تدرب وحل المسائل

برهان: اكتب برهاناً من النوع المذكور في كلّ من السؤالين الآتيين:

5) برهان حر.

المعطيات:

$\begin{array}{rl}& \overline{QR}\cong \overline{SR}\\ & \overline{ST}\cong \overline{QT}\end{array}$

المطلوب:

$\mathrm{△}QRT\cong \mathrm{△}SRT$

البرهان:

نعلم أن $\overline{QR}\cong \overline{SR},\overline{ST}\cong \overline{QT}$ وبحسب خاصية الانعكاس $\overline{RT}\cong \overline{RT}$ وبما أن $\overline{QR}\cong \overline{SR},\overline{ST}\cong \overline{QT},\overline{RT}\cong \overline{RT}$، فإن $\mathrm{△}QRT\cong \mathrm{△}SRT$ بحسب SSS.

6) برهان ذو عمودين.

المعطيات:

• $\overline{AB}\cong \overline{ED},\overline{CA}\cong \overline{CE}$

• $\overline{AC}$ تنصف $\overline{BD}$

المطلوب:

$\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}EDC$

البرهان:

7) جسور: جسر الرياض المعلق طوله 763 m، وهو مثبت بحبال معدنية معلقة بدعامتين خرسانيتين، كما هو مبين بالشكل، بحيث يلتقي الحبلان المعدنيان العلويان في النقطة C عند منتصف المسافة بين الدعامتين، إذا كانت AB=ED فأثبت أن المثلثين المبينين في الشكل المجاور متطابقان.

المعطيات:

• $\overline{BA}\perp \overline{BD},\overline{DE}\perp \overline{BD},\overline{AB}\cong \overline{ED}$
• C نقطة منتصف $\overline{BD}$

المطلوب: $\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}EDC$

البرهان:

حدد ما إذا كان $\mathrm{△}MNO\cong \mathrm{△}QRS$ في كلّ من السؤالين الآتيين، ووضح إجابتك:

8) M(2, 5), N(5, 2), O(1, 1), Q(-4, 4), R(-7, 1), S(-3, 0)

$\begin{array}{rl}& MN=\sqrt{18},NO=\sqrt{17}\\ & MO=\sqrt{17},QR=\sqrt{18}\\ & RS=\sqrt{17},QS=\sqrt{17}\end{array}$

بما أن كل ضلعين من الأضلاع المتناظرة متساويان في الطول فإنهما متطابقان، إذن $\mathrm{△}MNO\cong \mathrm{△}QRS$ بحسب SSS.

9) M(0, -1), N(-1, -4), O(-4, -3), Q(3, -3), R(4, -4), S(3, 3)

$MN=\sqrt{10},OR=\sqrt{2}$, $RS=\sqrt{50},QS=6$، بما أن $\overline{MN}$ في المثلث الأول لا يطابق أي ضلع في المثلث الثاني، إذن يوجد ضلعان متناظران غير متطابقين، فالمثلثين غير متطابقين، وبذلك يمكن أن نكتفي بحساب طولي ضلعين متناظرين غير متطابقين.

برهان: اكتب برهاناً من النوع المحدد في كلّ من السؤالين الآتيين:

10) برهان ذو عمودين.

المعطيات:

• $\overline{BD}\perp \overline{AC}$

• $\overline{BD}$ تنصف $\overline{AC}$

المطلوب: $\mathrm{△}ABD\cong \mathrm{△}CBD$

البرهان:

11) برهان حر.

المعطيات: R نقطة المنتصف لكل من $\overline{QS},\overline{PT}$

المطلوب: $\mathrm{△}PRQ\cong \mathrm{△}TRS$

البرهان:

بما أن R نقطة منتصف لكل من $\overline{QS},\overline{PT}$، إذن $\overline{PR}\cong \overline{RT}$ و $\overline{RQ}\cong \overline{RS}$ من نظرية نقطة المنتصف، وكذلك $\mathrm{\angle }PRQ\cong \mathrm{\angle }TRS$ بحسب نظرية الزاويتين المتقابلتين بالرأس؛ إذن $\mathrm{△}PRQ\cong \mathrm{△}TRS$ بحسب SAS.

12) برهان: اكتب برهاناً تسلسلياً.

• المعطيات: $L،\overline{JM}\cong \overline{NK}$ نقطة منتصف لكل من $\overline{JN},\overline{KM}$.
• المطلوب: $\mathrm{\angle }MJL\cong \mathrm{\angle }KNL$

البرهان:

حدد ما إذا كان المثلثان في كلّ من الأسئلة الآتية متطابقين أم لا، وضح إجابتك.

