تدرب وحل المسائل

في كل من السؤالين الآتيين، بين أن المضلعين متطابقان بتعيين جميع العناصر المتناظرة المتطابقة، ثم اكتب عبارة التطابق.

8)

$\begin{array}{r}\mathrm{\angle }R\cong \mathrm{\angle }J,\mathrm{\angle }T\cong \mathrm{\angle }K,\mathrm{\angle }S\cong \mathrm{\angle }L\\ \overline{RT}\cong \overline{JK},\overline{TS}\cong \overline{KL},\overline{RS}\cong \overline{JL}\\ \mathrm{△}RTS\cong \mathrm{△}JKL\end{array}$

9)

$\begin{array}{r}\mathrm{\angle }A\cong \mathrm{\angle }F,\mathrm{\angle }B\cong \mathrm{\angle }J,\mathrm{\angle }C\cong \mathrm{\angle }I\\ \mathrm{\angle }D\cong \mathrm{\angle }H,\mathrm{\angle }E\cong \mathrm{\angle }G,\overline{AB}\cong \overline{FJ}\\ \overline{BC}\cong \overline{JI},\overline{CD}\cong \overline{IH},\overline{DE}\cong \overline{HG}\\ \overline{AE}\cong \overline{FG}\end{array}$

المضلع $\cong FJIHG$ المضلع ABCDE

إذا كان المضلع $\cong BCDE$ المضلع RSTU، فأوجد قيمة كل مما يأتي:

10) x

20

11) y

42

12) z

3

13) w

10

أوجد قيمة كل من x, y في الأسئلة الآتية:

14)

x=45, y=45

15)

x=4, y=2

16)

x=4, y=1

17) برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين للنظرية 3.3.

المعطيات: $\mathrm{\angle }A\cong \mathrm{\angle }D,\mathrm{\angle }B\cong \mathrm{\angle }E$

المطلوب: $\mathrm{\angle }C\cong \mathrm{\angle }F$

البرهان:

18) برهان: رتّب العبارات المستعملة في برهان العبارة الآتية ترتيباً صحيحاً، وقدم تبريراً لكل عبارة.

"تطابق المثلثات علاقة تماثل". (النظرية 3.4)

• المعطيات: $\mathrm{△}RST\cong \mathrm{△}XYZ$
• المطلوب: $\mathrm{△}XYZ\cong \mathrm{△}RST$

البرهان:

19) برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين:

المعطيات:

• $\overline{BD}$ تنصف$\angle B$.

• $\overline{BD}\perp \overline{AC}$

المطلوب: $\mathrm{\angle }A\cong \mathrm{\angle }C$

البرهان:

برهان: اكتب برهاناُ من النوع المذكور لكل جزء من النظرية 3.4.

20) تطابق المثلثات علاقة تعدّ. (برهان حر)

• المعطيات: $\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}DEF,\mathrm{△}DEF\cong \mathrm{△}GHI$
• المطلوب: $\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}GHI$

البرهان:

نعلم أن $\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}DEF$، ولأن العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين تكون متطابقة إذن: $\mathrm{\angle }A\cong \mathrm{\angle }D,\mathrm{\angle }B\cong \mathrm{\angle }E,\mathrm{\angle }C\cong \mathrm{\angle }F$، $\overline{AB}\cong \overline{DE},\overline{BC}\cong \overline{EF},\overline{AC}\cong \overline{DF}$، نعلم أن $\mathrm{△}DEF\cong \mathrm{△}GHI$، لذا $\mathrm{\angle }D\cong \mathrm{\angle }G,\mathrm{\angle }E\cong \mathrm{\angle }H,\mathrm{\angle }F\cong \mathrm{\angle }I,\overline{DE}\cong \overline{GH},\overline{EF}\cong \overline{HI}$، $\overline{DF}\cong \overline{GI}$ لأن العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين تكون متطابقة وعليه فإن: $\text{؛}\mathrm{\angle }A\cong \mathrm{\angle }G,\mathrm{\angle }B\cong \mathrm{\angle }H,\mathrm{\angle }C\cong \mathrm{\angle }I,\overline{AB}\cong \overline{GH},\overline{BC}\cong \overline{HI},\overline{AC}\cong \overline{GI}$ لأن تطابق الزوايا والقطع المستقيمة يحقق خاصية التعدي، وبهذا يكون $\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}GHI$ من تعريف المثلثين المتطابقين.

