المنحنى مفتوح رأسياً إلى الأعلى.

الرأس: (3,7)
البؤرة: (3,10)
الدليل: y=4
معادلة محور التماثل: x=3
طول الوتر البؤري: 12

التمثيل البياني

2) $(x + 1)^{2} = - 12 (y - 6)$

المنحنى مفتوح رأسياً لأسفل.

الرأس: (1,6-)
البؤرة: (1,3-)
الدليل: y=9
معادلة محور التماثل: x=-1
طول الوتر البؤري: 12

التمثيل البياني

3) $(y - 4)^{2} = 20 (x + 2)$

المنحنى مفتوح رأسياً إلى الأعلى.

الرأس: (2,4-)
البؤرة: (3,4)
الدليل: x=-7
معادلة محور التماثل: y=4
طول الوتر البؤري: 20

التمثيل البياني

4) $- 40 (x + 4) = (y - 9)^{2}$

المنحنى مفتوح أفقياً لليسار.

الرأس: (4,9-)
البؤرة: (14,9-)
الدليل: x=6
معادلة محور التماثل: y=9
طول الوتر البؤري: 40

التمثيل البياني

5) $(y + 5)^{2} = 24 (x - 1)$

المنحنى مفتوح أفقياً لليمين.

الرأس: (-1,5)
البؤرة: (-7,5)
الدليل: x=-5
معادلة محور التماثل: y=-5
طول الوتر البؤري: 24

التمثيل البياني

6) $- 4 (y + 2) = (x + 8)^{2}$

المنحنى مفتوح رأسياً لأسفل.

الرأس: (-8,2-)
البؤرة: (-8,3-)
الدليل: y=-1
معادلة محور التماثل: x=-8
طول الوتر البؤري: 4

التمثيل البياني

7) لوح تزلج: صمم بدر لوح تزلج مقطعه العرضي على شكل قطع مكافئ معادلته x²=8(y-2) حيث x, y بالأقدام، احسب المسافة بين بؤرة القطع المكافئ ودليله؟

طول البعد البؤري= 4 ft.

8) قوارب: يبحر قارب في الماء تاركاً وراءه أثراً على شكل قطع مكافئ يلتقي رأسه مع نهاية القارب، ويمسك متزحلق يقف على لوح خشبي عند بؤرة القطع بحبل مثبت في القارب، ويمكن تمثيل القطع المكافئ الناتج عن أثر القارب بالمعادلة y²-180x+10y+565=0 حيث x ,y بالأقدام.

قوارب

a) اكتب معادلة القطع المكافئ على الصورة القياسية.

$\begin{aligned} y^{2} - 180 x + 10 y + 565 = 0 \\ (y - 5)^{2} = 180 (x - 3) \end{aligned}$

b) ما طول الحبل الذي يمسك به المتزحلق؟

طول الحبل= طول الوتر البؤري = 45 ft.

اكتب كل معادلة مما يأتي على الصورة القياسية للقطع المكافئ، ثم حدد خصائصه ومثل منحناه بيانياً:

9) x² - 17 = 8y + 39

الرأس: (-0,7)
البؤرة: (-0,5)
الدليل: y=-9
معادلة محور التماثل: x=-8
طول الوتر البؤري: 8

التمثيل البياني

10) y² + 33 = -8x - 23

الرأس: (7,0-)
البؤرة: (9,0-)
الدليل: x=-5
معادلة محور التماثل: y=0
طول الوتر البؤري: 8

التمثيل البياني

11) 3x² + 72 = -72y

الرأس: (-0,1)
البؤرة: (-0,7)
الدليل: y=5
معادلة محور التماثل: x=0
طول الوتر البؤري: 24

التمثيل البياني

12) 60x - 80 = 3y² + 100

الرأس: (3,0)
البؤرة: (8,0)
الدليل: x=-2
معادلة محور التماثل: y=0
طول الوتر البؤري: 20

التمثيل البياني

13) -33 = x² - 12y - 6x

الرأس: (3,2)
البؤرة: (3,5)
الدليل: y=-1
معادلة محور التماثل: x=3
طول الوتر البؤري: 12

التمثيل البياني

14) -72 = 2y² - 16y - 20x

الرأس: (2,4)
البؤرة: (4.5,4)
الدليل: $x = - \frac{1}{2}$
معادلة محور التماثل: y=4
طول الوتر البؤري: 10

التمثيل البياني

اكتب معادلة القطع المكافئ الذي يحقق الخصائص المعطاة في كل مما يأتي:

15) البؤرة: (-9,7-) والرأس (-9,4-).

بما أن البؤرة والرأس مشتركان في الإحداثي x فإن المنحنى مفتوح رأسياً.

البؤرة: $(h, k + p) = (- 9, - 7)$
الرأس: $(h, k) = (- 9, - 4)$

لذا فإن $p = - 7 + 4 = - 3 \cdot k = - 4 \cdot h = - 9$

معادلة القطع المكافئ هي: $(x + 9)^{2} = - 12 (y + 4)$

16) البؤرة (3,3) والمنحنى مفتوح إلى أعلى، ويمر بالنقطة (23,18).

المنحنى مفتوح لأعلى.

