حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

46) اكتشف الخطأ: قام كلٌّ من أحمد وعبد الله بإيجاد f'(x)]²] للدالة f(x)=6x²+4x، حيث كانت إجابة عبد الله: 144x²+96x+16، في حين كانت إجابة أحمد: 144x³+144x²+32x، فأيهما كانت إجابته صحيحة؟ برّر إجابتك.

عبد الله، إجابة ممكنة: وجد عبد الله أن f'(x ) = 12x + 4 ، ثم ربّع الطرفين. أما أحمد فقد ربَّع الدالة الأصلية، ثم أوجد المشتقة.

47) أوجد (f'(y علماً بأن: f(y)=10x²y³+5xz²-6xy²+8x⁵-11x⁸yz⁷.

$f^{\mathrm{\prime }}\left(y\right)=30x^2{y}^2-12xy-11x^8{z}^7$

48) برهان: برهن صحة قاعدة مشتقة الضرب، بإثبات أن: $f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)g(x+h)-f\left(x\right)g\left(x\right)}{h}$.

(إرشاد: ابدأ بالطرف الأيمن، وأضف (f (x)g(x + h إلى البسط واطرحه منه).

$\begin{array}{rl}& \underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)g(x+h)-f\left(x\right)g\left(x\right)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)g(x+h)-f\left(x\right)g(x+h)+f\left(x\right)g(x+h)-f\left(x\right)g\left(x\right)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)g(x+h)-f\left(x\right)g(x+h)}{h}+ \underset{h\to 0}{lim}\frac{f\left(x\right)g(x+h)-f\left(x\right)g\left(x\right)}{h}\\ & \begin{array}{rl}& =\underset{h\to 0}{lim}\left[\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}g\right(x+h\left)\right]+\underset{h\to 0}{lim}\left[\frac{g(x+h)-g\left(x\right)}{h}f\right(x\left)\right]\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\left[\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}\right]\left[\underset{h\to 0}{lim}g\right(x+h\left)\right]+ f\left(x\right)\underset{h\to 0}{lim}\frac{g(x+h)-g\left(x\right)}{h}\\ & =f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)\end{array}\end{array}$

49) تبرير: بيّن ما إذا كانت العبارة الآتية صحيحة أو خاطئة، وبرّر إجابتك.
"إذا كانت: f(x)=x⁵ⁿ⁺³، فإن $f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=(5n+3)x^{5n+2}$".

صحيحة: إجابة ممكنة: إن قوة (f (x هي 5n + 3. بحسب قاعدة مشتقة القوة، تصبح هذه القوة معاملاً في المشتقة. وتصبح القوة في المشتقة أقل بواحد من 5n + 3 أي 1-(5n + 3) أو 5n + 2.

50) برهن صحة قاعدة مشتقة القسمة، وذلك بإثبات أن:

$\frac{f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)}{\left[g\right(x){]}^2}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}{h}$

(إرشاد: ابدأ بالطرف الأيمن، ووحّد المقامات في البسط، ثم أضف f(x) g(x) إلى البسط واطرحه منه).

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& =\underset{\mathrm{h}\to 0}{lim}\frac{\frac{\mathrm{f}(\mathrm{x}+\mathrm{h})}{\mathrm{g}(\mathrm{x}+\mathrm{h})}-\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}}{\mathrm{h}}=\underset{\mathrm{h}\to 0}{lim}\frac{\mathrm{f}(\mathrm{x}+\mathrm{h})\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}(\mathrm{x}+\mathrm{h})}{\mathrm{hg}(\mathrm{x}+\mathrm{h})\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}\\ =& \underset{\mathrm{h}\to 0}{lim}\frac{\mathrm{f}(\mathrm{x}+\mathrm{h})\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}(\mathrm{x}+\mathrm{h})}{\mathrm{hg}(\mathrm{x}+\mathrm{h})\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}\\ =& \underset{\mathrm{h}\to 0}{lim}\frac{\left[\mathrm{f}\right(\mathrm{x}+\mathrm{h})-\mathrm{f}(\mathrm{x}\left)\right]\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)-\left[\mathrm{g}\right(\mathrm{x}+\mathrm{h})-\mathrm{g}(\mathrm{x}\left)\right]\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{hg}(\mathrm{x}+\mathrm{h})\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& =\underset{\mathrm{h}\to 0}{lim}\frac{\frac{\mathrm{f}(\mathrm{x}+\mathrm{h})-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{h}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)-\frac{\mathrm{g}(\mathrm{x}+\mathrm{h})-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{h}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}(\mathrm{x}+\mathrm{h})\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}\\ & =\frac{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\underset{\mathrm{h}\to 0}{lim}\frac{\mathrm{f}(\mathrm{x}+\mathrm{h})-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{h}}-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\underset{\mathrm{h}\to 0}{lim}\frac{\mathrm{g}(\mathrm{x}+\mathrm{h})-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{h}}}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\underset{\mathrm{h}\to 0}{lim}\mathrm{g}(\mathrm{x}+\mathrm{h})}\\ & =\frac{{\mathrm{f}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{g}}^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)}{\left[\mathrm{g}\right(\mathrm{x}){]}^2}\end{array} \end{gathered}$$

51) اكتب: هل من الممكن أن يكون لدالَّتين مختلفتين المشتقة نفسها؟ عزّز إجابتك بأمثلة.

إجابة ممكنة: من الممكن أن يكون لدالتين مختلفتين المشتقة نفسها؛ لأن مشتقة أي ثابت هي 0، أي أنه لأي دالتين تختلفان بانسحاب رأسي، فإن لهما المشتقة نفسها. فمثلاً للدالتين f(x)=x² و3+g(x)=x² المشتقة نفسها وهي 2x .