تدرب وحل المسائل

حل كل معادلة مما يأتي باستعمال القانون العام:

13)

$\begin{array}{r} x^{2} + 45 x + 200 = 0 \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x = \frac{- 45 \pm \sqrt{(45)^{2} - 4 (1) (200)}}{2 (1)} \end{array}$

$\begin{array}{r} x = \frac{- 45 \pm \sqrt{2025 - 800}}{2} \\ x = \frac{- 45 \pm \sqrt{1225}}{2} \end{array}$

$x = \frac{- 45 - 35}{2} = \frac{- 80}{2} = - 40 x = \frac{- 45 + 35}{2} = \frac{- 10}{2} = - 5$

14)

$\begin{aligned} 4 x^{2} + 12 x - 6 = 0 \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{aligned}$

$\begin{array}{r} x = \frac{- 12 \pm \sqrt{(- 12)^{2} - 4 (4) (- 6)}}{2 (4)} \\ x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 96}}{8} \\ x = \frac{- 12 \pm \sqrt{240}}{8} = \frac{- 12 \pm 4 \sqrt{15}}{8} \\ x = \frac{- 3 \pm \sqrt{15}}{2} \end{array}$

15)

$\begin{array}{r} 5 x^{2} - 11 x - 9 = 0 \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x = \frac{11 \pm \sqrt{(- 11)^{2} - 4 (5) (- 9)}}{2 (5)} \end{array}$

$\begin{array}{r} x = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 180}}{10} \\ x = \frac{11 \pm \sqrt{301}}{10} \end{array}$

16)

$\begin{aligned} 12 x^{2} + 9 x + 15 = 0 \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{aligned}$

$\begin{array}{r} x = \frac{- 9 \pm \sqrt{(9)^{2} - 4 (12) (15)}}{2 (12)} \\ x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 720}}{24} \\ x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 639}}{24} = \frac{- 9 \pm 3 i \sqrt{71}}{24} \end{array}$

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{71}}{8}$

أجب عن الفرعين a، b لكل معادلة تربيعية مما يأتي:

a) أوجد قيمة المميز.

b) أوجد عدد الجذور وحدد أنواعها.

17)

$\begin{array}{r} 2 x^{2} + 3 x - 3 = 0 \\ a = 2, b = 3, c = - 3 \end{array}$

a) $\begin{array}{r} b^{2} - 4 a c = (3)^{2} - 4 (2) (- 3) \\ = 9 + 24 = 33 \end{array}$

b) $33 > 0$ ليس مربعاً كاملاً، جذران غير نسبيان.

18)

$3 x^{2} - 3 x + 8 = 0$

a) $\begin{array}{r} a = 3, b = - 3, c = 8 \\ b^{2} - 4 a c = (- 3)^{2} - 4 (3) (8) \\ = 9 - 96 = - 87 \end{array}$

b) $- 87 < 0$ جذران مركبان.

19)

$2 x^{2} + 4 x + 7 = 0$

a) $\begin{array}{r} a = 2, b = 4, c = 7 \\ b^{2} - 4 a c = (4)^{2} - 4 (2) (7) \\ = 16 - 56 = - 40 \end{array}$

b) $- 40 < 0$ جذران مركبان

20)

$- 5 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

a) $\begin{array}{r} a = - 5, b = 4, c = 1 \\ b^{2} - 4 a c = (4)^{2} - 4 (- 5) (1) \\ = 16 + 20 = 36 \end{array}$

$36 > 0$ , 36 مربع كامل، جذران نسبيان.

21)

$x^{2} - 6 x + 9 = 0$

a) $\begin{array}{r} x^{2} - 6 x + 9 = 0 \\ a = 1, b = - 6, c = 9 \\ b^{2} - 4 a c = (- 6)^{2} - 4 (1) (9) \\ = 36 - 36 = 0 \end{array}$

b) جذر نسبي واحد.