البؤرة: $k = 3 - p \cdot h = 3 لذا (h, k + p) = (3, 3)$

المنحنى يمر بالنقطة (23,18) إذاً:

$\begin{aligned} (x - h)^{2} = 4 p (y - k) \\ ∴ (23 - 3)^{2} = 4 p (18 - 3 + p) \\ ∴ 400 = 4 p^{2} + 60 p \\ ∴ p^{2} + 15 p - 100 = 0 \\ ∴ (p - 5) (p + 20) = 0 \\ ∴ p = 5, p = - 20 \end{aligned}$

المنحنى مفتوح لأعلى p=5 إذاً k=-2

إذاً معادلة المنحنى هي $(x - 3)^{2} = 10 (y + 2)$

17) البؤرة (-2,1) والرأس (23,18).

بما أن البؤرة والرأس مشتركان في الإحداثي x فإن المنحنى مفتوح أفقياً.

البؤرة: $(h + p, k) = (2, - 1)$
الرأس: $(h, k) = (- 4, - 1)$

لذا فإن $p = 2 + 4 = 6 \cdot k = - 1 \cdot h = - 4$

معادلة القطع المكافئ هي: $(y + 1)^{2} = 24 (x + 4)$

18) البؤرة (11,4) والمنحنى مفتوح إلى اليمين، ويمر بالنقطة (20,16).

المنحنى مفتوح إلى اليمين.

البؤرة $(h + p, k) = (11, 4)$ لذا h=11-p k=4

المنحنى يمر بالنقطة (20,16) إذاً:

$\begin{aligned} (y - k)^{2} = 4 p (x - h) \\ ∴ (16 - 4)^{2} = 4 p (20 - 11 + p) \\ ∴ 144 = 4 p^{2} + 36 p \\ ∴ p^{2} + 9 p - 36 = 0 \\ ∴ (p + 12) (p - 3) = 0 \\ ∴ p = - 12, p = 3 \end{aligned}$

المنحنى مفتوحاً لليمين p=3 إذاً h=8

معادلة المنحنى هي: $(y - 4)^{2} = 12 (x - 8)$

19) البؤرة (-3,2-) والرأس (1,-2).

بما أن البؤرة والرأس مشتركان في الإحداثي x فإن المنحنى مفتوح أفقياً.

البؤرة: $(h + p, k) = (- 3, - 2)$
الرأس: $(h, k) = (- 4, - 1)$

لذا فإن $p = - 3 - 1 = - 4 \cdot k = - 2 \cdot h = 1$

معادلة القطع المكافئ هي: $(y + 2)^{2} = - 16 (x - 1)$

20) المنحنى مفتوح رأسياً ويمر بالنقاط (-12,14-), (-0,2), (-6,5).

المنحنى مفتوح رأسياً إذاً معادلته الأساسية هي: $(x - h)^{2} = 4 p (y - k)$ والمنحنى يمر بالنقطة (6,-5) إذاً:

$∴ (6 - h)^{2} = 4 p (- 5 - k)$

$∴ h^{2} - 12 h + 36 = - 20 p - 4 p k$

المنحنى يمر بالنقطة (0,2-)

$∴ (0 - h)^{2} = 4 p (- 2 - k)$

h²=-8p-4pk

المنحنى يمر بالنقطة (-12,14-)

$∴ (- 12 - h)^{2} = 4 p (- 14 - k)$

$∴ h^{2} + 24 h + 144 = - 56 p - 4 p k$

بحل العادلات الثلاث ينتج أن p=-3, k=-2 , h=0

إذاً معادلة المنحني هي $x^{2} = - 12 (y + 2)$

21) البؤرة (3,4-) والرأس (3,2-).

بما أن البؤرة والرأس مشتركان في الإحداثي x فإن المنحنى مفتوح رأسياً.

البؤرة: $(h, k + p) = (- 3, 4)$
الرأس: $(h, k) = (- 3, 2)$

لذا فإن $p = 4 - 2 = 2 \cdot k = 2 \cdot h = - 3$

إذاً معادلة القطع المكافئ هي: $(x + 3)^{2} = 8 (y - 2)$

22) الرأس (3,2-) محور التماثل y=2، طول الوتر البؤري 8 وحدات.

الرأس: $(h, k) = (- 3, 2)$ لذا h=-3, k=2

طول الوتر البؤري $| 4 p | = 8$ لذا فإن p=2

محور التماثل y=2 إذاً منحنى المفتوح أفقياً.

إذاً معادلة المنحنى هي $(y - 2)^{2} = 8 (x + 3)$

23) عمارة: نشئت قنطرة على شكل قطع مكافئ فوق بوابة سور، بحيث ارتكزت فوق عمودين، وثبت مصباح عند بؤرة القطع.

عمارة

a) اكتب معادلة القطع المكافئ، افترض أن مستوى الأرض هو المحور x، والعمود الأيسر ينطبق على المحور y.

$(x - 29)^{2} = - 52.5 (7 - 28)$

b) مثل منحنى القطع المكافئ بيانياً.

