تدرب وحل المسائل

أوجد كل قياس مما يأتي:

9) NP

14

10) PS

9

11) KL

6

12) مدرسة: يتكون مجمع مدارس من مدرسة ابتدائية E ومدرسة متوسطة M ومدرسة ثانوية H في المواقع المبينة في الصورة المجاورة، انسخ مواقع النقاط E,M,H في دفترك، ثم عين موقع موقف الحافلات، على أن يكون على أبعاد متساوية من المدارس الثلاث.

النقطة D مركز الدائرة التي تمر برؤوس $△ABC$، اكتب القطعة المستقيمة التي تطابق القطعة المعطاة في كل سؤال مما يأتي:

13) $\overline{AD}$

$\overline{CD},\overline{BD}$

14) $\overline{AH}$

$\overline{BH}$

أوجد قياس كل مما يأتي:

15) AF

11

16) $\angle DBA$

17°

17) PN

30

إذا كانت النقطة P مركز الدائرة الداخلية ل $△AEC$، فأوجد كلاً من القياسات الآتية:

18) PB

7.1 تقريباً.

19) DE

13.1 تقريباً.

20) $\angle DAC$

33°

21) $\angle DEP$

28.5°

22) تصميم داخلي: توضع زهرية فضية عند مركز سطح الطاولة المبينة في الشكل أدناه، بحيث تكون على أبعاد متساوية من حوافه، انسخ الرسم المجاور في دفترك، وبين أين ستضع الزهرية، وضح إجابتك.

أوجد نقطة تلاقي منصفات زوايا المثلث، التي تمثل مركز الدائرة الداخلية للمثلث، وتبعد أبعاداً متساوية عن أضلاع المثلث.

حدد ما إذا كانت المعطيات في كل شكل مما يأتي كافية لإيجاد قيمة x، وضح إجابتك.

23)

لا؛ يجب أن تعرف ما إذا كانت القطعتان عموديتين على ضلعي الزاوية.

24)

لا؛ يجب أن تعرف ما إذا كانت القطعتان العموديتان على ضلعي الزاوية متساويتين أم لا.

25)

لا؛ يجب أن تعرف ما إذا كان منصف القطعة عمودياً عليها.

26)

لا؛ يجب أن تعرف ما إذا كان الوتران متساويان أم لا.

برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين لكلّ من النظريتين الآتيتين:

27) النظرية 4.2

• المعطيات: $\overline{CA}\cong \overline{CB},\overline{AD}\cong \overline{BD}$
• المطلوب: النقطتان C,D تقعان على العمود المنصف $\overline{AB}$.

البرهان:

العبارات(المبررات):

1. $\overline{CA}\cong \overline{CB},\overline{AD}\cong \overline{BD}$ (معطى).
2. $\overline{CD}\cong \overline{CD}$ (خاصية الانعكاس لتطابق القطع المستقيمة).
3. $\left(SSS\right)\mathrm{△}ACD\cong \mathrm{△}BCD$
4. $\mathrm{\angle }ACD\cong \mathrm{\angle }BCD$ (العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين متطابقة).
5. $\overline{CE}\cong \overline{CE}$ (خاصية الانعكاس لتطابق القطع المستقيمة).
6. $\left(SAS\right)\mathrm{△}CEA\cong \mathrm{△}CEB$
7. $\overline{AE}\cong \overline{BE}$ (العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين متطابقة).
8. E نقطة منتصف $\overline{AB}$ (نظرية نقطة المنتصف).
9. $\mathrm{\angle }CEA\cong \mathrm{\angle }CEB$ (العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين متطابقة).
10. $\mathrm{\angle }CEB,\mathrm{\angle }CEA$ متجاورتان على مستقيم (تعريف الزاويتين المتجاورتين على مستقيم).
11. $\mathrm{\angle }CEB,\mathrm{\angle }CEA$ متكاملتان (نظرية الزاويتين المتجاورتين على مستقيم).
12. $m\mathrm{\angle }CEA+m\mathrm{\angle }CEB=180$ (تعريف التكامل).
13. $m\mathrm{\angle }CEA+m\mathrm{\angle }CEA=180$ (بالتعويض).
14. $2m\mathrm{\angle }CEA=180$ (بالتعويض).
15. $m\mathrm{\angle }CEA=90$ (خاصية القسمة).
16. $\mathrm{\angle }CEB,\mathrm{\angle }CEA$ قائمتان (تعريف الزاوية القائمة).
17. $\overline{CD}\perp \overline{AB}$ (تعريف المستقيمين المتعامدين).
18. $\overline{CD}$ عمود منصف ل $\overline{AB}$ (تعريف العمود المنصف).
19. C وD واقعتان على العمود المنصف ل $\overline{AB}$ (أي نقطتين يمر بهما مستقيم واحد فقط).

28) النظرية 4.6

المعطيات:

• $\overline{AD},\overline{BE},\overline{CF}$ منصفات لزوايا $△ABC$.

