حل أسئلة تطبيقات ومسائل

51) حيوانات: يعطى عدد الحيوانات P في محميَّة طبيعية بالمئات بعد t سنة بالدالة $P\left(t\right)=\frac{40t^3+48t+100}{5t^3-70t-95}$، حيث $\cdot t\ge 5$

a) أوجد العدد التقريبي للحيوانات في المحميَّة بعد 5 سنوات.

2966 حيواناً.

b) أوجد $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}P\left(t\right)$؟

800

52) تحف فنية: لدى سلمان تحفة فنية يزداد سعرها كل سنة، افترض أن الدالة $v\left(t\right)=\frac{800t}{4t+19}$، تمثّل سعر التحفة بعد t سنة بمئات الريالات.

a) استعمل الآلة البيانية لتمثيل الدالة في الفترة $.0\le t\le 10$

b) استعمل التمثيل البياني في الفرع a لتقريب سعر التحفة عندما t = 3 , 6 , 10.

7674,11114,13524

c) استعمل التمثيل البياني في الفرع a لحساب $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}v\left(t\right)$.

20000

d) وضّح العلاقة بين نهاية الدالة وسعر التحفة.

لن تزيد قيمة التحفة عن 20000 ريال.

e) بعد 10 سنوات، قدَّم أحد المعارض الفنية عرضاً لشراء التحفة من سلمان بسعر 30000 ريال، هل من الأفضل بيعها بهذا السعر؟ برّر إجابتك.

نعم؛ العرض أفضل من قيمة التحفة.

53) مبيعات: افترض أن الدالة $v\left(t\right)=\frac{450}{5+25(0.4{)}^t}$ تمثل سعر سلعة ما بالريالات بعد t سنة.

a) أكمل الجدول أدناه:

b) استعمل الآلة البيانية لتمثيل الدالة في الفترة $0\le t\le 10$.

c) استعمل التمثيل البياني لتقدير $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}v\left(t\right)$ إذا كانت موجودة.

90.

d) وضح العلاقة بين نهاية الدالة وسعر السلعة.

أقصى سعر يمكن أن تصله السلعة هو 90 ريالاً.

54) صواريخ: أطلق صاروخ رأسياً إلى أعلى بسرعة 150ft/s، افترض أن ارتفاع الصاروخ (h (t بالأقدام بعد t ثانية يعطى بالدالة h(t) = -16t²+150t + 8.2.

a) أوجد السرعة المتجهة اللحظية (v (t للصاروخ.

32t + 150-

b) ما سرعة الصاروخ بعد 1.5s من إطلاقه؟

102 ft/s.

c) متى يصل الصاروخ إلى أقصى ارتفاع؟

4.69 s.

d) ما أقصى ارتفاع يصل إليه الصاروخ؟

359.8 ft.

55) رماية: أطلق محمد سهماً بسرعة 35 ft/s باتجاه هدف، افترض أن ارتفاع السهم h بالأقدام بعد t ثانية من إطلاقه معطى بالدالة h(t) = -16t²+35t+1.5.

a) اكتب معادلة السرعة المتجهة اللحظية (v(t للسهم.

32t + 35-

b) ما سرعة السهم بعد 0.5/s من إطلاقه؟

19 ft/s.

c) متى يصل السهم إلى أقصى ارتفاع؟

1.09s

d) ما أقصى ارتفاع يصل إليه السهم؟

20.64 ft.

56) تصميم: يقوم مصمم ألبسة رياضية بعمل شعار جديد يشبه المنطقة المظللة تحت المنحنى أدناه؛ حيث سيقوم بخياطة هذا الشعار على قمصان لاعبي فريق رياضي، ما مقدار القماش الذي يحتاج إليه لعمل 50 شعاراً إذا كانت x بالبوصات؟

607.5in²

57) ضفادع: تمثل الدالة v (t) =-32t+ 26 سرعة قفز ضفدع بالأقدام لكل ثانية، حيث t الزمن بالثواني.

a) أوجد موقع الضفدع (s (t، على فرض أن s(t) = 0 عندما t = 0.

s(t) = -16t² + 26t

b) ما الزمن الذي يستغرقه الضفدع في الهواء عند قفزه؟

1.63s

58) طيور: سقطت حبة قمح من منقار حمامة تطير على ارتفاع 20 ft، وتعطى سرعة سقوط الحبة بالدالة v(t)= -32t، حيث t الزمن بالثواني، (v (t بالأقدام لكل ثانية.

a) أوجد موقع الحبة (s (t عند أي زمن.

s(t) =-16t²+20

b) أوجد الزمن الذي تستغرقه الحبة حتى تصل إلى سطح الأرض.

1.12s