تدرب وحل المسائل

حدّد الفرض والنتيجة في كلٍّ من العبارات الشرطية الآتية:

19) إذا كانت الزاويتان متجاورتين، فإن لهما ضلعاً مشتركاً.

• الفرض: الزاويتان متجاورتان
• النتيجة: للزاويتين ضلع مشترك.

20) إذا كنت قائد مجموعتنا، فإنني سأتبعك.

• الفرض: أنت قائد مجموعتنا.
• النتيجة: سوف أتبعك.

21) إذا كان 3x-4=11، فإن x=5.

• الفرض: 3x-4=11
• النتيجة: x=5

22) إذا كانت الزاويتان متقابلتين بالرأس، فإنهما متطابقتان.

• الفرض: الزاويتان متقابلتان بالرأس
• النتيجة: الزاويتان متطابقتان.

اكتب كل عبارة شرطية مما يأتي على صورة (إذا ... فإن ...).

23) احصل على قارورة ماء مجاناً عند شرائك خمس قوارير.

إذا اشتريت خمس قوارير ماء، فإنك تحصل على قارورة مجانية.

24) كل من حضر الحفل سيحصل على هدية.

إذا حضرت الحفل، فإنك ستحصل على هدية.

25) تقاطع مستويين يمثل مستقيماً.

إذا تقاطع مستويان، فإن تقاطعهما مستقيم.

26) مساحة الدائرة تساوي $\pi r^2$.

إذا كان الشكل دائرة، فإن مساحته تساوي $\pi r^2$.

27) قياس الزاوية القائمة °90.

إذا كانت الزاوية قائمة، فإن قياسها °90.

28) كيمياء: اكتب العبارة الآتية على صورة (إذا... فإن...).

ينصهر الفوسفور عند درجة °44 سيليزية.

إذا كانت المادة فوسفوراً، فإنها تنصهر عند درجة °44 سيليزية.

29) أحياء: يتغير الماء على الأرض باستمرار عبر عملية تسمى دورة الماء، اكتب العبارات الشرطية الثلاث أدنى الشكل على صورة (إذا... فإن...).

a) جريان الماء السطحي يصب في المسطحات المائية.

إذا جرى الماء على سطح الأرض، فإنه يصب في المسطحات المائية.

b) تعيد النباتات الماء إلى الهواء من خلال عملية النتح.

إذا أعادت النباتات الماء إلى الهواء، فإن ذلك يتم عن طريق النتح.

c) تعيد المسطحات المائية الماء إلى الهواء عن طريق التبخر.

إذا أعادت المسطحات المائية الماء إلى الهواء، فإن ذلك يتم عن طريق التبخر.

حدد قيمة الصواب لكل عبارة شرطية فيما يأتي، وإذا كانت صائبة، ففسِّر تبريرك، أما إذا كانت خاطئة فأعط مثالاً مضاداً:

30) إذا كان العدد فردياً، فإنه يقبل القسمة على 5.

خاطئة؛ العدد 9 فردي، ولكنه لا يقبل القسمة على 5، وهذا المثال المضاد يثبت أن النتيجة خاطئة، أي أن العبارة الشرطية خاطئة.

31) إذا كان الأرنب حيواناً برمائياً، فإن هذا الفصل هو فصل الصيف.

صائبة، الفرض خاطئ؛ لأن الأرنب ليس حيواناً برمائياً، والعبارة الشرطية التي يكون فيها الفرض خاطئاً تكون صائبة دائماً؛ إذن هذه العبارة الشرطية صائبة.

32) إذا كانت جدة في اليمن، فإن صنعاء هي عاصمة المملكة العربية السعودية.

صائبة؛ الفرض خاطئ؛ لأن جدة لا تقع في اليمن، والعبارة الشرطية التي يكون فيها الفرض خاطئاً، تكون صائبة دائماً؛ لذا فهذه العبارة الشرطية صائبة.

33) إذا نتج اللون الأبيض عن مزج اللونين الأزرق والأحمر، فإن 0=2-3.

