تدرب وحل المسائل

أوجد قياس الزوايا المرقمة في كلّ من السؤالين الآتيين:

10)

60°

11)

$m\mathrm{\angle }1={59}^{\circ },m\mathrm{\angle }2={59}^{\circ },m\mathrm{\angle }3={99}^{\circ }$

12) طائرات: يمكن تمثيل خط الطيران في رحلة ما باستعمال ضلعي مثلث كما في النموذج أدناه، علماً بأن المسافة التي تقطعها الطائرة صعوداً تساوي المسافة التي تقطعها هبوطاً.

a) صنّف النموذج بحسب الأضلاع والزوايا.

متطابق الضلعين، منفرج الزاوية.

b) إذا كانت زاويتا الإقلاع والهبوط متطابقتين، فأوجد قياس كلّ منهما.

3.5°

أوجد كلاً من القياسات الآتية:

13)

نظرية الزاوية الخارجة عن المثلث.

$\mathrm{\angle }\mathbf{1}={27}^{\circ }+{52}^{\circ }={79}^{\circ }$

14)

نظرية الزاوية الخارجة عن المثلث.

$\begin{array}{rl}& 123=\mathrm{\angle }4+{90}^{\circ }\\ & \mathrm{\angle }4={123}^{\circ }-{90}^{\circ }={33}^{\circ }\end{array}$

15)

نظرية الزاوية الخارجة عن المثلث.

$\begin{array}{rl}& 148=(2x-15)+(x-5)\\ & 148=3x-20\\ & 148+20=3x\\ & 168=3x\\ & x={56}^{\circ }\\ & \mathrm{\angle }ABC=x-5=56-5={51}^{\circ }\end{array}$

أوجد كلاً من القياسات الآتية:

16) $m\mathrm{\angle }1$

62°

17) $m\mathrm{\angle }2$

39°

18) $m\mathrm{\angle }3$

26°

19) $m\mathrm{\angle }5$

55°

20) $m\mathrm{\angle }7$

55°

21) $m\mathrm{\angle }6$

35°

22) بستنة: استنبت مهندس زراعي زهور أقحوان في حوض على شكل مثلث متطابق الضلعين، إذا رغب المهندس في أن يكون قياس $\angle A$ ثلاثة أمثال قياس كلّ من $\angle C$, $\angle B$، فما قياس كل زاوية في هذا المثلث؟

$m\mathrm{\angle }\mathbf{A}={108}^{\circ },m\mathrm{\angle }\mathbf{B}=m\mathrm{\angle }\mathbf{C}={36}^{\circ }$

براهين: برهن كلاً مما يأتي مستعملاً طريقة البرهان المذكورة.

23) النتيجة 3.1 باستعمال البرهان التسلسلي:

المعطيات:

• $\mathrm{△}RST$
• $\angle R$ قائمة.

المطلوب: $\mathrm{\angle }S,\mathrm{\angle }T$ زاويتان متتامتان.

البرهان:

24) النتيجة 3.2 باستعمال البرهان الحر.

• المعطيات: $\mathrm{△}MNO$ فيه $\angle M$ قائمة.
• المطلوب: إثبات أنه يوجد زاوية قائمة واحدة على الأكثر في المثلث.
• البرهان: $\mathrm{△}MNO$ فيه $\angle M$ قائمة.

$m\mathrm{\angle }M={90}^{\circ }.m\mathrm{\angle }M+m\mathrm{\angle }N+m\mathrm{\angle }O={180}^{\circ }$، ولذلك فإن $m\mathrm{\angle }N+m\mathrm{\angle }O={90}^{\circ }$.

فإذا كانت N زاوية قائمة فسيكون $m\mathrm{\angle }O=0^{\circ }$ وهذا مستحيل. لذا لا يمكن أن يكون في المثلث زاويتان قائمتان.

أوجد قياس كلّ من الزوايا المرقمة فيما يأتي:

25)

$\begin{array}{rl}m\mathrm{\angle }3& ={55}^{\circ },m\mathrm{\angle }4={15}^{\circ },\\ m\mathrm{\angle }l& ={55}^{\circ },m\mathrm{\angle }2={75}^{\circ }\end{array}$

26)

$\begin{array}{c}m\mathrm{\angle }2={20}^{\circ },m\mathrm{\angle }1={65}^{\circ },\\ m\mathrm{\angle }3={95}^{\circ },m\mathrm{\angle }8={65}^{\circ },\\ m\mathrm{\angle }5={110}^{\circ },m\mathrm{\angle }4={40}^{\circ },\\ m\mathrm{\angle }6={45}^{\circ },m\mathrm{\angle }7={70}^{\circ }\end{array}$

27) جبر: صنّف المثلث في الشكل المجاور وفقاً لزواياه، وفسّر إجابتك.