22)

$x^{2} - 2 x + 5 = 0$

a) $\begin{array}{r} a = 1, b = - 2, c = 5 \\ b^{2} - 4 a c = (- 2)^{2} - 4 (1) (5) \\ = 4 - 20 = - 16 \end{array}$

b) جذران مركبان.

23)

$6 x^{2} - 4 x + 3 = 0$

a) $\begin{array}{r} a = 6, b = - 4, c = 3 \\ b^{2} - 4 a c = (- 4)^{2} - 4 (6) (3) \\ = 16 - 72 = - 56 \end{array}$

b) جذران مركبان.

24)

$5 x^{2} + 8 x = 0$

a) $\begin{matrix} a = 5, b = 8, c = 0 \\ b^{2} - 4 a c = (8)^{2} - 4 (5) (0) \\ = 64 \end{matrix}$

b) جذران نسبيان.

25)

$8 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

a) $\begin{matrix} a = 8, b = 2, c = - 1 \\ b^{2} - 4 a c = (2)^{2} - 4 (8) (- 1) \\ = 36 \end{matrix}$

b) جذران نسبيان.

26)

$12 x^{2} + 4 x - 3 = 0$

a) $\begin{array}{r} a = 12, b = 4, c = - 3 \\ b^{2} - 4 a c = (4)^{2} - 4 (12) (- 3) \\ = 16 + 144 = 160 \end{array}$

b) جذران غير نسبيان.

27)

$0.8 x^{2} + 2.6 x + 3.2 = 0$

a) $\begin{array}{r} a = 0.8, b = 2.6, c = 3.2 \\ b^{2} - 4 a c = (2.6)^{2} - 4 (0.8) (3.2) \\ = 6.76 - 10.24 = - 3.48 \end{array}$

b) جذران مركبان.

28)

$0.6 x^{2} + 1.4 x - 4.8 = 0$

a) $\begin{array}{r} a = 0.6, b = 1.4, c = - 4.8 \\ b^{2} - 4 a c = (1.4)^{2} - 4 (0.6) (- 4.8) \\ = 1.96 + 11.52 = 13.48 \end{array}$

b) جذران غير نسبيان.

29) التدخين: تبذل دول العالم جهوداً مكثفة للتوعية بأخطار التدخين وقد أثمرت عن تناقص أعداد المدخنين وفي إحدى البلدان أجريت دراسة حول الإصابات بمرض سرطان الرئة بين كل 100000 شخص في بعض الأعوام وكانت نتائجها التقريبية كما في الجدول المجاور ويمكن تمثيل العدد التقريبي للمصابين بالدالة $y = - 0.26 x^{2} - 0.55 x + 91.81$ ، حيث x عدد السنوات بعد عام 2000.

جدول الاصابات

a) احسب عدد المصابين بسرطان الرئة لكل 100000 شخص في عامي 2010,2017.

x عدد السنوات بعد سنة 2000 سنة 2010 هي 10 سنوات بعد سنة 2000 نعوض عن x = 10.

$\begin{matrix} y = - 0.26 (10)^{2} - 0.55 (10) + 91.81 \\ y = - 26 - 5.5 + 91.81 = 60.31 \end{matrix}$

عدد المصابين بسرطان الرئة لكل 100000 شخص في عام 2015 هو 25.05 شخص.

b) استعمل القانون العام لإيجاد قيمة x عندما 50 = y.

$\begin{matrix} 50 = - 0.26 x^{2} - 0.55 x + 91.81 \\ - 0.26 x^{2} - 0.55 x + 41.81 = 0 \\ a = - 0.26, b = - 0.55, c = 41.81 \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{matrix}$

$\begin{array}{r} x = \frac{0.55 \pm \sqrt{(0.55)^{2} - 4 (- 0.26) (41.81)}}{2 (- 0.26)} \\ x = \frac{0.55 \pm \sqrt{43.78}}{- 0.52} \\ x \approx \frac{0.55 \pm 6.62}{- 0.52} \end{array}$

$x \approx \frac{0.55 - 6.62}{- 0.52} \approx 11.67 x \approx \frac{0.55 + 6.62}{- 0.52} \approx - 13.79$

حيث لا يوجد سنوات بالسالب إذاً $x \approx 11.67$ .

c) اعتماداً على الدالة التربيعية متى يصبح معدل الإصابة يساوي صفراً وهل هذا التوقع معقول؟ فسر إجابتك.

