تدرب وحل المسائل

اكتب الافتراض الذي تبدأ به، برهاناً غير مباشر لكل عبارة مما يأتي:

11) إذا كان $2x>16$ فإن $x>8$.

$x\le 8$

12) $\mathrm{\angle }1,\mathrm{\angle }2$ زاويتان غير متكاملتين.

$\mathrm{\angle }1,\mathrm{\angle }2$ زاويتان متكاملتين.

13) إذا تساوى ميلا مستقيمين، فإن المستقيمين متوازيان.

المستقيمين غير متوازيان.

14) العدد الفردي لا يقبل القسمة على 2.

العدد الفردي يقبل القسمة على 2.

اكتب برهاناً غير مباشر لكل عبارة مما يأتي:

15) إذا كان $-3x+4<7$، فإن $x>-1$.

المعطيات: $-3x+4<7$

المطلوب: $x>-1$

برهان غير مباشر:

الخطوة1: افترض أن $x\le -1$ صحيحة.

الخطوة2:

$\begin{array}{r}x\le -1\\ -3x\ge 3\\ -3x+4\ge 7\end{array}$

هذا يناقض المعطى $-3x+4<7$

الخطوة3: الفرض يؤدي إلى تناقض مع المعلومة المعطاة بأن $-3x+4<7$ لذا فالفرض بأن $x\le -1$ فرض خطأ، والنتيجة الأصلية بأن $x>-1$ نتيجة صحيحة بالتأكيد.

16) إذا كان $-2x-6>12$، فإن $x<-9$.

• المعطيات: $-2x-6>12$
• المطلوب: $x<-9$

برهان غير مباشر:

الخطوة1: افترض أن $x\ge -9$ صحيحة.

الخطوة2:

$\begin{array}{r}x\ge -9\\ -2x\le 18\\ -2x-6\le 12\end{array}$

هذا يناقض المعطى $-2x-6>12$

الخطوة3: الفرض يؤدي إلى تناقض مع المعلومة المعطاة بأن $-2x-6>12$ لذا فالفرض بأن $x\ge -9$ فرض خطأ، والنتيجة الأصلية بأن $x<-9$ نتيجة صحيحة بالتأكيد.

17) ألعاب حاسوب: اشترى منصور لعبتي حاسوب بأكثر من 400 ريال، وبعد أسابيع قليلة سأله صديقه كم تكلفة اللعبة الواحدة، فلم يتذكر منصور ذلك، استعمل التبرير غير المباشر؛ لتبين أن إحدى اللعبتين على الأقل كلفت أكثر من 200 ريال.

افترض أن ثمن إحدى الألعاب x والأخرى y.

• المعطيات: $x+y>400$
• المطلوب: $y>200\text{أو}x>200$

برهان غير مباشر:

• الخطوة1: افترض أن $x\le 200$ و $y\le 200$
• الخطوة2: إذا كانت $x\le 200$ و $y\le 200$ فإن $x+y\le 200+200$ أو $x+y\le 400$ وهذا يناقض الفرض $x+y>400$.
• الخطوة3: بما أن الفرض $x\le 200$ و $y\le 200$ أدى إلى تناقض مع حقيقة معلومة فإن هذا الفرض خطأ، لذلك فالنتيجة $y>200 وأ x>200$ ستكون صحيحة؛ أي أن ثمن لعبة واحدة من اللعبتين على الأقل أكثر من 200 ريال.

18) جمع التبرعات: أقامت جمعية خيرية حفلة لجمع التبرعات لمساعدة الفقراء والمحتاجين، وكان سعر تذكرة الدخول للكبار 30 ريالاً، وللأطفال 12.5 ريالاً، إذا بيعت 375 تذكرة، وكان ريعها أكثر من 7300 ريال، فأثبت أنه تم بيع 150 تذكرة على الأقل للكبار.

افترض أن x عدد تذاكر دخول الكبار التي بيعت وy عدد تذاكر دخول الصغار التي بيعت.

• المعطيات: x+y=375 أو y=375-x، $30x+12.5y>7300$
• المطلوب: إثبات ان $x\ge 150$

برهان غير مباشر:

• الخطوة1: افترض أن $x<150$
• الخطوة2: بما أن $x<150$ و x عدد صحيح إذن $x<149$

ريع التذاكر= $\begin{array}{rl}30x+12.5y& =30x+12.5(375-x)\\ & =17.5x+4687.5\end{array}$ وبما أن $x<149$ باستعمال خاصيتي الضرب والجمع للمتباينات نجد أن:

$\begin{array}{r}17.5x+4687.5\le 17.5\left(149\right)+4687.5\\ 17.5x+4687.5\le 7295\end{array}$

وهذا يناقض أن ريع التذاكر كان أكثر من 7300 ريال.

الخطوة3: بما أن الافتراض أدى إلى وقوع تناقض مع معلومة معطاة، فإن الافتراض خطأ، و$x\ge 150$

اكتب برهاناً غير مباشر لكل عبارة مما يأتي:

19) المعطيات: xy عدد صحيح فردي.

المطلوب: كلاً من x,y عدد صحيح فردي.

برهان غير مباشر:

• الخطوة1: افترض أن x وy عددان ليسا فرديين معاً؛ أي افترض أن x أو y عدد زوجي.
• الخطوة2: تحتاج فقط إلى بيان أن الفرض: x عدد زوجي يؤدي إلى تناقض؛ لأن البرهان عند افتراض أن y عدد زوجي يتبع التبرير نفسه؛ لذا افترض أن x عدد زوجي وأن y عدد فردي وهذا يعني أن $y=2m+1,x=2k$، حيث k و m عددان صحيحان.

$\begin{array}{rl}xy& =\left(2k\right)(2m+1)\\ & =4km+2k\\ & =2(2km+k)\end{array}$

بما أن k وm عددان صحيحان فإن 2km+k عدد صحيح أيضاً.

ليكن p يمثل العدد 2km+k لذا فإنه يمكن أن يمثل العدد xy ب 2p، حيث p عدد صحيح وهذا يعني أن xy عدد زوجي ولكن هذا يناقض المعطيات بأن xy عدد فردي.

الخطوة3: بما أن الفرض x عدد زوجي وy عدد فردي يؤدي إلى تناقض مع المعطيات، إذن النتيجة الأصلية بأن كلاً من x و y عدد صحيح فردي نتيجة صحيحة بالتأكيد.

20)

• المعطيات: n² عدد زوجي.

• المطلوب: n عدد زوجي.

برهان غير مباشر:

الخطوة1: افترض أن n عدد فردي وهذا يعني أن n=2k+1 حيث k عدد صحيح

الخطوة2:

$$\begin{gathered} n^2=(2k+1{)}^2 \\ =4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1 \end{gathered}$$

بما ان k عدد صحيح، إذن 2k²+2k عدد صحيح أيضاً.

افترض أن $m=2k^2+2k$

إذن $n^2=2m+1$ إذن n² عدد فردي وهذا يتناقض مع العبارة المعطاة: n² عدد زوجي

الخطوة3: بما أن افتراض أن n عدد فردي أدى إلى تناقض مع العبارة المعطاة، فإن النتيجة الأصلية وهي أن n عدد زوجي، يجب أن تكون صحيحة.

21) المعطيات: $XZ>YZ$

المطلوب: $\mathrm{\angle }X\not\approx \mathrm{\angle }Y$

• الخطوة1: افترض أن: $\mathrm{\angle }X\cong \mathrm{\angle }Y$
• الخطوة2: $\overline{XZ}\cong \overline{YZ}$ بحسب عكس نظرية المثلث المتطابق الضلعين.
• الخطوة3: وهذا يناقض المعلومة المعطاة بأن $XZ>YZ$، لذلك فالفرض بأن $\mathrm{\angle }X\cong \mathrm{\angle }Y$فرض خطأ، لذا فالنتيجة الأصلية بأن $\mathrm{\angle }X\ne ̸\mathrm{\angle }Y$ نتيجة صحيحة بالتأكيد.

22) المعطيات: $△ABC$ متطابق الأضلاع.

المطلوب: $△ABC$ متطابق الزوايا.

• الخطوة1: افترض أن المثلث ABC ليس متطابق الزوايا.
• الخطوة2: إذا كانت $m\mathrm{\angle }B>m\mathrm{\angle }C$، فإن $\overline{AC}>\overline{AB}$ بحسب العلاقات بين زوايا المثلث وأضلاعه.
• الخطوة3: يناقض هذا المعلومة المعطاة بأن المثلث ABC ليس متطابق الأضلاع، لذا فإن المثلث ABC ليس متطابق الزوايا هو فرض خاطئ والنتيجة الأصلية بأن المثلث ABC متطابق الزوايا نتيجة صحيحة بالتأكيد.

23) اكتب برهاناً غير مباشر لإثبات أنه لا يمكن أن يكون للمثلث أكثر من زاوية قائمة.

• المعطيات: $△ABC$
• المطلوب: $△ABC$ لا يمكن أن يكون له أكثر من زاوية قائمة واحدة.