صائبة؛ الفرض خاطئ؛ لأن مزج اللونين الأحمر بالأزرق ينتج اللون البنفسجي. العبارة الشرطية التي يكون فيها الفرض خاطئاً، تكون صائبة دائماً؛ لذا فالعبارة الشرطية صائبة.

34) إذا كانت الزاويتان متطابقتين، فإنهما متقابلتان بالرأس.

خاطئة.

الزاويتان متطابقتان، إلَّا أنهما غير متقابلتين بالرأس، وهذا المثال المضاد يثبت أن النتيجة خاطئة؛ أي أن العبارة الشرطية خاطئة.

35) إذا كان الحيوان طائراً، فإنه يكون نسراً.

خاطئة؛ يمكن أن يكون الحيوان صقراً، وهذا المثال المضاد يثبت أن النتيجة خاطئة؛ أي أن العبارة الشرطية خاطئة.

36) إذا كان الموز أزرق، فإن التفاح من الخضراوات.

صائبة؛ الفرض خاطئ؛ لأن لون الموز لا يمكن أن يكون أزرق. العبارة الشرطية التي يكون فيها الفرض خاطئاً تكون صائبة دائماً؛ لذا فالعبارة الشرطية صائبة.

طبيعة: استعمل العبارة أدناه لكتابة كلّ من العبارات الشرطية الآتية، ثم استعمل معلومات الربط مع الحياة لتحديد قيمة الصواب لكلّ منها، وإذا كانت أيٌّ منها خاطئة، فأعط مثالاً مضاداً.

”الحيوان الذي تظهر على جسمه خطوط هو الحمار الوحشي“

37) عبارة شرطية.

إذا ظهرت على جسم الحيوان خطوط، فإنه يكون حماراً وحشياً، خاطئة؛ ظباء الدكدك على أجسامها خطوط.

38) عكس العبارة الشرطية.

إذا كان الحيوان حماراً وحشياً، فإنه تظهر على جسمه خطوط؛ صائبة.

39) معكوس العبارة الشرطية.

إذا لم تظهر على جسم الحيوان خطوط، فإنه ليس حماراً وحشياً. صائبة.

40) المعاكس الإيجابي للعبارة الشرطية.

إذا لم يكن الحيوان حماراً وحشياً، فلا تظهر على جسمه خطوط؛ خاطئة، مثال مضاد. ظباء الدكدك تظهر عليها خطوط، وهي ليست حماراً وحشياً.

أوجد قيم الصواب لكل عبارتين فيما يأتي، ثم قرّر هل هما متكافئان منطقياً أم لا؟

41) $~(p\to q),~p\to \sim q$

غير متكافئتين منطقياً.

42) $~(p\to q),~(~q\to \sim p)$

التقريران متكافئان منطقياً

43) $(p\wedge q)\vee r,p\wedge (q\vee r)$

غير متكافئين منطقياً.

اكتب العكس والمعكوس والمعاكس الإيجابي لكلّ من العبارات الشرطية الآتية، ثم حدّد ما إذا كان أيٌّ منها صائباً أم خاطئاً، وإذا كان خاطئاً، فأعط مثالاً مضاداً.

44) إذا كنت تعيش في الدمام، فإنك تعيش في المملكة العربية السعودية.

• العكس: إذا كنت تعيش في السعودية، فإنك تعيش في الدمام؛ خاطئ؛ يمكن أن تكون في جدة.
• المعكوس: إذا لم تكن تعيش في الدمام، فإنك لا تعيش في السعودية؛ خاطئ: يمكن أن تعيش في الرياض.
• المعاكس الإيجابي: إذا لم تكن تعيش في السعودية، فإنك لا تعيش في الدمام. صائب.

45) إذا كان الطائر نعامة، فإنه لا يستطيع أن يطير.

• العكس: إذا كان الطائر لا يستطيع الطيران، فإنه نعامة. خاطئ، يمكن أن يكون الطائر بطريقاً.
• المعكوس: إذا لم يكن الطائر نعامة، فإنه يستطيع الطيران؛ خاطئ؛ يمكن أن يكون الطائر بطريقاً.
• المعاكس الإيجابي: إذا استطاع الطائر الطيران، فإنه لا يكون نعامة؛ صائب.

46) جميع المربعات مستطيلات.