يصبح معدل الإصابة صفر إذاً y = 0

$\begin{matrix} a = - 0.26 x^{2} - 0.55 x + 91.81 \\ x = \frac{0.55 \pm \sqrt{(0.55)^{2} - 4 (- 0.26) (91.81)}}{2 (- 0.26)} \\ x = \frac{0.55 \pm \sqrt{0.3025 + 95.4824}}{- 0.52} \\ x = \frac{0.55 \pm \sqrt{95.7849}}{- 0.52} \approx \frac{0.55 \pm 9.79}{- 0.52} \end{matrix}$

$x \approx \frac{0.55 - 9.79}{- 0.52} \approx 17.78 x \approx \frac{0.55 + 9.79}{- 0.52} \approx - 19.88$

حيث لا يوجد سنوات بالسالب إذاً $x \approx 17.78$

يصبح معدل الإصابة 0 في سنة 2017.

التوقع غير معقول لأن معدل الإصابة بالسرطان لن يصبح صفراً إلا إذا وجد علاج ناجح لهذا المرض وهذا لا يمكن التنبؤ به.

30) نظرية الأعداد: يعطى مجموع الأعداد الصحيحة المتتالية n، …، 3، 2، 1 بالقانون $S = \frac{1}{2} n (n + 1)$ فكم عدداً صحيحاً متتالياً بدءاً من العدد 1 مجموعهم 666؟

$\begin{array}{r} 666 = \frac{1}{2} n (n + 1) \\ 1332 = n^{2} + n \\ n^{2} + n - 1332 = 0 \\ n = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 (1) (- 1332)}}{2 (1)} \\ n = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 5328}}{2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{5329}}{2} \\ n = \frac{- 1 \pm 73}{2} \end{array}$

$n = \frac{- 1 - 73}{2} = - 37 n = \frac{- 1 + 73}{2} = 36$

جميع الأعداد الموجبة هو عدد موجب إذاً الاجابة هي 36

31) ترفيه: يعطى ارتفاع لعبة ترفيهية عن سطح الأرض وهي تتحرك بسرعة تصل إلى 80 ft/s بالدالة: $h = - 16 t^{2} - 64 t + 60$ حيث h الارتفاع بالأقدام وt الزمن بالثواني فإذا علمت أنها ترتفع مسافة 60ft فما الزمن الذي يستغرق هبوطها من 60 ft إلى 0 ft؟

$\begin{aligned} h = - 16 t^{2} - 64 t + 60 \\ h = 0 \\ - 16 t^{2} - 64 t + 60 = 0 \\ a = - 16 . b = - 64 . c = 60 \end{aligned}$

$\begin{aligned} t = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ t = \frac{- (- 64) \pm \sqrt{(- 64)^{2} - 4 (- 16) (60)}}{2 (- 16)} \\ t = \frac{64 \pm \sqrt{4096 + 3840}}{- 32} \\ t = \frac{64 \pm \sqrt{7936}}{- 32} \\ t = \frac{64 \pm \sqrt{256 \times 31}}{- 32} \\ t = \frac{64 \pm 16 \sqrt{31}}{- 32} \\ t = \frac{16 (4 \pm \sqrt{31})}{- 32} = \frac{4 \pm \sqrt{31}}{- 2} \end{aligned}$

$\begin{array}{ll} t = \frac{4 + \sqrt{31}}{- 2} & t = \frac{4 - \sqrt{31}}{- 2} \\ t \approx 4.78 & t \approx - 0.78 \end{array}$

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

فيديو حل أسئلة تدرب وحل المسائل

النقاشات

لايوجد نقاشات

تدرب وحل المسائل

حل كل معادلة مما يأتي باستعمال القانون العام:

13)

$\begin{array}{r} x^{2} + 45 x + 200 = 0 \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x = \frac{- 45 \pm \sqrt{(45)^{2} - 4 (1) (200)}}{2 (1)} \end{array}$

$\begin{array}{r} x = \frac{- 45 \pm \sqrt{2025 - 800}}{2} \\ x = \frac{- 45 \pm \sqrt{1225}}{2} \end{array}$

$x = \frac{- 45 - 35}{2} = \frac{- 80}{2} = - 40 x = \frac{- 45 + 35}{2} = \frac{- 10}{2} = - 5$

14)

$\begin{aligned} 4 x^{2} + 12 x - 6 = 0 \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{aligned}$

15)

$\begin{array}{r} 5 x^{2} - 11 x - 9 = 0 \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x = \frac{11 \pm \sqrt{(- 11)^{2} - 4 (5) (- 9)}}{2 (5)} \end{array}$

$\begin{array}{r} x = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 180}}{10} \\ x = \frac{11 \pm \sqrt{301}}{10} \end{array}$

16)

$\begin{aligned} 12 x^{2} + 9 x + 15 = 0 \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{aligned}$

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{71}}{8}$

أجب عن الفرعين a، b لكل معادلة تربيعية مما يأتي:

a) أوجد قيمة المميز.

b) أوجد عدد الجذور وحدد أنواعها.

17)

$\begin{array}{r} 2 x^{2} + 3 x - 3 = 0 \\ a = 2, b = 3, c = - 3 \end{array}$

a) $\begin{array}{r} b^{2} - 4 a c = (3)^{2} - 4 (2) (- 3) \\ = 9 + 24 = 33 \end{array}$

b) $33 > 0$ ليس مربعاً كاملاً، جذران غير نسبيان.

18)

$3 x^{2} - 3 x + 8 = 0$

a) $\begin{array}{r} a = 3, b = - 3, c = 8 \\ b^{2} - 4 a c = (- 3)^{2} - 4 (3) (8) \\ = 9 - 96 = - 87 \end{array}$

b) $- 87 < 0$ جذران مركبان.

19)

$2 x^{2} + 4 x + 7 = 0$

a) $\begin{array}{r} a = 2, b = 4, c = 7 \\ b^{2} - 4 a c = (4)^{2} - 4 (2) (7) \\ = 16 - 56 = - 40 \end{array}$

b) $- 40 < 0$ جذران مركبان

20)

$- 5 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

a) $\begin{array}{r} a = - 5, b = 4, c = 1 \\ b^{2} - 4 a c = (4)^{2} - 4 (- 5) (1) \\ = 16 + 20 = 36 \end{array}$

$36 > 0$ , 36 مربع كامل، جذران نسبيان.

21)

$x^{2} - 6 x + 9 = 0$

a) $\begin{array}{r} x^{2} - 6 x + 9 = 0 \\ a = 1, b = - 6, c = 9 \\ b^{2} - 4 a c = (- 6)^{2} - 4 (1) (9) \\ = 36 - 36 = 0 \end{array}$

b) جذر نسبي واحد.

22)

$x^{2} - 2 x + 5 = 0$

a) $\begin{array}{r} a = 1, b = - 2, c = 5 \\ b^{2} - 4 a c = (- 2)^{2} - 4 (1) (5) \\ = 4 - 20 = - 16 \end{array}$

b) جذران مركبان.

23)

$6 x^{2} - 4 x + 3 = 0$

a) $\begin{array}{r} a = 6, b = - 4, c = 3 \\ b^{2} - 4 a c = (- 4)^{2} - 4 (6) (3) \\ = 16 - 72 = - 56 \end{array}$

b) جذران مركبان.

24)

$5 x^{2} + 8 x = 0$

a) $\begin{matrix} a = 5, b = 8, c = 0 \\ b^{2} - 4 a c = (8)^{2} - 4 (5) (0) \\ = 64 \end{matrix}$

b) جذران نسبيان.