برهان غير مباشر:

• الخطوة1: افترض أن للمثلث ABC أكثر من زاوية قائمة.
• الخطوة2: إذا كانت $\mathrm{\angle }C و \mathrm{\angle }B$ زاويتين قائمتين فإن: $m\mathrm{\angle }B+m\mathrm{\angle }C={180}^{\circ }$. لكن $m\mathrm{\angle }A+m\mathrm{\angle }B+m\mathrm{\angle }C={180}^{\circ }$ لأن مجموع قياسات زوايا المثلث °180. وبالتعويض: $m\mathrm{\angle }A+{180}^{\circ }={180}^{\circ }$ إذن $m\mathrm{\angle }A=0^{\circ }$.
• الخطوة3: يناقض هذا المعلومة المعطاة بأن للمثلث ABC أكثر من زاوية قائمة خطأ والنتيجة الأصلية بأنه لا يمكن أن يكون للمثلث ABC أكثر من زاوية قائمة نتيجة صحيحة.

24) اكتب برهاناً غير مباشر للنظرية 4.10.

المعطيات: ABC مثلث فيه $m\mathrm{\angle }A>m\mathrm{\angle }ABC$

• المطلوب: $BC>AC$
• البرهان: افترض أن $BC\ngtr AC$ فحسب خاصية المقارنة يكون BC=AC أو $BC<AC$.

الحالة1: إذا كان BC=AC فإن $\mathrm{\angle }ABC\cong \mathrm{\angle }A$ بحسب نظرية المثلث المتطابق الضلعين (إذا كان ضلعان لمثلث ما متطابقين، فإن الزاويتين المقابلتين لهما تكونان متطابقتين)، لكن $\mathrm{\angle }ABC\cong \mathrm{\angle }A$ تناقض العبارة المعطاة بأن $m\mathrm{\angle }A>m\mathrm{\angle }ABC$ إذن $.BC\ne AC$

الحالة2: إذا كان $BC<AC$ فإنه توجد نقطة D بين A وC بحث يكون $\overline{DC}\cong \overline{BC}$، ارسم القطعة المستقيمة المساعدة $\overline{BD}$ بما أن DC=BC فإن $\mathrm{\angle }BDC\cong \mathrm{\angle }DBC$ بحسب نظرية المثلث المتطابق الضلعين ولأن $\mathrm{\angle }BDC$ زاوية خارجية ل $△BAD$. وبحسب نظرية متباينة الزاوية الخارجية (قياس الزاوية الخارجية لمثلث يكون أكبر من قياس كل من الزاويتين الداخليتين البعيدتين عنها) يكون $m\mathrm{\angle }BDC>m\angle A$ وبحسب مسلَّمة جمع الزوايا يكون $m\mathrm{\angle }ABC=m\mathrm{\angle }ABD+m\mathrm{\angle }DBC$ إذاً وبحسب تعريف المتباينة يكون $m\mathrm{\angle }ABC>m\mathrm{\angle }DBC$ وبالتعويض وخاصية التعدي للمتباينة يكون $m\mathrm{\angle }ABC>m\mathrm{\angle }A$ ولكن هذا يناقض العبارة المعطاة بأن $m\mathrm{\angle }A>m\mathrm{\angle }ABC$ وفي الحالتين وصلنا إلى تناقض، فالفرض خطأ، لذلك $BC>AC$.

25) اكتب برهاناً غير مباشر لإثبات أنه إذا كان $\frac{1}{b}<0$، فإن b عدد سالب.

• المعطيات: $\frac{1}{b}<0$
• المطلوب: b عدد سالب

برهان غير مباشر:

• الخطوة1: افترض ان $b>0$ و $b\ne 0$ لأن ذلك سيجعل $\frac{1}{b}$ غير معرف.
• الخطوة2: بما أن $b>0$ فإن $\frac{1}{b}>0$ لأن ناتج قسمة عدد موجب على عدد موجب يكون عدداً موجباً.
• الخطوة3: لكن $\frac{1}{b}>0$ يناقض المعطيات، لذلك فالفرض خطأ إذن b عدد سالب بالتأكيد.

26) كرة سلة: عندما خرج عدنان من الملعب ليدخل زميل له قبيل نهاية الشوط الأول من المباراة كان فريق مدرسته متقدماً ب 28 نقطة مقابل 26، وعندما عاد مع بداية الشوط الثاني كان الفريق المنافس متقدماً ب 29 نقطة مقابل 28 نقطة، استنتج أخو عدنان حين علم ذلك أن لاعباً من الفريق المنافس سجَّل ثلاث نقاط من رمية واحدة، أثبت صحة أو خطأ استنتاجه باستعمال البرهان غير المباشر ومعلومات الربط مع الحياة.

إجابة ممكنة: نعلم أن الفريق الآخر سجل 3 نقاط، ويعتقد أخو عدنان أنهم سجلوا ثلاث نقاط من رمية واحدة، ونعلم أيضاً أنه يمكن للاعب أن يسجل 3 نقاط بتسجيل نقطتين والحصول على رمية حرة نتيجة خطأ الفريق المنافس.