• $\overline{KP}\perp \overline{AB},\overline{KQ}\perp \overline{BC}$

• $\overline{KR}\perp \overline{AC}$

المطلوب: KP=KQ=KR

البرهان:

العبارات (المبررات):

1. $\overline{CF},\overline{BE},\overline{AD}$ منصفات لزوايا $\overline{KP}\perp \overline{AB}،\mathrm{△}ABC$ ، $\overline{KR}\perp \overline{AC},\overline{KQ}\perp \overline{BC}$ (معطيات).
2. KP=KQ، KQ=KR، KP=KR (كل نقطة على منصّف الزاوية تكون على بعدين متساويين من ضلعي الزاوية).
3. KP=KQ=KR (خاصية التعدي).

برهان: اكتب برهاناً حراً لكلّ من النظريتين الآتيتين:

29) النظرية 4.1

المعطيات:

• $\overleftrightarrow{CD}$ عمود منصف ل $\overline{AB}$.
• E نقطة على $\overline{CD}$

• المطلوب: EA=EB
• البرهان: $\overline{CD}$ عمود منصف ل $\overline{AB}$ ومن تعريف المنصف، فإن D نقطة منتصف $\overline{AB}$ لذلك $\overline{AD}\cong \overline{BD}$ بحسب نظرية نقطة المنتصف.

$\mathrm{\angle }CDA,\mathrm{\angle }CDB$ قائمتان بحسب تعريف العمود، وبما أن جميع الزوايا القائمة متطابقة إذاً $\mathrm{\angle }CDA\cong \mathrm{\angle }CDB$، وبما أن E نقطة على $\overline{CD}$ فإن $\mathrm{\angle }EDA,\mathrm{\angle }EDB$ قائمتان ومتطابقتان. وحسب خاصية الانعكاس $\overline{ED}\cong \overline{ED}$ إذاً $\mathrm{△}EDA\cong \mathrm{△}EDB$ بحسب SAS وتكون $\overline{EA}\cong \overline{EB}$ لأن العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين متطابقة، ومن تعريف التطابق ينتج أن EA=EB.

30) النظرية 4.5

المعطيات:

• P نقطة داخل $\angle BAC$
• بعد النقطة P عن $\overline{AB}$ يساوي بعدها عن $\overline{AC}$

• المطلوب: $\overrightarrow{AP}$ منصف ل $\angle BAC$
• البرهان: النقط P تقع داخل الزاوية BAC للمثلث BAC، وPD=PE ومن تعريف التطابق $\overline{PD}\cong \overline{EP}$، وبما أن PD هي بعد النقطة P عن $\overline{AB}$ فإن: $,\overline{PD}\perp \overline{AB}$ وبالمثل PE هي بعد النقطة P عن $\overline{AC}$، فإن $\overline{PE}\perp \overline{AC}$، لأن المسافة من نقطة إلى مستقيم تقاس على القطعة المستقيمة العمودية على المستقيم من النقطة وبذلك تكون الزاويتان $\mathrm{\angle }AEP,\mathrm{\angle }ADP$ قائمتين بحسب تعريف المستقيمين المتعامدين، والمثلثان ADP وAEP قائما الزاوية بحسب تعريف المثلث القائم الزاوية، وبحسب خاصية الانعكاس $\overline{AP}\cong \overline{AP}$، إذاً المثلثان ADP, AEP متطابقان بحسب HL. $\mathrm{\angle }DAP\cong \mathrm{\angle }EAP.HL$ لأن العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين تكون متطابقة، و $\overrightarrow{AP}$ منصف ل $\angle BAC$ بحسب تعريف منصف الزاوية.

31) اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة العمود المنصِّف للقطعة المستقيمة التي إحداثيا نقطتي طرفيها هما (4,3)A, (-3,1)B، ووضح إجابتك.

$y=-\frac{7}{2}x+\frac{15}{4}$، العمود المنصف لقطعة مستقيمة يمر بمنتصفها، ونقطة المنتصف هي $\left(\frac{1}{2},2\right)$.

وميل القطعة المستقيمة يساوي $\frac{2}{7}$ لذلك فميل العمود المنصف يساوي $-\frac{7}{2}$.

32) برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين للنظرية 4.4.

المعطيات:

• $\overrightarrow{PX}$ تنصف $\angle QPR$
• $\overline{XY}\perp \overline{PQ},\overline{XZ}\perp \overline{PR}$

المطلوب: إثبات أن XY=XZ

البرهان:

33) هندسة إحداثية: أوجد إحداثيَّي مركز الدائرة الخارجية للمثلث الذي إحداثيات رؤوسه هي A(0, 0), B(0, 6), C(10, 0)، وضح إجابتك.

معادلة أحد الأعمدة المنصفة هي y=3، ومعادلة عمود منصف آخر x=5، ويتقاطع هذان العمودان عند النقطة (5,3) لذلك فمركز الدائرة الخارجية للمثلث يقع عند النقطة (5,3).

34) المحل الهندسي: انظر إلى القطعة المستقيمة $\overline{CD}$ وصف مجموعة النقاط في الفضاء التي يبعد كلٌّ منها بعدين متساويين عن C,D.

مستوى يعامد المستوى الذي تقع فيه القطعة $\overline{CD}$ وينصف $\overline{CD}$.