حل أسئلة تحقق من فهمك

حدد ما إذا كانت كل تجربة مما يأتي ذات حدين، أو يمكن جعلها كذلك، وإذا كانت تجربة ذات حدين، فاكتب قيم n, p,q، وقيم المتغير العشوائي الممكنة، وإذا لم تكن كذلك فبيّن السبب.

1A) أظهرت نتيجة لمسح إحصائي في إحدى المدارس ذات الزي الموحَّد أن %61 يحبون الزي الجديد، وأن 24% لا يحبونه، إذا تم اختيار 20 طالباً بشكل عشوائي، وسؤالهم عما إذا كانوا يحبون الزي الجديد، وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد الطلاب الذين يحبون الزي الجديد.

ليست ذات حدين.
P(S) = 61%,
P (F ) =1 - 61% = 39%
في حين أن % 24 لا يحبون الزي الموحد، وهذا لا يساوي % 39، وهذا يعني أنه ليس لكل محاولة نتيجتان فقط.

1B) أجاب خالد عن اختبار مكون من 20 فقرة من نوع (الاختيار من متعدد) لكل فقرة منها أربع إجابات، واحدة فقط صحيحة (دون معرفة علمية بموضوع الاختبار). وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد الإجابات الصحيحة.

تجربة ذات حدين.

$n=20,p=\frac{1}{4},q=\frac{3}{4}$

X = 0, 1, 2, … 20

2) كليات: يدرس في إحدى الكليات %48 من الطلاب لغة عالمية خلال سنة التخرج، إذا اختير 7 خريجين عشوائياً، وتم سؤالهم عمّا إذا درسوا لغة عالمية في سنتهم الأخيرة، وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد ومثّله بالأعمدة، ثم أوجد احتمال أن يجيب أقل من 4 عمَّا الأخيرة الطلاب الذين أجابوا بنعم، فكوّن التوزيع ذا الحدين، طلاب بنعم.

3) كليات: أوجد المتوسط والتباين والانحراف المعياري للمتغير العشوائي X في تحقق من فهمك 2، وفسر معنى المتوسط في سياق الموقف.

$\begin{array}{r}\mu =3.36\\ {\sigma }^2=1.747\\ \sigma \approx 1.322\end{array}$

تقريباً 3 طلبة من بين 7 يدرسون لغة عالمية في سنة التخرج.

4) أشارت دراسة سابقة إلى أن %32 من أولياء الأمور المستطلعة آراؤهم يرون أنه يجب تقليل عدد أيام الإجازة الصيفية للطلاب في نهاية العام الدراسي، غير أن آية ترى أن النسبة أقل من ذلك، ولذلك قامت بإجراء دراسة مسحية شملت 250 من أولياء الأمور اختارتهم بطريقة عشوائية ممن استهدفتهم الدراسة السابقة، ما احتمال ألّا يرى أكثر من 65 من أولياء الأمور وجوب تقليل عدد أيام الإجازة الصيفية؟

الدراسة التي قامت بها آية تعد تجربة ذات حدين فيها:

n = 250, p = 0.32, q = 1-0.32 = 0.68

وحيث إن:

np = 250 (0.32) = 80 > 5

nq = 250 (0.68) = 170 > 5

فإنه يمكننا استعمال التوزيع الطبيعي لتقريب الاحتمال على النحو الآتي:

$\begin{array}{r}\mu =np=80\\ \sigma =\sqrt{npq}=\sqrt{250\times 0.32\times 0.68}\approx 7.4\end{array}$

العدد 65 أصغر من المتوسط بمقدار انحرافين معياريين تقريباً؛ لذا يكون احتمال أن يرى أكثر من 65 من أولياء الأمور وجوب تقليل عدد أيام الإجازة الصيفية يساوي تقريباً.

97.5%= %(50 + 34 + 13.5)،

وعليه فإن احتمال المتممة وهي ألا يرى أكثر من 65 من أولياء الأمور وجوب تقليل عدد أيام الإجازة الصيفية يساوي تقريباً:

1 - 97.5% = 2.5%