25)

$8 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

a) $\begin{matrix} a = 8, b = 2, c = - 1 \\ b^{2} - 4 a c = (2)^{2} - 4 (8) (- 1) \\ = 36 \end{matrix}$

b) جذران نسبيان.

26)

$12 x^{2} + 4 x - 3 = 0$

a) $\begin{array}{r} a = 12, b = 4, c = - 3 \\ b^{2} - 4 a c = (4)^{2} - 4 (12) (- 3) \\ = 16 + 144 = 160 \end{array}$

b) جذران غير نسبيان.

27)

$0.8 x^{2} + 2.6 x + 3.2 = 0$

a) $\begin{array}{r} a = 0.8, b = 2.6, c = 3.2 \\ b^{2} - 4 a c = (2.6)^{2} - 4 (0.8) (3.2) \\ = 6.76 - 10.24 = - 3.48 \end{array}$

b) جذران مركبان.

28)

$0.6 x^{2} + 1.4 x - 4.8 = 0$

a) $\begin{array}{r} a = 0.6, b = 1.4, c = - 4.8 \\ b^{2} - 4 a c = (1.4)^{2} - 4 (0.6) (- 4.8) \\ = 1.96 + 11.52 = 13.48 \end{array}$

b) جذران غير نسبيان.

29) التدخين: تبذل دول العالم جهوداً مكثفة للتوعية بأخطار التدخين وقد أثمرت عن تناقص أعداد المدخنين وفي إحدى البلدان أجريت دراسة حول الإصابات بمرض سرطان الرئة بين كل 100000 شخص في بعض الأعوام وكانت نتائجها التقريبية كما في الجدول المجاور ويمكن تمثيل العدد التقريبي للمصابين بالدالة $y = - 0.26 x^{2} - 0.55 x + 91.81$ ، حيث x عدد السنوات بعد عام 2000.

جدول الاصابات

a) احسب عدد المصابين بسرطان الرئة لكل 100000 شخص في عامي 2010,2017.

x عدد السنوات بعد سنة 2000 سنة 2010 هي 10 سنوات بعد سنة 2000 نعوض عن x = 10.

$\begin{matrix} y = - 0.26 (10)^{2} - 0.55 (10) + 91.81 \\ y = - 26 - 5.5 + 91.81 = 60.31 \end{matrix}$

عدد المصابين بسرطان الرئة لكل 100000 شخص في عام 2015 هو 25.05 شخص.

b) استعمل القانون العام لإيجاد قيمة x عندما 50 = y.

$\begin{matrix} 50 = - 0.26 x^{2} - 0.55 x + 91.81 \\ - 0.26 x^{2} - 0.55 x + 41.81 = 0 \\ a = - 0.26, b = - 0.55, c = 41.81 \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{matrix}$

$\begin{array}{r} x = \frac{0.55 \pm \sqrt{(0.55)^{2} - 4 (- 0.26) (41.81)}}{2 (- 0.26)} \\ x = \frac{0.55 \pm \sqrt{43.78}}{- 0.52} \\ x \approx \frac{0.55 \pm 6.62}{- 0.52} \end{array}$

$x \approx \frac{0.55 - 6.62}{- 0.52} \approx 11.67 x \approx \frac{0.55 + 6.62}{- 0.52} \approx - 13.79$

حيث لا يوجد سنوات بالسالب إذاً $x \approx 11.67$ .

c) اعتماداً على الدالة التربيعية متى يصبح معدل الإصابة يساوي صفراً وهل هذا التوقع معقول؟ فسر إجابتك.

يصبح معدل الإصابة صفر إذاً y = 0

$x \approx \frac{0.55 - 9.79}{- 0.52} \approx 17.78 x \approx \frac{0.55 + 9.79}{- 0.52} \approx - 19.88$

حيث لا يوجد سنوات بالسالب إذاً $x \approx 17.78$

يصبح معدل الإصابة 0 في سنة 2017.