التمثيل البياني

اكتب معادلة مماس منحنى كل قطع مكافئ مما يأتي عند النقطة المعطاة:

24) $(x + 7)^{2} = - \frac{1}{2} (y - 3); (- 5, - 5)$

$h = - 7, k = 3, p = - \frac{1}{8} = - 0.125$

البؤرة (7,2.875-)

$\begin{aligned} d & = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} \\ = \sqrt{(- 5 + 7)^{2} + (- 5 - 2.875)^{2}} = 8.125 \\ A & = (- 7, 2.875 - 8.125) = (- 7, - 5.25) \\ m & = \frac{- 5 + 5.25}{- 5 + 7} = \frac{1}{8} \\ y & - y_{1} = m (x - x_{1}) \\ y & + 5 = \frac{1}{8} (x + 5) \\ y & = \frac{1}{8} x - \frac{35}{8} \end{aligned}$

25) $y^{2} = \frac{1}{5} (x - 4); (24, 2)$

$\begin{aligned} (y - 0)^{2} = \frac{1}{5} (x - 4) \\ h = 4, k = 0, p = \frac{1}{20} = 0.05 \end{aligned}$

البؤرة (4.05,0)

$\begin{aligned} d & = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} \\ = \sqrt{(24 - 4.05)^{2} + (2 - 0)^{2}} = 20.05 \\ A & = (4.05 - 20.05, 0) = (- 16, 0) \\ m & = \frac{2 - 0}{24 + 16} = \frac{1}{20} = 0.05 \\ y & - y_{1} = m (x - x_{1}) \\ y & - 2 = \frac{1}{20} (x - 24) \\ y & = \frac{1}{20} x + \frac{4}{5} \end{aligned}$

26) $(x + 6)^{2} = 3 (y - 2); (0, 14)$

$h = - 6, k = 2, p = \frac{3}{4} = 0.75$

البؤرة (6,2.75-)

$\begin{aligned} d & = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} \\ = \sqrt{(0 + 6)^{2} + (14 - 2.75)^{2}} = 12.75 \\ A & = (- 6, 2.75 - 12.75) = (- 6, - 10) \\ m & = \frac{14 + 10}{0 + 6} = 4 \\ y & - y_{1} = m (x - x_{1}) \\ y & - 14 = 4 (x - 0) \\ y & = 4 x + 14 \end{aligned}$

27) $- 4 x = (y + 5)^{2}; (0, - 5)$

$\begin{aligned} (y + 5)^{2} = - 4 (x - 0) \\ h = 0, k = - 5, p = - 1 \end{aligned}$

البؤرة (-1,5-)

$\begin{aligned} d & = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} \\ = \sqrt{(0 + 1)^{2} + (- 5 + 5)^{2}} = 1 \\ A & = (- 1 - 1, - 5) = (- 2, - 5) \\ m & = \frac{- 5 + 5}{0 + 2} = 0 \\ y & - y_{1} = m (x - x_{1}) \\ y & + 5 = 0 (x - 0) \\ x & = 0 \end{aligned}$

حدد اتجاه فتحة منحنى القطع المكافئ في كل حالة مما يأتي:

28) الدليل y=4 و c=-2

مفتوح إلى الأسفل.

29) المعادلة هي y² = -8(x - 6)

مفتوح إلى اليسار.

30) الرأس (5,1-) والبؤرة (5,3-)

مفتوح إلى الأعلى.

31) البؤرة (7,10) والدليل x=1

مفتوح إلى اليمين.

32) جسور: يأخذ القوس أسفل الجسر شكل قطع مكافئ، وتبلغ المسافة بين البرجين الواقعين على طرفي القوس 208 ft، وارتفاع كل منهما 80 ft، وتبلغ المسافة من قمة القوس إلى سطح الماء 60 ft.

جسور

a) اكتب معادلة تمثل شكل القوس مفترضاً أن مسار الطريق على الجسر يمثل المحور x، والمحور المار بقمة القوس والعمودي على المحور x هو المحور y.

$x^{2} = - 180.3 (y + 20)$

b) توجد دعامتان رأسيتان للقوس تبعدان المسافة نفسها عن رأس القوس كما هو موضح في الشكل، أوجد طول كل منهما إذا كانت المسافة بينهما 86.4 ft.

30.35 m.

اكتب معادلة القطع المكافئ الذي بؤرته F، في كل مما يأتي:

33)

التمثيل البياني

المنحنى مفتوح رأسياً.

البؤرة: $(h, k + p) = (0, 3)$ لذا k=3-p , h=0

المنحنى يمر بالنقطة (4,6) إذن:

$\begin{aligned} (x - h)^{2} = 4 p (y - k) \\ ∴ (4 - 0)^{2} = 4 p (6 - 3 + p) \\ ∴ 16 = 4 p^{2} + 12 p \\ ∴ p^{2} + 3 p - 4 = 0 \\ ∴ (p - 1) (p + 4) = 0 \\ ∴ p = 1, p = - 4 \end{aligned}$

المنحنى مفتوح لأعلى p=1 إذاً k=2

إذاً معادلة المنحنى هي: $x^{2} = 4 (y - 2)$

34)

التمثيل البياني

المنحنى مفتوح إلى اليمين.

البؤرة $(h + p, k) = (1, 0)$ لذا h=1-p, k=0

المنحنى يمر بالنقطة (4,4) لذا:

$\begin{aligned} (y - k)^{2} = 4 p (x - h) \\ ∴ (4 - 0)^{2} = 4 p (4 - 1 + p) \\ ∴ 16 = 4 p^{2} + 12 p \\ ∴ p^{2} + 3 p - 4 = 0 \\ ∴ (p + 4) (p - 1) = 0 \\ ∴ p = - 4, p = 1 \end{aligned}$

المنحنى مفتوح لليمين p=1 إذاً h=0

إذاً معادلة المنحني هي: y²=4x

35) تمثيلات متعددة: ستكشف في هذه المسألة تغير شكل القطع المكافئ تبعاً لتغير موقع البؤرة.

a) هندسياً: أوجد البعد بين الرأس والبؤرة لكل قطع مكافئ مما يأتي:

y²=4(x-2)

وحدة.

y²=8(x-2)

وحدتين.

y²=16(x-2)

أربع وحدات.

b) بيانياً: مثل منحنى كل قطع مكافئ في الفرع a بيانياً باستعمال لون مختلف لكل منها، ثم عين بؤرة لكل منهما.

