توسع: الأسس النسبية

١أ) ما الذي تلاحظه في أثناء دراستك الجدول حول قيمة العبارة التي على الصورة أ^{$\frac{\mathrm{١}}{ن}$}؟

أ^{$\frac{\mathrm{١}}{ن}$}$\sqrt[ن]{أ}$ =

١ب) ما الذي تلاحظه حول قيمة العبارة على الصورة أ^{$\frac{م}{ن}$}؟

أ^{$\frac{م}{ن}$} = $\sqrt[ن]{{أ}^{م}}$

تمارين:

١) تذكر خاصية قوة القوة لأي عدد حقيقي أ، وأي عددين صحيحين م، ن، (أم)ن = (أم×ن).

افترض أن الأسس الكسرية تعامل أسس الأعداد الكلية، أوجد قيمة (ب$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$)٢

(ب^{$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$})^٢ = ب^{$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$×٢}

= ب^١ = ب

لذا، فإن ب$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ هو عدد مربعه يساوي ب؛ لذا فمن الممكن تعريف ب$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ = $\sqrt{ب}$، استعمل طريقة مشابهة لتعريف ب$\frac{\mathrm{١}}{ن}$

(ب^{$\frac{\mathrm{١}}{ن}$})^ن =ب^{$\frac{\mathrm{١}}{ن}$×ن}

= ب^١ = ب

ب^{$\frac{\mathrm{١}}{ن}$} = $\sqrt[ن]{ب}$

٢) عرف ب^{$\frac{م}{ن}$}, برر إجابتك.

ب^{$\frac{م}{ن}$} = $\sqrt[ن]{{ب}^{م}}$ أو ب^{$\frac{\mathrm{١}}{ن}$}= ($\sqrt[ن]{ب}$)^م

ب^{$\frac{م}{ن}$} = (ب^{$\frac{\mathrm{١}}{ن}$})^م

= ($\sqrt[ن]{ب}$)^م

⁼ (ب^م)^{$\frac{\mathrm{١}}{ن}$} خاصية القوة.

= $\sqrt[ن]{{ب}^{م}}$ الأسس النسبية.

اكتب كل جذر فيما يأتي على صورة عبارة أسية باستعمال الأسس النسبية، ثم أوجد قيمتها:

٣) $\sqrt{\mathrm{٣٦}}$

$\sqrt{\mathrm{٣٦}}$ = ٣٦^{$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$} = ٦

٤) $\sqrt{\mathrm{١٢١}}$

$\sqrt{\mathrm{١٢١}}$ =١٢١^{$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$} = ١١

٥) $\sqrt[\mathrm{٤}]{\mathrm{٢٥٦}}$

$\sqrt[\mathrm{٤}]{\mathrm{٢٥٦}}$ = ٢٥٦^{$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$} = ٤

٦) $\sqrt[\mathrm{٥}]{\mathrm{٣٢}}$

$\sqrt[\mathrm{٥}]{\mathrm{٣٢}}$ = ٣٢^{$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}$} = ٢

٧) $\sqrt[\mathrm{٣}]{{\mathrm{٨}}^{\mathrm{٢}}}$

$\sqrt[\mathrm{٣}]{{\mathrm{٨}}^{\mathrm{٢}}}$ = ٨^{$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$} = ٢

٨) $\sqrt[\mathrm{٤}]{\mathrm{١٢٩٦}}$

$\sqrt[\mathrm{٤}]{\mathrm{١٢٩٦}}$ = ١٢٩٦^{$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$} = ٦

٩) $\sqrt[\mathrm{٤}]{{\mathrm{١٦}}^{\mathrm{٣}}}$

$\sqrt[\mathrm{٤}]{{\mathrm{١٦}}^{\mathrm{٣}}}$ = ١٦^{$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$} = ٨

١٠) $\sqrt[\mathrm{٣}]{{\mathrm{٨}}^{\mathrm{٣}}}$

$\sqrt[\mathrm{٣}]{{\mathrm{٨}}^{\mathrm{٣}}}$ = ٨^{$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٣}}$} = ٨