• الخطوة1: افترض أن لاعباً من الفريق المنافس سجل نقطتين من رمية وحصل على رمية حرة.
• الخطوة2: بما أن عدد نقاط الفريق المنافس كان 26 نقطة قبل أن يخرج عدنان من الملعب، فإن عدد نقاطهم بعد تسجيل نقطتين وحصولهم على رمية حرة سيكون 26+3 أو 29.
• الخطوة3: بما أن عدد النقاط صحيح عندما افترضنا أن الفريق المنافس سجل نقطتين من رمية وحصل على رمية حرة، فإن افتراض أخو عدنان قد يكون غير صحيح، فالفريق المنافس يمكن أن يكون قد حصل على ثلاث نقاط من رمية واحدة من خارج منطقة الهدف أو على نقطتين ورمية حرة.

27) ألعاب الكترونية: تتضمن لعبة حاسوبية فارساً في رحلة للبحث عن الكنز، وفي نهاية الرحلة يقترب الفارس من البابين المبيَّنين أدناه.

أخبر خادم الفارس بأن أحد الإعلانين صحيح والآخر خطأ، استعمل التبرير غير المباشر لتحدد أي البابين سيختاره الفارس، وضح إجابتك.

الباب الأيمن، فإذا كان الإعلان على الباب الأيسر صحيحاً، فإن الإعلانين سيكونان صحيحين، إلَّا أن أحد الإعلانين خطأ، لذا يجب أن يكون الإعلان المكتوب على الباب الأيسر خطأ.

حدد ما إذا كان إثبات كل عبارة حول أقصر مسافة بين نقطة وخط مستقيم أو مستو، يمكن إثباتها باستعمال البرهان المباشر أو البرهان غير المباشر، ثم اكتب برهاناً لكلّ منهما.

28) المعطيات: $\overline{AB}$ عمودي على المستقيم P.

المطلوب: $\overline{AB}$ أقصر قطعة مستقيمة من A إلى المستقيم P.

برهان غير مباشر:

• الخطوة1: افترض أن $\overline{AB}$ ليست أقصر قطعة مستقيمة من A إلى P.
• الخطوة2: بما أن $\overline{AB}$ ليست أقصر قطعة مستقيمة من A إلى P. فإنه توجد نقطة C على P بحيث تكون $\overline{AC}$ أقصر قطعة مستقيمة، وبما أن المثلث ABC قائم الزاوية ووتره هو $\overline{AC}$، فإن $\overline{AC}$ أطول ضلع للمثلث ABC لأنه يقابل أكبر زاوية في $△ABC$ بحسب متباينة زاوية - ضلع في المثلث.
• الخطوة3: يناقض هذا الفرض بأن $\overline{AC}$ أقصر ضلع، لذلك فالفرض حطأ والصحيح هو أن $\overline{AB}$ أقصر بالتأكيد.

29) المعطيات: ABC مثلث قائم الزاوية.

المطلوب: الوتر $\overline{AC}$ أطول ضلع في المثلث.

بما أن $\overline{BC}\perp \overline{AB}$ إذاً $\overline{AB}$ أقصر قطعة مستقيمة على $\overline{BC}$ إذاً $AB<AC$. وبما أن $\overline{CB}\perp \overline{AB}$ إذاً $\overline{CB}$ أقصر قطعة مستقيمة على $\overline{AB}$. وعليه تكون $CB<AC$إذاً $\overline{AC}$ أطول ضلع في المثلث، وهذا يعني أن الوتر هو أطول ضلع في المثلث القائم.

30) نظرية الأعداد: في هذه المسألة ستخمّن علاقة في نظرية الأعداد، وتثبت صحة تخمينك.

a) اكتب عبارة جبرية تمثل ”مجموع مكعب العدد n والعدد ثلاثة".

n³+3

b) كون جدولاً يعطي قيم العبارة لعشر قيم زوجية وفردية مختلفة ل n.

c) اكتب تخميناً حول n عندما تكون قيمة العبارة زوجية.

يكون n عدداً فردياً عندما يكون n³+3 عدداً زوجياً.

d) اكتب برهاناً غير مباشر لتخمينك.

• المعطيات: n³+3 عدد زوجي.
• المطلوب: n عدد فردي.

برهان غير مباشر:

الخطوة1: افترض أن n عدد زوجي وليكن n=2k، حيث k عدد صحيح.

الخطوة2:

$\begin{array}{rl}{n}^3+3& =(2k{)}^3+3\\ & =8k^3+3\\ & =(8k^3+2)+1\\ & =2(4k^3+1)+1\end{array}$

وبما أن k عدد صحيح فإن $4k^3+1$ عدد صحيح أيضاً لذا فإن n³+3 عدد فردي.

الخطوة3: وهذا يتناقض مع الفرض بأن n³+3 عدداً زوجي لذا فإن الفرض خطأ والنتيجة بأن n عدد فردي نتيجة صحيحة.