• العكس: إذا كان الشكل مستطيلاً فإنه مربع. خاطئة، فالمستطيل قد لا تكون جميع أضلاعه متطابقة.
• المعكوس: إذا لم يكن الشكل مربعاً، فإنه لا يكون مستطيلاً؛ خاطئ: يمكن أن يكون الشكل مستطيلاً حتى لو لم يكن مربعاً.
• المعاكس الإيجابي: إذا لم يكن الشكل مستطيلاً، فلا يمكن أن يكون مربعاً؛ صائب.

47) جميع القطع المستقيمة المتطابقة لها الطول نفسه.

• العكس: إذا كان للقطع المستقيمة الطول نفسه، فإنها تكون متطابقة؛ صائب.
• المعكوس: إذا لم تكن القطع المستقيمة متطابقة فإنه لا يكون لها الطول نفسه، صائبة.
• المعاكس الإيجابي: إذا لم يكن للقطع المستقيمة الطول نفسه، فإن هذه القطع لا تكون متطابقة؛ صائب.

48) المثلث القائم الزاوية يحوي زاوية قياسها °90.

• العكس: إذا كان قياس إحدى زوايا المثلث 90، فإن المثلث قائم الزاوية؛ صائب.
• المعكوس: إذا لم يكن المثلث قائم الزاوية، فإنه لا يحوي زاوية قياسها 90؛ صائب.
• المعاكس الإيجابي: إذا كان المثلث لا يحوي زاوية قياسها 90، فإنه لا يكون مثلثاً قائم الزاوية؛ صائب.

استعمل أشكال فن أدناه؛ لتحديد قيمة الصواب لكلّ من العبارات الشرطية الآتية، وفسِّر تبريرك.

49) إذا كانت الدالة غير خطية، فإنها تكون دالة تربيعية.

خاطئة؛ المنطقة الزرقاء في شكل ڤن تحتوي الدوال غير الخطية وغير التربيعية.

50) إذا كان الحيوان من الثدييات، فإنه لا يكون حيواناً بحرياً.

خاطئة؛ تحتوي المنطقة الخضراء في شكل ڤن حيوانات ثدية وبحرية في الوقت نفسه.

51) إذا كانت الشجرة متساقطة الأوراق، فإنها لا تكون دائمة الخضرة.

صائبة؛ لا يوجد منطقة مشتركة بين المنطقتين اللتين تمثلان الأشجار المتساقطة الأوراق والأشجار الدائمة الخضرة.

52) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة سوف تستقصي أحد قوانين المنطق باستعمال العبارات الشرطية.

a) منطقياً: اكتب ثلاث عبارات شرطية صائبة، بحيث تكون نتيجة كل عبارة فرضاً للعبارة التي تليها.

إذا كنت تسكن مدينة جدة، فأنت تسكن منطقة مكة المكرمة، وإذا كنت تسكن منطقة مكة المكرمة فإنك تسكن المملكة العربية السعودية، وإذا كنت تسكن المملكة العربية السعودية، فإنك تسكن قارة آسيا.

b) بيانياً: ارسم شكل فن يوضح هذه السلسلة من العبارات الشرطية.

c) منطقياً: اكتب عبارة شرطية مستعملاً فرض العبارة الأولى، ونتيجة العبارة الثالثة، إذا كان فرض العبارة الأولى صائباً، فهل تكون العبارة الشرطية الناتجة صائبة؟

إذا كنت تسكن في مدينة جدة فإنك تسكن في قارة آسيا. نعم صحيحة.

d) لفظياً: إذا أعطيت العبارتين الشرطيتين الصائبتين: إذا كان a، فإن b، وإذا كان b، فإن c، فاكتب تخميناً حول قيمة الصواب للعبارة c عندما تكون العبارة a صائبة، فسّر تبريرك.

إجابة ممكنة: إذا كانت a صحيحة، فإن c صحيحة.

إذا كنا نعلم أن a صحيحة، فإننا نعلم أن b صحيحة، وإذا كنا نعلم أن b صحيحة، فإن c صحيحة أيضاً، إذن عندما تكون a صحيحة فإن c تكون صحيحة أيضاً.