التمثيل البياني

c) لفظياً: صف العلاقة بين شكل القطع المكافئ والمسافة بين الرأس والبؤرة.

عندما تتحرك البؤرة بعيداً عن الرأس يزداد توسع منحنى القطع المكافئ رأسياً.

d) تحليلياً: اكتب معادلة قطع مكافئ يشترك في الرأس مع القطع المكافئ الذي معادلته $(x + 1)^{2} = 20 (y + 7)$ ولكنه أقل اتساعاً.

$(x + 1)^{2} = 4 (y + 7)$

e) تحليلياً: كون تخميناً حول منحنى كل قطع مكافئ مما يأتي: $x^{2} = - 2 (y + 1), x^{2} = - 12 (y + 1), x^{2} = - 5 (y + 1)$ ثم تحقق من تخمينك بتمثيل منحنى كل منهما بيانياً.

جميع القطوع لها الرأس (-0,1) ومنحنياتها مفتوحة إلى أسفل ومنحنى المعادلة x²=2(y+1) هو الأضيق لكن منحنى المعادلة $x^{2} = - 12 (y + 1)$ هو الأوسع.

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

فيديو حل اسئلة تدرب وحل المسائل

النقاشات

لايوجد نقاشات

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حدد خصائص القطع المكافئ المعطاة معادلته في كل مما يأتي، ثم مثل منحناه بيانياً:

1) $(x - 3)^{2} = 12 (y - 7)$

المنحنى مفتوح رأسياً إلى الأعلى.

الرأس: (3,7)
البؤرة: (3,10)
الدليل: y=4
معادلة محور التماثل: x=3
طول الوتر البؤري: 12

التمثيل البياني

2) $(x + 1)^{2} = - 12 (y - 6)$

المنحنى مفتوح رأسياً لأسفل.

الرأس: (1,6-)
البؤرة: (1,3-)
الدليل: y=9
معادلة محور التماثل: x=-1
طول الوتر البؤري: 12

التمثيل البياني

3) $(y - 4)^{2} = 20 (x + 2)$

المنحنى مفتوح رأسياً إلى الأعلى.

الرأس: (2,4-)
البؤرة: (3,4)
الدليل: x=-7
معادلة محور التماثل: y=4
طول الوتر البؤري: 20

التمثيل البياني

4) $- 40 (x + 4) = (y - 9)^{2}$

المنحنى مفتوح أفقياً لليسار.

الرأس: (4,9-)
البؤرة: (14,9-)
الدليل: x=6
معادلة محور التماثل: y=9
طول الوتر البؤري: 40

التمثيل البياني

5) $(y + 5)^{2} = 24 (x - 1)$

المنحنى مفتوح أفقياً لليمين.

الرأس: (-1,5)
البؤرة: (-7,5)
الدليل: x=-5
معادلة محور التماثل: y=-5
طول الوتر البؤري: 24

التمثيل البياني

6) $- 4 (y + 2) = (x + 8)^{2}$

المنحنى مفتوح رأسياً لأسفل.

الرأس: (-8,2-)
البؤرة: (-8,3-)
الدليل: y=-1
معادلة محور التماثل: x=-8
طول الوتر البؤري: 4

التمثيل البياني

7) لوح تزلج: صمم بدر لوح تزلج مقطعه العرضي على شكل قطع مكافئ معادلته x²=8(y-2) حيث x, y بالأقدام، احسب المسافة بين بؤرة القطع المكافئ ودليله؟

طول البعد البؤري= 4 ft.

8) قوارب: يبحر قارب في الماء تاركاً وراءه أثراً على شكل قطع مكافئ يلتقي رأسه مع نهاية القارب، ويمسك متزحلق يقف على لوح خشبي عند بؤرة القطع بحبل مثبت في القارب، ويمكن تمثيل القطع المكافئ الناتج عن أثر القارب بالمعادلة y²-180x+10y+565=0 حيث x ,y بالأقدام.

قوارب

a) اكتب معادلة القطع المكافئ على الصورة القياسية.

$\begin{aligned} y^{2} - 180 x + 10 y + 565 = 0 \\ (y - 5)^{2} = 180 (x - 3) \end{aligned}$

b) ما طول الحبل الذي يمسك به المتزحلق؟

طول الحبل= طول الوتر البؤري = 45 ft.

