تدرب وحل المسائل

في الشكل المجاور: $m\mathrm{\angle }14={18}^{\circ },6m\mathrm{\angle }11={22}^{\circ }$، أوجد قياس كلّ من الزوايا الآتية، واذكر المسلمات أو النظريات التي استعملتها:

12) $\angle 4$

22، مسلمة الزاويتين المتناظرتين.

13) $\angle 3$

22، مسلمة الزاويتين المتبادلتين خارجياً.

14) $\angle 2$

22، مسلمة الزاويتين المتبادلتين خارجياً ونظرية الزاويتين المتكاملتين.

15) $\angle 10$

162، نظرية الزاويتين المتكاملتين.

16) $\angle 5$

140، نظرية الزاويتين المتقابلتين بالرأس.

17) $\angle 1$

18، مسلمة الزاويتين المتبادلتين خارجياً.

طاقة شمسية: يجمع الطبق الشمسي الطاقة بتوجيه أشعة الشمس نحو مستقبِل يقع في بؤرة الطبق، مفترضاً أن أشعة الشمس متوازية، حدد العلاقة بين أزواج الزوايا الآتية، برر إجابتك:

18) $\angle 2 و \angle 1$

متكاملتان؛ لأنهما زاويتان متحالفتان.

19) $\angle 3 و \angle 1$

متطابقتان؛ لأنهما زاويتان متناظرتان.

20) $\angle 5 و \angle 4$

متطابقتان؛ لأنهما زاويتان متبادلتان خارجياً.

21) $\angle 4 و \angle 3$

متكاملتان؛ بما أن $\angle 5 و \angle 3$ متجاورتان على مستقيم فإنهما متكاملتان. $\angle 5 و \angle 4$ متطابقتان لأنهما زاويتان متبادلتان خارجياً، لذا فإن $\angle 3$ تكمل $\angle 4$.

أوجد قيمة كل متغير في الأشكال الآتية، برر إجابتك:

22)

x=40, y=50

23)

x=63

24)

x=54, y=12

إذا كان $m\parallel n$، فأوجد قيمة x في كلّ مما يأتي، وحدد المسلمة أو النظرية التي استعملتها:

25)

39، مسلمة الزاويتين المتبادلتين خارجياً.

26)

22، مسلمة الزاويتين المتناظرتين.

27)

63، مسلمة الزاويتين المتبادلتين داخلياً.

28) برهان: أكمل برهان النظرية 2.2

• المعطيات: $m\parallel n$، l قاطع للمستقيمين m,n.
• المطلوب: $\mathrm{\angle }1,\mathrm{\angle }2$ متكاملتان، $\mathrm{\angle }3,\mathrm{\angle }4$ متكاملتان.

البرهان:

$\mathrm{\angle }1,\mathrm{\angle }3$ متكاملتان، $\mathrm{\angle }2,\mathrm{\angle }4$ متكاملتان.

تمزين: عند تركيب الرفوف، تضاف دعامات جانبية متقاطعة، حدد العلاقة بين كل زوج من الزوايا فيما يأتي، برر إجابتك:

29) $\mathrm{\angle }8,\mathrm{\angle }1$

متطابقتان؛ زاويتان متبادلتان داخلياً.

30) $\mathrm{\angle }5 ,<1$

متطابقتان؛ زاويتان متناظرتان.

31) $\mathrm{\angle }6,\mathrm{\angle }3$

متطابقتان؛ زاويتان متقابلتان بالرأس.

32) $\mathrm{\angle }2,\mathrm{\angle }1$

متتامتان؛ لأن المستقيمين الرأسي والأفقي متعامدان ويشكلان زوايا قائمة.

33) برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين لنظرية الزاويتين المتبادلتين خارجياً، (نظرية 2.3).

34) برهان: أثبت أنه إذا كان مستقيم عمودياً على أحد مستقيمين متوازيين في مستوى، فإنه يكون عمودياً على الآخر، (نظرية 2.4).

• المعطيات: $t\perp m و m\parallel n$
• المطلوب: $t\perp n$

البرهان:

أوجد قيمة x في كلّ من الشكلين الآتيين: (إرشاد: ارسم مستقيماً مساعداً).

35)

22

36)

130

37) احتمالات: افترض أنك اخترت عشوائياً زوجاً من الزوايا في الشكل المجاور.

a) ما عدد الطرق الممكنة لاختيار زوج الزوايا؟ برر إجابتك.

إجابة ممكنة: يوجد 28 زوجاً من الزوايا، حيث يمكن تشكيل سبعة أزواج من الزوايا مع الزاوية الأولى، وستة أزواج من الزوايا مع الزاوية الثانية؛ لأنها شكلت زوجاً مع الزاوية الأولى، وهكذا فإن عدد أزواج الزوايا يساوي 1+2+3+4+5+6+7 أو 28 زوجاً.

b) صف العلاقات الممكنة بين زاويتي كل زوج، برر إجابتك.

إجابة ممكنة: توجد علاقتان ممكنتان بين أزواج الزوايا، فإذا اخترنا زاويتين، فإنهما إما متطابقتان أو متكاملتان.

c) أوجد احتمال اختيار زوج من الزوايا المتطابقة، برّر إجابتك.

12 زوجاً من الزوايا متطابقة، و16 زوجاً منها متكاملة؛ لذا فاحتمال أن تكون الزاويتان في زوج الزوايا متطابقتين هو $\frac{12}{28}$ أي $\frac{3}{7}$. بينما احتمال كونها متكاملتين هو $\frac{16}{28}$ اي $\frac{4}{7}$.

38) تمثيلات متعددة: ستبحث في هذه المسألة العلاقة بين الزوايا الخارجية الواقعة في الجهة نفسها.

a) هندسياً: ارسم خمسة أزواج من المستقيمات المتوازية $y و x,k و j,s و r,b و a,n و m$ يقطع كلاً منها قاطع t، ثم قس جميع الزوايا الناتجة، (يمكنك استخدام الآلة البيانية في هذا التمرين).

b) جدولياً: دوِّن بياناتك في جدول.

c) لفظياً: ضع تخميناً حول العلاقة بين الزاويتين الخارجيتين الواقعتين في جهة واحدة من القاطع.

الزاويتان الخارجيتان الواقعتان في جهة واحدة من القاطع متكاملتان.

d) منطقياً: ما نوع التبرير الذي استعملته لوضع تخمينك؟ برر إجابتك.

التبرير الاستقرائي؛ ثم استعمال نمط للوصول إلى النتيجة.

e) برهان: برهن تخمينك.

• المعطيات: المستقيمان m, n متوازيان ويقطعهما المستقيم t.
• المطلوب: $\mathrm{\angle }4,\mathrm{\angle }1$ متكاملتان.

البرهان: