تحقق من فهمك

اكتب الافتراض الضروري الذي تبدأ به برهاناً غير مباشر لكل عبارة مما يأتي:

1A) $x>5$

$x\le 5$

1B) النقاط J,K,L تقع على استقامة واحدة.

النقاط J,K,L لا تقع على استقامة واحدة.

1C) $△XYZ$ متطابق الأضلاع.

$△XYZ$ ليس متطابق الأضلاع.

اكتب برهاناً غير مباشر لكلّ من العبارتين الآتيتين:

2A) إذا كانت $7x>56$ فإن $x>8$.

• المعطيات: $7x>56$
• المطلوب: $x>8$

برهان غير مباشر:

الخطوة 1: افترض أن $x=8 وأ x<8$

الخطوة2:

عندما تكون $x<8$، $7x<56$ وعندما تكون x=8، فإن 7x=56

الخطوة3: الفرض في الحالتين يؤدي إلى تناقض مع المعلومة المعطاة وهي: $7x>56$ لذا فالفرض بأن $x\le 8$ فرض خطأ، والنتيجة الأصلية بأن $x>8$ نتيجة صحيحة بالتأكيد.

2B) إذا كان c- موجباً، فإن c سالب.

• المعطيات: $-c>0$
• المطلوب: إثبات أن: $c<0$

برهان غير مباشر:

الخطوة1: افترض أن $c=0 وأ c>0$

الخطوة2:

إذا كانت $c>0$، فإن $-c<0$. وإذا كانت c=0 فإن c=0-.

الخطوة3: الفرض في الحالتين يؤدي إلى تناقض مع المعلومة المعطاة $-c>0$، لذا فالفرض بأن $c\ge 0$ فرض خطأ، والنتيجة الأصلية بأن $c<0$ نتيجة صحيحة، وبما أن $c<0$ فإن c عدد سالب بالتأكيد.

3) رحلة: قطع رياض أكثر من 360 كيلومتراً في رحلة، وتوقف في أثناء سفره مرتين فقط، استعمل البرهان غير المباشر لإثبات أن رياضاً قطع أكثر من 120 كيلومتراً في إحدى مراحل رحلته الثلاث على الأقل.

افترض أن x هي المسافة المقطوعة في المرحلة الأولى من رحلته، وy هي المسافة المقطوعة في المرحلة الثانية، وz هي المسافة المقطوعة في المرحلة الثالثة.

• المعطيات: $x+y+z>360$
• المطلوب: $z>120\text{أو y >}120\text{أو x>}120$

برهان غير مباشر:

• الخطوة1: افترض أن: $x\le 120,y\le 120,z\le 120$
• الخطوة2: إذا كان $x\le 120,y\le 120,z\le 120$، فإن $x+y+z\le 360 وأ x+y+z\le 120+120+120$.
• الخطوة3: وهذا يناقض العبارة المعطاة، لذلك فالفرض خطأ و$z>120\text{أو y >}120\text{أو x>}120$ أي أنه قطع أكثر من 120 km في مرحلة واحدة من رحلته على الأقل.

4) اكتب برهاناً غير مباشر لإثبات أنه ”إذا كان مربع عدد صحيح فردياً، فإنّ العدد الصحيح فرديٌّ“.

المعطيات: x² عدد صحيح فردي.

المطلوب: x عدد فردي.

برهان غير مباشر:

الخطوة1: افترض أن x عدد زوجي، وهذا يعني أن x=2k.

الخطوة2:

$\begin{array}{rl}{x}^2& =(2k{)}^2\\ & =4k^2\\ & =(2\cdot 2)k^2\\ & =2\left(2k^2\right)\end{array}$

وبما أن k عدد صحيح، فإن 2k² عدد صحيح أيضاً، وليكن m يمثل العدد الصحيح 2k² فإنه يمكن تمثيل x² بالعدد 2m، حيث m عدد صحيح وهذا يعني أن x² عدد زوجي، ولكن هذا يناقض العبارة المعطاة بأن x² عدد فردي.

الخطوة3: بما أن الفرض: x عدد زوجي أدى إلى تناقض مع المعطيات، فإن النتيجة الأصلية بأن x عدد فردي صحيحة بالتأكيد.

5) اكتب برهاناً غير مباشر.

• المعطيات: $\overline{MO}\cong \overline{ON},\overline{MP}\ne \overline{NP}$
• المطلوب: $\mathrm{\angle }MOP\not\equiv \mathrm{\angle }NOP$

البرهان:

• الخطوة1: افترض أن $.\mathrm{\angle }MOP\cong \mathrm{\angle }NOP$.
• الخطوة2: نعلم أن $\overline{MO}\cong \overline{ON}$ وأن $\overline{OP}\cong \overline{OP}$ بحسب خاصية الانعكاس.

وإذا كانت $\mathrm{\angle }MOP\cong \mathrm{\angle }NOP$ فإن $\mathrm{△}MOP\cong \mathrm{△}NOP$ بحسب SAS، ويكون $\overline{MP}\cong \overline{NP}$، لأن العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين تكون متطابقة، وهذه النتيجة تناقض المعلومة المعطاة.

الخطوة3: إذن الفرض خطأ، إذن $\mathrm{\angle }MOP\not\equiv NOP$