اكتب كل معادلة مما يأتي على الصورة القياسية للقطع المكافئ، ثم حدد خصائصه ومثل منحناه بيانياً:

9) x² - 17 = 8y + 39

الرأس: (-0,7)
البؤرة: (-0,5)
الدليل: y=-9
معادلة محور التماثل: x=-8
طول الوتر البؤري: 8

التمثيل البياني

10) y² + 33 = -8x - 23

الرأس: (7,0-)
البؤرة: (9,0-)
الدليل: x=-5
معادلة محور التماثل: y=0
طول الوتر البؤري: 8

التمثيل البياني

11) 3x² + 72 = -72y

الرأس: (-0,1)
البؤرة: (-0,7)
الدليل: y=5
معادلة محور التماثل: x=0
طول الوتر البؤري: 24

التمثيل البياني

12) 60x - 80 = 3y² + 100

الرأس: (3,0)
البؤرة: (8,0)
الدليل: x=-2
معادلة محور التماثل: y=0
طول الوتر البؤري: 20

التمثيل البياني

13) -33 = x² - 12y - 6x

الرأس: (3,2)
البؤرة: (3,5)
الدليل: y=-1
معادلة محور التماثل: x=3
طول الوتر البؤري: 12

التمثيل البياني

14) -72 = 2y² - 16y - 20x

الرأس: (2,4)
البؤرة: (4.5,4)
الدليل: $x = - \frac{1}{2}$
معادلة محور التماثل: y=4
طول الوتر البؤري: 10

التمثيل البياني

اكتب معادلة القطع المكافئ الذي يحقق الخصائص المعطاة في كل مما يأتي:

15) البؤرة: (-9,7-) والرأس (-9,4-).

بما أن البؤرة والرأس مشتركان في الإحداثي x فإن المنحنى مفتوح رأسياً.

البؤرة: $(h, k + p) = (- 9, - 7)$
الرأس: $(h, k) = (- 9, - 4)$

لذا فإن $p = - 7 + 4 = - 3 \cdot k = - 4 \cdot h = - 9$

معادلة القطع المكافئ هي: $(x + 9)^{2} = - 12 (y + 4)$

16) البؤرة (3,3) والمنحنى مفتوح إلى أعلى، ويمر بالنقطة (23,18).

المنحنى مفتوح لأعلى.

البؤرة: $k = 3 - p \cdot h = 3 لذا (h, k + p) = (3, 3)$

المنحنى يمر بالنقطة (23,18) إذاً:

المنحنى مفتوح لأعلى p=5 إذاً k=-2

إذاً معادلة المنحنى هي $(x - 3)^{2} = 10 (y + 2)$

17) البؤرة (-2,1) والرأس (23,18).

بما أن البؤرة والرأس مشتركان في الإحداثي x فإن المنحنى مفتوح أفقياً.

البؤرة: $(h + p, k) = (2, - 1)$
الرأس: $(h, k) = (- 4, - 1)$

لذا فإن $p = 2 + 4 = 6 \cdot k = - 1 \cdot h = - 4$

معادلة القطع المكافئ هي: $(y + 1)^{2} = 24 (x + 4)$

18) البؤرة (11,4) والمنحنى مفتوح إلى اليمين، ويمر بالنقطة (20,16).

المنحنى مفتوح إلى اليمين.

البؤرة $(h + p, k) = (11, 4)$ لذا h=11-p k=4

المنحنى يمر بالنقطة (20,16) إذاً:

المنحنى مفتوحاً لليمين p=3 إذاً h=8

معادلة المنحنى هي: $(y - 4)^{2} = 12 (x - 8)$

19) البؤرة (-3,2-) والرأس (1,-2).

بما أن البؤرة والرأس مشتركان في الإحداثي x فإن المنحنى مفتوح أفقياً.

البؤرة: $(h + p, k) = (- 3, - 2)$
الرأس: $(h, k) = (- 4, - 1)$

لذا فإن $p = - 3 - 1 = - 4 \cdot k = - 2 \cdot h = 1$

معادلة القطع المكافئ هي: $(y + 2)^{2} = - 16 (x - 1)$

20) المنحنى مفتوح رأسياً ويمر بالنقاط (-12,14-), (-0,2), (-6,5).

المنحنى مفتوح رأسياً إذاً معادلته الأساسية هي: $(x - h)^{2} = 4 p (y - k)$ والمنحنى يمر بالنقطة (6,-5) إذاً:

$∴ (6 - h)^{2} = 4 p (- 5 - k)$

$∴ h^{2} - 12 h + 36 = - 20 p - 4 p k$

المنحنى يمر بالنقطة (0,2-)

$∴ (0 - h)^{2} = 4 p (- 2 - k)$

h²=-8p-4pk

المنحنى يمر بالنقطة (-12,14-)

$∴ (- 12 - h)^{2} = 4 p (- 14 - k)$

$∴ h^{2} + 24 h + 144 = - 56 p - 4 p k$

بحل العادلات الثلاث ينتج أن p=-3, k=-2 , h=0

إذاً معادلة المنحني هي $x^{2} = - 12 (y + 2)$

21) البؤرة (3,4-) والرأس (3,2-).

بما أن البؤرة والرأس مشتركان في الإحداثي x فإن المنحنى مفتوح رأسياً.

البؤرة: $(h, k + p) = (- 3, 4)$
الرأس: $(h, k) = (- 3, 2)$

لذا فإن $p = 4 - 2 = 2 \cdot k = 2 \cdot h = - 3$

إذاً معادلة القطع المكافئ هي: $(x + 3)^{2} = 8 (y - 2)$

22) الرأس (3,2-) محور التماثل y=2، طول الوتر البؤري 8 وحدات.

الرأس: $(h, k) = (- 3, 2)$ لذا h=-3, k=2

طول الوتر البؤري $| 4 p | = 8$ لذا فإن p=2

محور التماثل y=2 إذاً منحنى المفتوح أفقياً.

إذاً معادلة المنحنى هي $(y - 2)^{2} = 8 (x + 3)$

23) عمارة: نشئت قنطرة على شكل قطع مكافئ فوق بوابة سور، بحيث ارتكزت فوق عمودين، وثبت مصباح عند بؤرة القطع.

عمارة

a) اكتب معادلة القطع المكافئ، افترض أن مستوى الأرض هو المحور x، والعمود الأيسر ينطبق على المحور y.

$(x - 29)^{2} = - 52.5 (7 - 28)$

b) مثل منحنى القطع المكافئ بيانياً.

التمثيل البياني

اكتب معادلة مماس منحنى كل قطع مكافئ مما يأتي عند النقطة المعطاة:

24) $(x + 7)^{2} = - \frac{1}{2} (y - 3); (- 5, - 5)$

$h = - 7, k = 3, p = - \frac{1}{8} = - 0.125$

البؤرة (7,2.875-)

25) $y^{2} = \frac{1}{5} (x - 4); (24, 2)$

$\begin{aligned} (y - 0)^{2} = \frac{1}{5} (x - 4) \\ h = 4, k = 0, p = \frac{1}{20} = 0.05 \end{aligned}$

البؤرة (4.05,0)

26) $(x + 6)^{2} = 3 (y - 2); (0, 14)$

$h = - 6, k = 2, p = \frac{3}{4} = 0.75$

البؤرة (6,2.75-)

27) $- 4 x = (y + 5)^{2}; (0, - 5)$

$\begin{aligned} (y + 5)^{2} = - 4 (x - 0) \\ h = 0, k = - 5, p = - 1 \end{aligned}$

البؤرة (-1,5-)

حدد اتجاه فتحة منحنى القطع المكافئ في كل حالة مما يأتي:

28) الدليل y=4 و c=-2

مفتوح إلى الأسفل.

29) المعادلة هي y² = -8(x - 6)

مفتوح إلى اليسار.

30) الرأس (5,1-) والبؤرة (5,3-)

مفتوح إلى الأعلى.

31) البؤرة (7,10) والدليل x=1

مفتوح إلى اليمين.

32) جسور: يأخذ القوس أسفل الجسر شكل قطع مكافئ، وتبلغ المسافة بين البرجين الواقعين على طرفي القوس 208 ft، وارتفاع كل منهما 80 ft، وتبلغ المسافة من قمة القوس إلى سطح الماء 60 ft.

جسور

a) اكتب معادلة تمثل شكل القوس مفترضاً أن مسار الطريق على الجسر يمثل المحور x، والمحور المار بقمة القوس والعمودي على المحور x هو المحور y.

$x^{2} = - 180.3 (y + 20)$

b) توجد دعامتان رأسيتان للقوس تبعدان المسافة نفسها عن رأس القوس كما هو موضح في الشكل، أوجد طول كل منهما إذا كانت المسافة بينهما 86.4 ft.

30.35 m.

اكتب معادلة القطع المكافئ الذي بؤرته F، في كل مما يأتي:

33)

التمثيل البياني

المنحنى مفتوح رأسياً.

البؤرة: $(h, k + p) = (0, 3)$ لذا k=3-p , h=0

المنحنى يمر بالنقطة (4,6) إذن:

$\begin{aligned} (x - h)^{2} = 4 p (y - k) \\ ∴ (4 - 0)^{2} = 4 p (6 - 3 + p) \\ ∴ 16 = 4 p^{2} + 12 p \\ ∴ p^{2} + 3 p - 4 = 0 \\ ∴ (p - 1) (p + 4) = 0 \\ ∴ p = 1, p = - 4 \end{aligned}$

المنحنى مفتوح لأعلى p=1 إذاً k=2

إذاً معادلة المنحنى هي: $x^{2} = 4 (y - 2)$

34)

التمثيل البياني

المنحنى مفتوح إلى اليمين.

البؤرة $(h + p, k) = (1, 0)$ لذا h=1-p, k=0

المنحنى يمر بالنقطة (4,4) لذا:

$\begin{aligned} (y - k)^{2} = 4 p (x - h) \\ ∴ (4 - 0)^{2} = 4 p (4 - 1 + p) \\ ∴ 16 = 4 p^{2} + 12 p \\ ∴ p^{2} + 3 p - 4 = 0 \\ ∴ (p + 4) (p - 1) = 0 \\ ∴ p = - 4, p = 1 \end{aligned}$

المنحنى مفتوح لليمين p=1 إذاً h=0

إذاً معادلة المنحني هي: y²=4x

35) تمثيلات متعددة: ستكشف في هذه المسألة تغير شكل القطع المكافئ تبعاً لتغير موقع البؤرة.

a) هندسياً: أوجد البعد بين الرأس والبؤرة لكل قطع مكافئ مما يأتي:

y²=4(x-2)

وحدة.

y²=8(x-2)

وحدتين.

y²=16(x-2)

أربع وحدات.

b) بيانياً: مثل منحنى كل قطع مكافئ في الفرع a بيانياً باستعمال لون مختلف لكل منها، ثم عين بؤرة لكل منهما.

التمثيل البياني

c) لفظياً: صف العلاقة بين شكل القطع المكافئ والمسافة بين الرأس والبؤرة.