21) تطابق المثلثات علاقة انعكاس. (برهان تسلسلي)

المعطيات: $\mathrm{△}DEF$

المطلوب: $\mathrm{△}DEF\cong \mathrm{△}DEF$

البرهان:

جبر: ارسم شكلاً يمثل المثلثين المتطابقين في كلّ من السؤالين الآتيين وسمّه، ثم أوجد قيمة x, y.

22) $\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}DEF,AB=7,BC=25,AC=11+x,DF=3x-13,DE=2y-5$

23) $\mathrm{△}LMN\cong \mathrm{△}RST,m\mathrm{\angle }L={49}^{\circ },m\mathrm{\angle }M=(10y{)}^{\circ },m\mathrm{\angle }S={70}^{\circ },m\mathrm{\angle }T=(4x+9{)}^{\circ }$

24) رايات: في مهرجان رياضي، كان سعيد مسؤولاً عن إحاطة منطقة مساحتها 100ft²، مخصصة لجلوس المعلقين والإعلاميين، فاستعمل حبلاً وثبت عليه رايات على شكل مثلثات متطابقة، كلٌّ منها متطابق الضلعين.

a) اكتب سبعة أزواج من القطع المستقيمة المتطابقة في الصورة.

$\begin{array}{r}\overline{AB}\cong \overline{CB},\\ \overline{AB}\cong \overline{DE},\\ \overline{AB}\cong \overline{FE},\\ \overline{CB}\cong \overline{DE},\\ \overline{CB}\cong \overline{FE},\overline{DE}\cong \overline{FE},\\ \overline{AC}\cong \overline{DF}\end{array}$

b) إذا كانت المنطقة التي حوَّطها سعيد بحبل الرايات مربعة الشكل، فكم سيكون طول الحبل؟

40ft

c) ما عدد الرايات المثبتة بالحبل؟

80

25) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة ستكتشف العلاقة بين مساحات المضلعات المتطابقة:

a) لفظياً: اكتب عبارة شرطية تمثل العلاقة بين مساحتي مثلثين متطابقين.

إذا تطابق مثلثان، فإن مساحتيهما متساويتان.

b) لفظياً: اكتب عكس عبارتك الشرطية، وهل العبارة العكسية صحيحة أم خطأ؟ وضح تبريرك.

إذا تساوت مساحتا مثلثين، فإن المثلثين متطابقان، خطأ؛ فإذا كانت قاعدة مثلث 2 وارتفاعه 6، وكانت قاعدة مثلث آخر 3 وارتفاعه 4، فإن مساحتيهما متساويتان، ولكن هذين المثلثين غير متطابقين.

c) هندسياً: ارسم - إن أمكن - مستطيلين لهما المساحة نفسها، ولكنّهما غير متطابقين، وإذا كان ذلك غير ممكن فوضح السبب.

نعم يمكن؛ إجابة ممكنة:

d) هندسياً: ارسم - إن أمكن - مربعين لهما المساحة نفسها، ولكنّهما غير متطابقين، وإذا كان ذلك غير ممكن فوضح السبب.

لا يمكن؛ لأن المربعين اللذين لهما المساحة نفسها يكون لأضلاعهما الطول نفسه وهو الجذر التربيعي للمساحة، فإذا كانت المساحتان متساويتين يكون المربعان متطابقين لأن أضلاعهما متطابقة وزواياهما متطابقة.

26) أنماط: صمم النمط المجاور باستعمال مضلعات منتظمة.

a) ما المضلعان المنتظمان اللذان استعملا في التصميم؟

المضلع السداسي المنتظم والمثلث المتطابق الأضلاع.

b) سمّ زوجاً من المثلثات المتطابقة.

$\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}DEC$

c) سمّ زوجاً من الزوايا المتطابقة.

$\mathrm{\angle }B\cong \mathrm{\angle }E$

d) إذا كان CB=2in، فكم يكون AE؟ وضّح إجابتك.

4in، إجابة ممكنة: لأن المضلعات التي صمِّم منها النمط منتظمة، فأطوال أضلاع المثلثات جميعها متطابقة، وهذا يعني أن:

CB=AC, CB=CE، لذا فإن:

(CB)AE=2

AE=4in

e) ما قياس $\mathrm{\angle }EDC$؟ وضح إجابتك.

60°، إجابة ممكنة: لأن جميع مثلثات النمط منتظمة، فهي مثلثات متطابقة الأضلاع ومتطابقة الزوايا، وكل زاوية في أي مثلث تساوي °60.