منفرج الزاوية؛ مجموع قياسات الزوايا °180؛ لذا $(15x+1)+(6x+5)+(4x-1)={180}^{\circ }$، ولذلك فإن x=7، وبتعويض x=7 في العبارات الثلاث، نجد أن قياسات الزوايا الثلاث هي: 106°, °47,72°

28) قرّر ما إذا كانت العبارة الآتية صحيحة أم خطأ، واذكر مثالاً مضاداً لها إذا كانت خطأ، ودعّم استنتاجك إذا كانت صحيحة:

"إذا كان مجموع زاويتين حادتين في مثلث أكبر من 90، فإن المثلث حاد الزوايا"

صحيحة؛ إجابة ممكنة: بما أن مجموع قياسي الزاويتين الحادتين أكبر من °90، إذن قياس الزاوية الثالثة يساوي ° 180 ناقصاً عدداً أكبر من 90°، وسيكون ناتج الطرح أقل من 90° بالتأكيد، وعليه فإن زوايا هذا المثلث الثلاث حادة، وهو مثلث حادُّ الزوايا.

29) سيارات: انظر إلى الصورة المجاورة:

a) أوجد $m\mathrm{\angle }1,m\mathrm{\angle }2$.

$m\mathrm{\angle }1={141}^{\circ };m\mathrm{\angle }2={39}^{\circ }$

b) إذا قلَّ ارتفاع غطاء السيارة عن الارتفاع الذي يظهر في الصورة، فما أثر ذلك في $m\mathrm{\angle }1$؟ فسر إجابتك.

إجابة ممكنة: سيزداد قياس $m\mathrm{\angle }1$، لأن غطاء السيارة سيقترب من الضلع الآخر للمثلث المحاذي لرفرف السيارة.

c) إذا قلَّ ارتفاع غطاء السيارة عن الارتفاع الذي يظهر في الصورة، فما أثر ذلك في $m\mathrm{\angle }2$؟ فسر إجابتك.

إجابة ممكنة: سيقل قياس $m\mathrm{\angle }2$، لأن قياس $m\mathrm{\angle }1$ سيزداد؛ ولأن هاتين الزاويتين متجاورتان على مستقيم.

برهان: برهن كلاً مما يأتي باستعمال طريقة البرهان المذكورة:

30) برهان ذو عمودين:

• المعطيات: RSTUV شكل خماسي.
• المطلوب: $m\mathrm{\angle }S+m\mathrm{\angle }STU+m\mathrm{\angle }TUV+m\mathrm{\angle }V+m\mathrm{\angle }VRS={540}^{\circ }$.

البرهان:

31) برهان تسلسلي:

• المعطيات: $\mathrm{\angle }3\cong \mathrm{\angle }5$
• المطلوب: $m\mathrm{\angle }l+m\mathrm{\angle }2=m\mathrm{\angle }6+m\mathrm{\angle }7$

البرهان:

32) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة ستستكشف مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمثلث.

a) هندسياً: ارسم خمسة مثلثات مختلفة، ومد الأضلاع وسمّ الزوايا كما في الشكل المجاور، على أن يكون ضمن المثلثات التي رسمتها على الأقل مثلث منفرج الزاوية، وآخر قائم الزاوية، ومثلث حاد الزوايا.

b) جدولياً: قس الزوايا الخارجية لكل مثلث، وسجِّل القياسات ومجموعها لكل مثلث في جدول.

c) لفظياً: خمّن مجموع الزوايا الخارجية للمثلث، واكتب تخمينك.

إجابة ممكنة: مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمثلث يساوي °360.

d) جبرياً: عبّر عن التخمين الذي وصلت إليه في الجزء c جبرياً.

$m\mathrm{\angle }1+m\mathrm{\angle }2+m\mathrm{\angle }3={360}^{\circ }$

e) تحليلياً: اكتب برهاناً حراً لإثبات التخمين الذي توصلت إليه.

نظرية الزاوية الخارجية تخبرنا أن:

$m\mathrm{\angle }3=m\mathrm{\angle }BAC+m\mathrm{\angle }BCA$ وأن:

$m\mathrm{\angle }2=m\mathrm{\angle }BAC+m\mathrm{\angle }CBA,m\mathrm{\angle }l=m\mathrm{\angle }CBA+m\mathrm{\angle }BCA$ بالتعويض:

$\begin{array}{rl}& m\mathrm{\angle }1+m\mathrm{\angle }2+m\mathrm{\angle }3=m\mathrm{\angle }CBA+m\mathrm{\angle }BCA+m\mathrm{\angle }BAC+m\mathrm{\angle }CBA+m\mathrm{\angle }BAC+m\mathrm{\angle }BCA\end{array}$

ويمكن تبسيط هذه المعادلة بالشكل التالي:

$m\mathrm{\angle }1+m\mathrm{\angle }2+m\mathrm{\angle }3=2m\mathrm{\angle }CBA+2m\mathrm{\angle }BCA+2m\mathrm{\angle }BAC$

وباستعمال خاصية التوزيع ينتج:

$m\mathrm{\angle }1+m\mathrm{\angle }2+m\mathrm{\angle }3=2(m\mathrm{\angle }CBA+m\mathrm{\angle }BCA+m\mathrm{\angle }BAC)$

ونظرية مجموع قياسات زوايا المثلث تخبرنا أن:

$m\mathrm{\angle }CBA+m\mathrm{\angle }BCA+m\mathrm{\angle }BAC={180}^{\circ }$ وبالتعويض ينتج أن:

$m\mathrm{\angle }1+m\mathrm{\angle }2+m\mathrm{\angle }3=2\left(180\right)={360}^{\circ }$