حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حدد ما إذا كانت كل تجربة مما يأتي ذات حدين، أو يمكن جعلها ذات حدين وإن كانت كذلك، فاكتب قيم n, p, q، ثم اكتب كل قيم المتغير العشوائي الممكنة، وإذا لم تكن تجربة ذات حدين، فبيّن السبب.

1) تم ترقيم أوجه مكعب بالأرقام من 1 إلى 6، ثم ألقي المكعب 10 مرات، والمتغير العشوائي X يدل على عدد مرات ظهور الرقم 5.

تجربة ذات حدين؛ n = 10.

$p=\frac{1}{6}$ للك رمية، $q=\frac{5}{6}$ قيم المتغير العشوائي 0-10.

2) ألقيت قطعة نقد 20 مرة، والمتغير العشوائي X يدل على عدد مرات ظهور الكتابة.

تجربة ذات حدين؛ n = 20.

$p=\frac{1}{2}$ للك رمية، $q=\frac{1}{2}$ قيم المتغير العشوائي 0-20.

3) سألت 15 شخصاً عن أعمارهم، والمتغير العشوائي X يدل على أعمار هؤلاء الأشخاص.

ليست تجربة ذات حدين؛ إجابة ممكنة؛ لأنه يوجد أكثر من نتيجتين متوقعتين؛ لأن العمر قد يكون أي عدد ضمن المعقول.

4) صندوق به 52 كرة، منها 13 كرة حمراء، و13 كرة زرقاء، و13 كرة بيضاء، و13 كرة صفراء، سحبت 10 كرات على التوالي دون إرجاع، والمتغير العشوائي X يدل على عدد الكرات البيضاء المسحوبة.

ليست تجربة ذات حدين؛ إجابة ممكنة: بما أنك تسحب كرات دون إرجاع، فإن الاحتمالات تختلف في كل سحب لنقص عدد الكرات.

كون التوزيع ذا الحدين لكلّ متغير عشوائي مما يأتي، ومثله بالأعمدة، ثم أوجد المتوسط، وفسر معناه في سياق الموقف، ثم أوجد التباين، والانحراف المعياري.

5) إذا كان %89 طلاب عشوائياً من طلاب المرحلة الثانوية في إحدى المدارس يتابعون مباريات منتخبهم الوطني، وتم اختيار 5 طلاب من هذه المدرسة، وسؤالهم عما إذا كانوا يتابعون مباريات منتخبهم الوطني.

$\mu \approx 4.45$ إجابة ممكنة: من بين 5 طلاب من طلاب المرحلة الثانوية 4 منهم تقريباً يتابعون مباريات منتخبهم الوطني، ${\sigma }^2\approx 0.49،\sigma \approx 0.70$

6) بينت دراسة أن %26 من موظفي إحدى الشركات يستعملون الإنترنت في عملهم، إذا تم اختيار 10 موظفين من هذه الشركة
عشوائياً، وسؤالهم عما إذا كانوا يستعملون الإنترنت في عملهم.

$\mu \approx 2.60$ إجابة ممكنة: من بين 10 موظفين 3 منهم تقريباً يستعملون الإنترنت في العمل $\sigma \approx 1.39.{\sigma }^2\approx 1.92$.

7) أفادت دراسة إحصائية أن %65 من طلاب الجامعات الذين يمتلكون سيارات يستعملون أحزمة الأمان في أثناء قيادة سياراتهم. إذا تم اختيار 8 طلاب عشوائياً ممن يمتلكون سيارات، وسؤالهم إن كانوا يستعملون أحزمة أمان في أثناء قيادة سياراتهم.

$\mu \approx 5.20$، إجابة ممكنة: من بين 8 طلاب من طلاب الجامعات الذين يملكون سيارات خاصة 5 منهم تقريباً يستعملون حزام الأمان في أثناء قيادة سياراتهم، $\sigma \approx 1.35،{\sigma }^2\approx 1.82$.

8) أعمال صيفية: تبيّن في دراسة سابقة أن %90 من طلاب الصفوف العليا في مدرسة ثانوية يحصلون على أعمال صيفية، لكن
منذراً قدر أن النسبة أقل من ذلك؛ لذا قام بدراسة مسحية شملت طالب من الصفوف العليا تم اختيارهم عشوائياً، ما احتمال 400 ألا يكون أكثر من 348 من الطلاب المستهدفين حصلوا على عمل صيفي؟

2.5% تقريباً.

9) رخصة قيادة: اعتماداً على إحدى الدراسات المسحية السابقة، إذا علمت أن %85 من طلاب إحدى الجامعات لديهم رخص قيادة سيارة، فما احتمال أن يكون 6 طلاب على الأقل من بين 10 تم اختيارهم عشوائياً لديهم رخص قيادة سيارة؟

% 99 تقريباً أو 0.99013

10) كرة قدم: كسب فريق لكرة القدم %75.7 من مبارياته، أوجد احتمال أن يكسب 7 مباريات على الأقل من بين مبارياته العشر
القادمة.

0.792 أو % 79.2 تقريباً.

11) وفق بعض الدراسات الحديثة، إذا علمت أن %80 من طلاب المدارس الثانوية يمارسون رياضة واحدة على الأقل في مدرستهم، إذا اختير 6 طلاب عشوائياً، وكان المتغير العشوائي X يدل على عدد الذين يمارسون رياضة على الأقل.

a) فأوجد الاحتمالات المرتبطة بعدد الطلاب الذي يمارسون رياضة واحدة على الأقل.

b) ما احتمال ألا يزيد عدد الذين يمارسون الرياضة عن طالبين؟

1.7% تقريباً.

12) غسيل السيارات: يقوم بعض الأشخاص بغسيل السيارات لزبائن بعض المجمعات التجارية مقابل أجر معين، وقد أفادت دراسة مسحية أن %65 من الزبائن يدفعون أكثر من الحد الأدنى لأجرة غسيل سياراتهم، ما احتمال أن يدفع أربعة على الأقل من خمسة زبائن مبلغاً أكثر من الحد الأدنى للأجر.

42.8% تقريباً.

13) حوافز دعائية: تضع شركة للعصائر حوافز بحيث إن % 30 من علب العصير تربح علبة مجانية، وقد اشترت سعاد 10 علب، مثل بالأعمدة البيانية التوزيع الاحتمالي للتوزيع ذي الحدين إذا كان المتغير العشوائي يدل على عدد علب العصير الرابحة.

14) برامج دينية: بناء على دراسة مسحية سابقة، إذا علمت أن %70 من الأشخاص تحت سن العشرين يتابعون برنامجاً دينياً على الأقل في التلفاز، إذا استطلع خليل رأي 200 شخص تحت سن 20 سنة، شخصاً منهم على الأقل يتابعون برنامجاً دينياً فما احتمال أن 146 على الأقل؟

16% تقريباً.

إذا علمت أن نسبة النجاح في توزيع ذي حدين % 60، ويوجد 18 محاولة، فأجب.

15) ما احتمال ألا توجد أي محاولة ناجحة؟

0.0000069% تقريباً.

16) ما احتمال أن توجد 12 محاولة فاشلة؟

0.0145 أو % 1.45 تقريباً.

17) تنس طاولة: كسب لاعب % 85 من مبارياته التي لعبها خلال مسيرته الرياضية، أوجد الاحتمالات الآتية:

a) أن يكسب 3 مباريات من بين 5 مباريات قادمة.

13.8% تقريباً.

b) أن يكسب مباراتين على الأقل من بين المباريات الخمس القادمة.

99.8% تقريباً.

c) أن يخسر مباراة واحدة على الأقل في مبارياته الخمس القادمة.

55.6% تقريباً.

لكل من التوزيعات ذات الحدين الآتية، يدل الرمز n على عدد المحاولات، ويدل الرمز p على احتمال نجاح كل محاولة، أوجد احتمال
الحصول على X من النجاحات.

18) $n=8,p=0.3,X\ge 2$

0.774 أو % 74.4 تقريباً.

19) $n=10,p=0.2,X>2$

0.322 أو % 32.2 تقريباً.

20) $n=6,p=0.6,X\le 4$

0.767 أو % 76.7 تقريباً.

21) $n=9,p=0.25,X\le 5$

0.99 أو % 99 تقريباً.

22) $n=10,p=0.75,X\ge 8$

0.526 أو % 52.6 تقريباً

23) $n=12,p=0.1,X<3$

0.889 أو % 88.9 تقريباً.