13)

SSS

14)

غير ممكن.

15)

SAS

16) إشارة تحذيرية: استعمل الشكل المجاور.

a) ما اسم المجسم الذي تمثله إشارة التحذير.

هرم.

b) إذا كان $\overline{AB}\cong \overline{AD},\overline{CB}\cong \overline{CD}$، فأثبت أن $\mathrm{△}ACB\cong \mathrm{△}ACD$.

• المعطيات: $\overline{AB}\cong \overline{AD},\overline{CB}\cong \overline{DC}$
• المطلوب: $\mathrm{△}ACB\cong \mathrm{△}ACD$

البرهان:

c) لماذا يبدو المثلثان غير متطابقين في الشكل؟

إجابة ممكنة: المجسم ثلاثي الأبعاد، ولذا عندما يتم رسمه في المستوى الثنائي الأبعاد يظهر وكأن المثلثين مختلفان.

17) برهان: اكتب برهاناً تسلسلياً.

• المعطيات: $\begin{array}{r}\mathrm{△}TPQ\cong \mathrm{△}SPR\\ \mathrm{\angle }TQR\cong \mathrm{\angle }SRQ\end{array}$
• المطلوب: $\mathrm{△}TQR\cong \mathrm{△}SRQ$

البرهان:

18) في الشكل المجاور ABCD مزرعة مربعة الشكل، ويريد أخوان فصلها باستعمال سياج على أحد القطرين.

a) اكتب برهاناً ذا عمودين لإثبات أن BD=AC.

• المعطيات: ABCD مربع
• المطلوب: BD=AC

البرهان:

b) اكتب برهاناً ذا عمودين لإثبات أن $\mathrm{\angle }BDC\cong \mathrm{\angle }BDA$.

المعطيات:

• $\overline{CB}\cong \overline{BA}\cong \overline{AD}\cong \overline{DC}$
• $\mathrm{\angle }CBA,\mathrm{\angle }BAD,\mathrm{\angle }ADC,\mathrm{\angle }DCB$ قوائم.

المطلوب: $\mathrm{\angle }BDC\cong \mathrm{\angle }BDA$

البرهان:

19) برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين.

• المعطيات: $\overline{YX}\cong \overline{WZ},\overline{YX}\parallel \overline{ZW}$.
• المطلوب: $\mathrm{△}YXZ\cong \mathrm{△}WZX$

البرهان:

20) برهان: اكتب برهاناً حراً.

• المعطيات: $\begin{array}{r}\overline{HL}\cong \overline{HM},\overline{PM}\cong \overline{KL}\\ \overline{PG}\cong \overline{KJ},\overline{GH}\cong \overline{JH}\end{array}$
• المطلوب: $\mathrm{\angle }G\cong \mathrm{\angle }J$

البرهان:

بما أن $\overline{GH}\cong \overline{JH}$, $\overline{HL}\cong \overline{HM}$ فإنه وبحسب تعريف التطابق، GH=JH, HL=HM. وبحسب مسلمة جمع أطوال القطع المستقيمة يكون GL=GH+HL، JM=JH+HM. بالتعويض: GL=JH+HM وهذا يعني ان GL=JM، وبحسب تعريف التطابق تكون $\overline{GL}\cong \overline{JM}$ وبما أن $\overline{PM}\cong \overline{KL}$، فإنه وبحسب تعريف التطابق يكون PM = KL. باستعمال خاصية الجمع للمساواة PM+ML=KL+LM وهذا يعني أن PL = KM.

وبحسب تعريف التطابق يكون، $\overline{PL}\cong \overline{KM}$. وبما أن $\overline{PG}\cong \overline{KJ}$ فإنه بحسب SSS يكون $\mathrm{△}GPL\cong \mathrm{△}JKM$.

ولأن العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين متطابقة فإن $\mathrm{\angle }G\cong \mathrm{\angle }J$

جبر: أوجد قيمة المتغير التي تجعل المثلثين متطابقين في كلّ من السؤالين الآتيين، وفسّر إجابتك:

21) $\mathrm{△}WXY\cong \mathrm{△}WXZ$

y=4، لأن: $\overline{XY}\cong \overline{XZ},\mathrm{\angle }WXZ\cong \mathrm{\angle }WXY$

22) $\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}FGH$

x=3،لأن: $\overline{AC}\cong \overline{FH},\overline{BC}\cong \overline{GH}$