عندما تتحرك البؤرة بعيداً عن الرأس يزداد توسع منحنى القطع المكافئ رأسياً.

d) تحليلياً: اكتب معادلة قطع مكافئ يشترك في الرأس مع القطع المكافئ الذي معادلته $(x + 1)^{2} = 20 (y + 7)$ ولكنه أقل اتساعاً.

$(x + 1)^{2} = 4 (y + 7)$

e) تحليلياً: كون تخميناً حول منحنى كل قطع مكافئ مما يأتي: $x^{2} = - 2 (y + 1), x^{2} = - 12 (y + 1), x^{2} = - 5 (y + 1)$ ثم تحقق من تخمينك بتمثيل منحنى كل منهما بيانياً.

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حدد خصائص القطع المكافئ المعطاة معادلته في كل مما يأتي، ثم مثل منحناه بيانياً:

1) (x−3)2=12(y−7)

2) (x+1)2=−12(y−6)

3) (y−4)2=20(x+2)

4) −40(x+4)=(y−9)2

5) (y+5)2=24(x−1)

6) −4(y+2)=(x+8)2

7) لوح تزلج: صمم بدر لوح تزلج مقطعه العرضي على شكل قطع مكافئ معادلته x2=8(y-2) حيث x, y بالأقدام، احسب المسافة بين بؤرة القطع المكافئ ودليله؟

a) اكتب معادلة القطع المكافئ على الصورة القياسية.

b) ما طول الحبل الذي يمسك به المتزحلق؟

اكتب كل معادلة مما يأتي على الصورة القياسية للقطع المكافئ، ثم حدد خصائصه ومثل منحناه بيانياً:

9) x2 - 17 = 8y + 39

10) y2 + 33 = -8x - 23

11) 3x2 + 72 = -72y

12) 60x - 80 = 3y2 + 100

13) -33 = x2 - 12y - 6x

14) -72 = 2y2 - 16y - 20x

اكتب معادلة القطع المكافئ الذي يحقق الخصائص المعطاة في كل مما يأتي:

15) البؤرة: (-9,7-) والرأس (-9,4-).

16) البؤرة (3,3) والمنحنى مفتوح إلى أعلى، ويمر بالنقطة (23,18).

17) البؤرة (-2,1) والرأس (23,18).

18) البؤرة (11,4) والمنحنى مفتوح إلى اليمين، ويمر بالنقطة (20,16).

19) البؤرة (-3,2-) والرأس (1,-2).

20) المنحنى مفتوح رأسياً ويمر بالنقاط (-12,14-), (-0,2), (-6,5).

21) البؤرة (3,4-) والرأس (3,2-).

22) الرأس (3,2-) محور التماثل y=2، طول الوتر البؤري 8 وحدات.

23) عمارة: نشئت قنطرة على شكل قطع مكافئ فوق بوابة سور، بحيث ارتكزت فوق عمودين، وثبت مصباح عند بؤرة القطع.

a) اكتب معادلة القطع المكافئ، افترض أن مستوى الأرض هو المحور x، والعمود الأيسر ينطبق على المحور y.

b) مثل منحنى القطع المكافئ بيانياً.

اكتب معادلة مماس منحنى كل قطع مكافئ مما يأتي عند النقطة المعطاة:

24) (x+7)2=−12(y−3);(−5,−5)

25) y2=15(x−4);(24,2)

26) (x+6)2=3(y−2);(0,14)

27) −4x=(y+5)2;(0,−5)

حدد اتجاه فتحة منحنى القطع المكافئ في كل حالة مما يأتي:

28) الدليل y=4 و c=-2

29) المعادلة هي y2 = -8(x - 6)

30) الرأس (5,1-) والبؤرة (5,3-)

31) البؤرة (7,10) والدليل x=1

a) اكتب معادلة تمثل شكل القوس مفترضاً أن مسار الطريق على الجسر يمثل المحور x، والمحور المار بقمة القوس والعمودي على المحور x هو المحور y.

b) توجد دعامتان رأسيتان للقوس تبعدان المسافة نفسها عن رأس القوس كما هو موضح في الشكل، أوجد طول كل منهما إذا كانت المسافة بينهما 86.4 ft.

اكتب معادلة القطع المكافئ الذي بؤرته F، في كل مما يأتي:

33)

34)

35) تمثيلات متعددة: ستكشف في هذه المسألة تغير شكل القطع المكافئ تبعاً لتغير موقع البؤرة.

a) هندسياً: أوجد البعد بين الرأس والبؤرة لكل قطع مكافئ مما يأتي:

y2=4(x-2)

y2=8(x-2)

y2=16(x-2)

b) بيانياً: مثل منحنى كل قطع مكافئ في الفرع a بيانياً باستعمال لون مختلف لكل منها، ثم عين بؤرة لكل منهما.

c) لفظياً: صف العلاقة بين شكل القطع المكافئ والمسافة بين الرأس والبؤرة.

d) تحليلياً: اكتب معادلة قطع مكافئ يشترك في الرأس مع القطع المكافئ الذي معادلته (x+1)2=20(y+7) ولكنه أقل اتساعاً.

e) تحليلياً: كون تخميناً حول منحنى كل قطع مكافئ مما يأتي: x2=−2(y+1),x2=−12(y+1),x2=−5(y+1) ثم تحقق من تخمينك بتمثيل منحنى كل منهما بيانياً.