30) نظرية الأعداد: يعطى مجموع الأعداد الصحيحة المتتالية n، …، 3، 2، 1 بالقانون $S = \frac{1}{2} n (n + 1)$ فكم عدداً صحيحاً متتالياً بدءاً من العدد 1 مجموعهم 666؟

$n = \frac{- 1 - 73}{2} = - 37 n = \frac{- 1 + 73}{2} = 36$

جميع الأعداد الموجبة هو عدد موجب إذاً الاجابة هي 36

31) ترفيه: يعطى ارتفاع لعبة ترفيهية عن سطح الأرض وهي تتحرك بسرعة تصل إلى 80 ft/s بالدالة: $h = - 16 t^{2} - 64 t + 60$ حيث h الارتفاع بالأقدام وt الزمن بالثواني فإذا علمت أنها ترتفع مسافة 60ft فما الزمن الذي يستغرق هبوطها من 60 ft إلى 0 ft؟

$\begin{aligned} h = - 16 t^{2} - 64 t + 60 \\ h = 0 \\ - 16 t^{2} - 64 t + 60 = 0 \\ a = - 16 . b = - 64 . c = 60 \end{aligned}$

$\begin{array}{ll} t = \frac{4 + \sqrt{31}}{- 2} & t = \frac{4 - \sqrt{31}}{- 2} \\ t \approx 4.78 & t \approx - 0.78 \end{array}$

تدرب وحل المسائل

حل كل معادلة مما يأتي باستعمال القانون العام:

13)

14)

15)

16)

أجب عن الفرعين a، b لكل معادلة تربيعية مما يأتي:

a) أوجد قيمة المميز.

b) أوجد عدد الجذور وحدد أنواعها.

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

a) احسب عدد المصابين بسرطان الرئة لكل 100000 شخص في عامي 2010,2017.

b) استعمل القانون العام لإيجاد قيمة x عندما 50 = y.

c) اعتماداً على الدالة التربيعية متى يصبح معدل الإصابة يساوي صفراً وهل هذا التوقع معقول؟ فسر إجابتك.

30) نظرية الأعداد: يعطى مجموع الأعداد الصحيحة المتتالية n، …، 3، 2، 1 بالقانون S=12n(n+1) فكم عدداً صحيحاً متتالياً بدءاً من العدد 1 مجموعهم 666؟

مشاركة الدرس

شرح فيديو

فيديو حل أسئلة تدرب وحل المسائل

النقاشات

تدرب وحل المسائل

حل كل معادلة مما يأتي باستعمال القانون العام:

13)

14)

15)

16)

أجب عن الفرعين a، b لكل معادلة تربيعية مما يأتي:

a) أوجد قيمة المميز.

b) أوجد عدد الجذور وحدد أنواعها.

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

a) احسب عدد المصابين بسرطان الرئة لكل 100000 شخص في عامي 2010,2017.

b) استعمل القانون العام لإيجاد قيمة x عندما 50 = y.

c) اعتماداً على الدالة التربيعية متى يصبح معدل الإصابة يساوي صفراً وهل هذا التوقع معقول؟ فسر إجابتك.

30) نظرية الأعداد: يعطى مجموع الأعداد الصحيحة المتتالية n، …، 3، 2، 1 بالقانون S=12n(n+1) فكم عدداً صحيحاً متتالياً بدءاً من العدد 1 مجموعهم 666؟

30) نظرية الأعداد: يعطى مجموع الأعداد الصحيحة المتتالية n، …، 3، 2، 1 بالقانون $S = \frac{1}{2} n (n + 1)$ فكم عدداً صحيحاً متتالياً بدءاً من العدد 1 مجموعهم 666؟

30) نظرية الأعداد: يعطى مجموع الأعداد الصحيحة المتتالية n، …، 3، 2، 1 بالقانون $S = \frac{1}{2} n (n + 1)$ فكم عدداً صحيحاً متتالياً بدءاً من العدد 1 مجموعهم 666؟