تدرب وحل المسائل

أنشئ القطعة المستقيمة التي تمثل البعد في كل مما يأتي:

9) البعد بين A و$\overleftrightarrow{CB}$.

10) البعد بين K و$\overleftrightarrow{ML}$.

11) مدرسة: يعبر راشد الساحة الأمامية لمدرسته، حيث يوجد ثلاثة ممرات ممكنة مبينة في الشكل المجاور، أي الممرات الثلاثة هو الأقصر؟ وضح تبريرك.

الممر B هو أقصر هذه الممرات الثلاثة، إذ إن المسافة العمودية هي أقصر مسافة من أحد جانبي الساحة إلى الجانب الآخر، وبما أن الزاوية التي يصنعها الممر B هي الأقرب إلى °90، فإن الممر B هو أقصرها.

هندسة إحداثية: أوجد البعد بين النقطة P والمستقيم L في كل مما يأتي:

12) يمر المستقيم L بالنقطتين (7,4),(3-,0)، وإحداثيا النقطة P هما (4,3).

$\sqrt{2}$ وحدة.

13) يمر المستقيم L بالنقطتين (4,1),(2,1-)، وإحداثيا النقطة P هما (5,7).

6 وحدات.

14) يمر المستقيم L بالنقطتين (3,1),(8,1-)، وإحداثيا النقطة P هما (2,4-).

3 وحدات.

أوجد البعد بين كل مستقيمين متوازيين فيما يأتي:

15)

• y=-2

• y=4

6 وحدات.

16)

• x=3

• x=7

4 وحدات.

17)

• $\begin{array}{rl}& y=\frac{1}{3}x-3\\ & y=\frac{1}{3}x+2\end{array}$
• $\frac{3\sqrt{10}}{2}\simeq 4.74$ وحدة.

18)

• y=15

• y=-4

19 وحدة.

19)

• 3x+y=3

• y+17=-3x

$2\sqrt{3}$ وحدة.

20)

• $\begin{array}{c}y=-\frac{5}{4}x+3.5\\ 4y+10.6=-5x\end{array}$
• $\frac{3\sqrt{41}}{5}\simeq 3.84$ وحدة.

21) برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين للنظرية 2.9.

المعطيات: l متساوي البعد عن m، وn متساوي البعد عن m.

المطلوب: $\ell \parallel n$

البرهان:

أوجد البعد بين المستقيم والنقطة في كلّ مما يأتي:

22) y=-3, (5, 2)

5 وحدات.

23) $y=\frac{1}{6}x+6,(-6,5)$

0 وحدة.

24) x=4, (-2, 5)

6 وحدات.

25) ملصقات: يعلق شاكر ملصقين على حائط غرفته كما هو مبين في الشكل، كيف يمكن له أن يستعمل البعد بين مستقيمين؛ ليتأكد أن حافتي الملصقين متوازيتان؟

يمكن أن يقيس شاكر المسافة العمودية بين الملصقين في مكانين مختلفين، ويكون الملصقان متوازيين، إذا كانت المسافات بينهما متساوية.

إنشاءات هندسية: يمر المستقيم L بالنقطتين (3-,2),(4,3-)، والنقطة (2,1-)P تقع على المستقيم L، تتبع الخطوات أدناه وأجب عما يأتي:

26) ضع تخميناً للعلاقة بين المستقيمين L و$\overleftrightarrow{PQ}$؟ أثبت تخمينك باستعمال ميلي المستقيمين.

المستقيمان متعامدان، وميل L يساوي 1- وميل $\overleftrightarrow{PQ}$ يساوي 1، وبما أن ناتج ضرب الميلين يساوي 1-، إذاً المستقيمان متعامدان.

27) كرر النشاط أعلاه باستعمال مستقيم آخر ونقطة عليه.

متروك للطالب.

28) هندسة إحداثية: ميل $\overleftrightarrow{AB}$ يساوي 2، ونقطة منتصفها (3,2)M، ونقطة منتصف قطعة مستقيمة أخرى عمودية على $\overleftrightarrow{AB}$ وهي (1-,4)P، ولها نقطة الطرف B نفسها.

a) مثل القطعتين المستقيمتين بيانياً.

b) أوجد إحداثيات A,B.

A(4, 4), B(2, 0)

29) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة، سوف تستكشف مساحات مثلثات متكونة من نقاط على مستقيمين متوازيين.

a) هندسياً: ارسم مستقيمين متوازيين، وسمهما كما في الشكل المجاور.

متروك للطالب.

b) لفظياً: أين تضع النقطة C على المستقيم m، حتى يكون للمثلث ABC أكبر مساحة؟ وضح تبريرك.

ضع النقطة C عند أي مكان على المستقيم m، فمساحة المثلث تساوي نصف طول القاعدة مضروباً في الارتفاع، ويبقى هذان العددان ثابتين أينما كان موقع النقطة C.

c) تحليلياً: إذا كان AB=11cm، فما القيمة العظمى لمساحة المثلث ABC؟

16.5 cm^2.