مشاركة الدرس

شرح فيديو

فيديو حل اسئلة تدرب وحل المسائل

النقاشات

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حدد خصائص القطع المكافئ المعطاة معادلته في كل مما يأتي، ثم مثل منحناه بيانياً:

1) (x−3)2=12(y−7)

2) (x+1)2=−12(y−6)

3) (y−4)2=20(x+2)

4) −40(x+4)=(y−9)2

5) (y+5)2=24(x−1)

6) −4(y+2)=(x+8)2

7) لوح تزلج: صمم بدر لوح تزلج مقطعه العرضي على شكل قطع مكافئ معادلته x2=8(y-2) حيث x, y بالأقدام، احسب المسافة بين بؤرة القطع المكافئ ودليله؟

a) اكتب معادلة القطع المكافئ على الصورة القياسية.

b) ما طول الحبل الذي يمسك به المتزحلق؟

اكتب كل معادلة مما يأتي على الصورة القياسية للقطع المكافئ، ثم حدد خصائصه ومثل منحناه بيانياً:

9) x2 - 17 = 8y + 39

10) y2 + 33 = -8x - 23

11) 3x2 + 72 = -72y

12) 60x - 80 = 3y2 + 100

13) -33 = x2 - 12y - 6x

14) -72 = 2y2 - 16y - 20x

اكتب معادلة القطع المكافئ الذي يحقق الخصائص المعطاة في كل مما يأتي:

15) البؤرة: (-9,7-) والرأس (-9,4-).

16) البؤرة (3,3) والمنحنى مفتوح إلى أعلى، ويمر بالنقطة (23,18).

17) البؤرة (-2,1) والرأس (23,18).

1) $(x - 3)^{2} = 12 (y - 7)$

2) $(x + 1)^{2} = - 12 (y - 6)$

3) $(y - 4)^{2} = 20 (x + 2)$

4) $- 40 (x + 4) = (y - 9)^{2}$

5) $(y + 5)^{2} = 24 (x - 1)$

6) $- 4 (y + 2) = (x + 8)^{2}$

7) لوح تزلج: صمم بدر لوح تزلج مقطعه العرضي على شكل قطع مكافئ معادلته x²=8(y-2) حيث x, y بالأقدام، احسب المسافة بين بؤرة القطع المكافئ ودليله؟

9) x² - 17 = 8y + 39

10) y² + 33 = -8x - 23

11) 3x² + 72 = -72y

12) 60x - 80 = 3y² + 100

13) -33 = x² - 12y - 6x

14) -72 = 2y² - 16y - 20x

24) $(x + 7)^{2} = - \frac{1}{2} (y - 3); (- 5, - 5)$

25) $y^{2} = \frac{1}{5} (x - 4); (24, 2)$

26) $(x + 6)^{2} = 3 (y - 2); (0, 14)$

27) $- 4 x = (y + 5)^{2}; (0, - 5)$

29) المعادلة هي y² = -8(x - 6)

y²=4(x-2)

y²=8(x-2)

y²=16(x-2)

d) تحليلياً: اكتب معادلة قطع مكافئ يشترك في الرأس مع القطع المكافئ الذي معادلته $(x + 1)^{2} = 20 (y + 7)$ ولكنه أقل اتساعاً.

e) تحليلياً: كون تخميناً حول منحنى كل قطع مكافئ مما يأتي: $x^{2} = - 2 (y + 1), x^{2} = - 12 (y + 1), x^{2} = - 5 (y + 1)$ ثم تحقق من تخمينك بتمثيل منحنى كل منهما بيانياً.

1) $(x - 3)^{2} = 12 (y - 7)$

2) $(x + 1)^{2} = - 12 (y - 6)$

3) $(y - 4)^{2} = 20 (x + 2)$

4) $- 40 (x + 4) = (y - 9)^{2}$

5) $(y + 5)^{2} = 24 (x - 1)$

6) $- 4 (y + 2) = (x + 8)^{2}$

7) لوح تزلج: صمم بدر لوح تزلج مقطعه العرضي على شكل قطع مكافئ معادلته x²=8(y-2) حيث x, y بالأقدام، احسب المسافة بين بؤرة القطع المكافئ ودليله؟

9) x² - 17 = 8y + 39

10) y² + 33 = -8x - 23

11) 3x² + 72 = -72y

12) 60x - 80 = 3y² + 100

13) -33 = x² - 12y - 6x

14) -72 = 2y² - 16y - 20x

24) $(x + 7)^{2} = - \frac{1}{2} (y - 3); (- 5, - 5)$

25) $y^{2} = \frac{1}{5} (x - 4); (24, 2)$

26) $(x + 6)^{2} = 3 (y - 2); (0, 14)$

27) $- 4 x = (y + 5)^{2}; (0, - 5)$

29) المعادلة هي y² = -8(x - 6)

y²=4(x-2)

y²=8(x-2)

y²=16(x-2)

d) تحليلياً: اكتب معادلة قطع مكافئ يشترك في الرأس مع القطع المكافئ الذي معادلته $(x + 1)^{2} = 20 (y + 7)$ ولكنه أقل اتساعاً.

e) تحليلياً: كون تخميناً حول منحنى كل قطع مكافئ مما يأتي: $x^{2} = - 2 (y + 1), x^{2} = - 12 (y + 1), x^{2} = - 5 (y + 1)$ ثم تحقق من تخمينك بتمثيل منحنى كل منهما بيانياً.